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广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析)


绝密★启用前

广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), L , ( xn , yn ) 的回归方程为: y ? bx ? a
?

其中 b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1


2

i

? nx

2

x?

x1 ? x2 ? ??? ? xn y ? y2 ? ??? ? yn ,y ? 1 n n

,a

? y ? bx .b 是回归方程得斜率,a 是截距.

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z1 , z2 在复平面内对应的点分别为 A(0,1), B( ?1,3) ,则 A. ?1 ? 3i B. ?3 ? i C. 3 ? i

z2 ? z1

D. 3 ? i 1 x 2.已知集合 A ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)} ,集合 B ? { y | y ? ( ) , x ? 0} ,则 A I B = 2 A. (1, ??) B. (?1,1) C. (0, ??) D. (0,1)

uuu uuu r r uuu r 3.在四边形 ABCD 中,“ AB ? DC ,且 AC ? BD ? 0 ”是“四边形 ABCD 是菱形”的

A.充分不必要条件 4.当 x ?

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

A.是奇函数且图像关于点 (

?
2

3? ? x) 4

, 0) 对称

B.是偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称

C.是奇函数且图像关于直线 x ?

?
2

对称

D.是偶函数且图像关于直线 x ? ? 对称

5.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm ) 则该组合体的体积为.

50

10

A. 72000 cm

3

B. 64000 cm

3

主视图

40 侧视图

C. 56000 cm3

D. 44000 cm3
20 20 20 俯视图

图(1)
开始 任意输入x(0 ?x?1) 任意输入y(0 ?y?1) 否

6.已知等差数列 {an } 满足, a1 ? 0,5a8 ? 8a13 ,则前 n 项和

S n 取最大值时 ,n 的值为
A.20 B.21 C.22 D.23

7.在图(2)的程序框图中,任意输入一次 x(0 ? x ? 1) 与 y (0 ? y ? 1) , 则能输出数对 ( x, y ) 的概率为

图(2)

y?x2? 是 输出数对(x,y) 结束

1 A. 4
8.已知方程 A. tan(? ? C. tan( ? ?

1 B. 3

3 C. 4

2 D. 3

sin x ? k 在 (0, ??) 有两个不同的解 ? , ? ( ? ? ? ),则下面结 论正确的是: x

?
4

)?

1? ? 1??
1? ? 1? ?

B . tan(? ?

?
4

)?

1?? 1? ?
1? ? 1? ?

?
4

)?

D. tan( ? ?

?
4

)?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.计算: log 1 sin15o ? log 1 cos15o =
2 2



10.若二项式 ( x ?

1 2 x

) n 的展开式中,第 4 项与第 7 项的二项式系数相等,则展开式中 x 6

的系数为 .(用数字作答) 11.一般来说,一个人脚掌 脚长 20 21 22 2 3 24 25 26 27 28 越长,他的身高就越高,现 身高 141 146 154 160 169 176 181 188 197 对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测量,得到数据(单位均为 cm )如上表,作出散点图后,发现散点在一条直
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学|科|网]

29 203

线附近,经计算得到一些数据:

? ( xi ? x)( yi ? y) ? 577.5 ,? ( xi ? x)2 ? 82.5 ;某刑侦
i ?1 i ?1

10

10

人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长为 26.5cm ,则估计案发嫌疑人的身高



cm .
2

12.已知圆 C 经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与坐标轴的两个交点,且经过抛物线 y ? 8 x 的焦点,则 圆 C 的方程为 .

13.函数 f ( x) 的定义域为 D,若对任意的 x1 、 x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为“非减函数”.设函数 g ( x) 在 [0,1] 上为“非减函数”,且满足以 下三个条件: (1)g (0) ? 0 ; (2)g ( ) ?

x 3

1 (3)g (1 ? x) ? 1 ? g ( x) ,则 g (1) ? g ( x) ; 2



5 g( ) ? 12



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 : ? ? 2 2 和曲线 C2 : ? cos(? ? ) ? 2 , 4
A

则 C1 上到 C2 的距离等于 2 的点的个数为


O

B 15.(几何证明选讲选做题)如图(3)所示,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长线于点 C.若 CB=2, C E 图(3) CE=4,则 AD 的长为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

F D

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C . (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? sin( B ?

?
2

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

17. (本小题满分 12 分) 根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》:每位驾驶证申领者必须通 过《科目一 》(理论科目)、《综合科》(驾驶技能加科目一的部分理论)的考试.已知李 先生已通过《科目一》的考试,且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响,《综合科》三 年内有 5 次预约考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾驶证,不再参加以后的考试 , 否则就一直考到第 5 次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为 0.5,0.6, 0.7,0.8,0.9. (1)求在三年内李先生参加驾驶证考试次数 ? 的分布列和数学期望; (2)求李先生在三年内领到驾驶证的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图(4),在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, AE ? BF ? 2 , AB ? 2 2 , 现将梯形沿 CB、 折起, EF / / AB 且 EF ? 2 AB , DA 使 得一简单组合体 ABCDEF 如图 (5) 示,已知 M , N , P 分别为 AF , BD, EF 的中点. (1)求证: MN // 平面 BCF ; (2)求证: AP ? DE ; (3)当 AD 多长时,平面 CDEF 与
F 平面 ADE 所成的锐二面角为 60 ?
?

C N

D

C

D

B F
B

A M P E
[来源:学科网 ZXXK]

图(4)

A

E

图(5)

19.(本小题满分 14 分)

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 2 a uuu uuu r r 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 最小值为 0 .
如图(6),设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l1 , l2 均与椭圆 C 相切,且 l1 // l2 ,试探究在 x 轴上是

y

x F1 o F2

否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 B 坐标; 若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
图(6)

?x
?

1? x

( x ? 0, ? 为常数,数列 {an } 满足: a1 ?

1 , an ?1 ? f (an ) , 2

n? N *.
(1)当 ? ? 1 时,求数列 {an } 的通项公式; (2)在(1)的条件下,证明对 ?n ? N * 有:

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? L ? an an ?1an ? 2 ?

n(n ? 5) ; 12(n ? 2)(n ? 3)
2 ?1 . 8

(3)若 ? ? 2 ,且对 ?n ? N * ,有 0 ? an ? 1 ,证明: an ?1 ? an ? 21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ,函数 g ( x) 的图 象在点 (1, g (1)) 处的 切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系;
2

(2)试讨论函数 g ( x) 的单调性;

(3)证明:对任意 n ? N * ,都有 ln ?1 ? n ? ?
[来源:学科网]

?
i ?1

n

i ?1 成立. i2

广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟 数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:CDCC BBDC 解析: 4.依题意可得 y ? f (

3? ? x) ? ? A sin x ,故选 C. 4

5.由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成,故其体积

V ? 60 ? 40 ?10 ? 20 ? 40 ? 50 ? 64000(cm3 ) ,故选 B.
6.由 5a