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高中数学必修2


第一章 空间几何体
一、选择题 1.右面的三视图所示的几何体是( ).

A.六棱台 C.六棱柱

B.六棱锥 D.六边形

正视图

侧视图 (第 1 题)

俯视图

2.已知两个球的表面积之比为 1∶9,则这两个球的半径之比为( A.1∶3 B.

1∶ 3
C.1∶9

).
D.1∶81

3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正

(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示, 则该几何体的俯 视图为( ).
侧(左)视图 正(主)视图 (第 3 题)

A

B

C

D

4.A,B 为球面上相异两点,则通过 A,B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面

圆)有(

).
B.无穷多个 D.一个或无穷多个

A.一个 C.零个

5.右图是一个几何体的三视图,则此几何体的直观图是(

).

).

正视图

侧视图

A

B

C

D
俯视图 (第 5 题)

6.下图为长方体木块堆成的几何体的三视图,堆成这个几何体的木块共有( A.1 块 B .2 块 C .3 块 D.4 块 7.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是(
第 1 页 共 10 页 (第 6 题)

).

).

A.在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同 B.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C.平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D.斜二测坐标系取的角可能是 135° 8.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).

①正方体

②圆锥

③三棱台
(第 8 题)

④正四棱锥

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

9.一正方体的各顶点都在同一球面上,用过球心的平面去截这个组合体,截面图不能 是( ).

A

B

C

D ).

10.如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形,则下列结论正确的是( A.原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心 B.原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心 C.原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心 D.原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心 二、填空题

11.一圆球形气球,体积是 8 cm3,再打入一些空气后,气球仍然保持为球形,体积是 27 cm3.则气球半径增加的百分率为 .

12.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5,它的体对角线的长分别是 9 和 15,则这个棱柱的侧面积是 .

13.右图是一多面体的展开图,每个面内都给了字母,

第 2 页 共 10 页 (第 13 题)

请根据要求回答问题: ①如果 A 是多面体的下底面,那么上面的面是 ; .

②如果面 F 在前面,从左边看是面 B,那么上面的面是 14.一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的体积是
3



4

4 正视图 侧视图

4

俯视图 (第 14 题)

三、解答题 15.圆柱内有一个四棱柱,四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形.已知圆柱表面积为 6π,且底面圆直径与母线长相等,求四棱柱的体积.

16.下图是一个几何体的三视图(单位:cm) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);

第 3 页 共 10 页

(2)求这个几何体的表面积及体积.
A 1 B C 1 1 A B 俯视图 (第 16 题) A' B' B' 3 正视图 C' C 侧视图 B A' A

17.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2 ,AD =2,求四边形 ABCD 绕直线 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

(第 17 题)

18.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱,它们的表面积相等,试比较它们的

体积 V 正方体,V 球,V 圆柱的大小.

第 4 页 共 10 页

19.如图,一个圆锥形容器的高为 a,内装有一定量的水.如果将容器倒置,这时水所 形成的圆锥的高恰为
a ,求原来水面的高度. 2

(第 19 题)

20.如图,四棱柱的底面是菱形,各侧面都是长方形.两个对角面也是长方形,面积分

别为 Q1,Q2.求四棱柱的侧面积.

第 5 页 共 10 页

第 6 页 共 10 页

参考答案
一、选择题 1.B 解析:由正视图和侧视图可知几何体为锥体,由俯视图可知几何体为六棱锥. 2.A 解析:由设两个球的半径分别为 r,R,则 4πr2∶4πR2=1∶9. ∴ r2∶R2=1∶9, 即 r∶R=1∶3. 3.C 解析:在根据得到三视图的投影关系,∵正视图中小长方形位于左侧,∴小长方形也位 于俯视图的左侧;∵小长方形位于侧视图的右侧,∴小长方形一定位于俯视图的下侧, ∴ 图 C 正确. 4.D 解析:A,B 不在同一直径的两端点时,过 A,B 两点的大圆只有一个;A,B 在同一直 径的端点时大圆有无数个. 5.D 解析:由几何体的正视图和侧视图可知,几何体上部分为圆锥体,由三个视图可知几何 体下部分为圆柱体,∴ 几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体. 6.D 解析:由三视图可知几何体为右图所示,显然组成几何体的长方体木 块有 4 块. 7.C
(第 6 题)

解析:由平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变,平行于 y 轴的线段长 度在直观图中是原来的一半,∴ C 不对. 8.D 解析:①的三个视图均相同;②的正视图和侧视图相同;③的三个视图均不相同;④的 正视图和侧视图相同.∴有且仅有两个视图相同的是②④. 9.A 解析:B 是经过正方体对角面的截面;C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面;D 是

第 7 页 共 10 页

经过一对平行的侧面的中心,但不是对角面的截面. 10.B 解析:在平行投影中线段中点在投影后仍为中点,故选 B. 二、填空题 11.50%. 解析:设最初球的半径为 r,则 8=
4 3 4 πr ;打入空气后的半径为 R,则 27= πR3. 3 3

∴ R3∶r3=27∶8.∴ R∶r=3∶2.∴气球半径增加的百分率为 50%.
12.160.

解析:依条件得菱形底面对角线的长分别是 152 ? 52 = 200 和 9 2 ? 52 = 56 .
? 200 ? ? 56 ? ? +? ? = ∴菱形的边长为 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
2 2

256 = 8. 4

∴棱柱的侧面积是 5×4×8=160.
13.F,C.

解析:将多面体看成长方体, A,F 为相对侧面.如果 A 是多面体的下底面,那么上 面的面是 F;如果面 F 在前面,从左边看是面 B,则右面看必是 D,于是根据展开图,上面 的面应该是 C.
14.80.

解析:由三视图可知,几何体是由棱长为 4 的正方体和底面边长为 4,高为 3 的四棱锥
1 组成,因此它的体积是 V=43+ ×42×3=64+16=80. 3

三、解答题
15.参考答案:设圆柱底面圆半径为 r,则母线长为 2r.

∵ 圆柱表面积为 6π, ∴ 6π=2πr2+4πr2. ∴ r=1. ∴ 正方形边长为 2 .

∵ 四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形, ∴ 四棱柱的体积 V=( 2 )2×2=2×2=4.
16.(1)略.

(2)解:这个几何体是三棱柱. 由于底面△ABC 的 BC 边上的高为 1,BC=2,∴ AB= 2 .
第 8 页 共 10 页

故所求全面积 S=2S△ABC+SBB′C′C+2SABB′A′=8+6 2 (cm2). 几何体的体积 V=S△ABC·BB′=
1 ×2×1×3=3(cm3). 2

17.解:S 表面=S 下底面+S 台侧面+S 锥侧面

=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2 2 =(60+4 2 )π.
1 1 148 V=V 台-V 锥= π( r12 +r1r2+ r22 )h- πr2h1= π. 3 3 3 18.解:设正方体的边长为 a,球的半径为 r,圆柱的底面直径为 2R,

则 6a2=4πr2=6πR2=S.∴ a2=
3

S S S , r 2= , R 2= . 6 4π 6π

S3 ?S? ∴(V 正方体)2=(a3)2=(a2)3= ? ? = , 216 ?6? 16 16 ? S ? S3 ?4 ? (V 球)2= ? πr 3 ? = π2(r2)3= π2 ? ? ≈ , 9 9 ? 4π ? 108 ?3 ? S3 ? S ? (V 圆柱)2=(πR2×2R)2=4π2(R2)3=4π2 ? ? ≈ . 162 ? 6π ?
3 2 3

∴V 正方体<V 圆柱<V 球.
19.解:设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为 r,R,高为 h,则
2

r a?h = . R a

π π a ?R? 7 则依条件得 ·h·(r2+rR+R2)= · · ? ? ,化简得(h-a)3=- a3. 3 3 2 ?2? 8
3

解得 h=a-
3

7a 3 . 8

? 7? ? a. 即 h= ? 1 ? ? 2 ? ? ? 20.解:设底面边长为 a,侧棱长为 l,底面的两对角线长分

别为 c,d.
? ? ? 则? ? ? ?

cl = Q1 dl = Q2
2 2

① ②
(第 20 题)

?1 ? ?1 ? 2 ? c ? +? d ? = a ③ ?2 ? ?2 ?

第 9 页 共 10 页

由 ① 得 c=

Q Q1 ?Q ? ?Q ? ,由 ② 得 d= 2 ,代入 ③ 得 ? 1 ? + ? 2 ? =a2. l 2l ? l ? ? 2l ?

2

2

2 ∴ Q12 + Q2 =4l2a2,

2 ∴2la= Q12+Q2 .

2 故 S 侧=4al=2 Q12+Q2 .

第 10 页 共 10 页


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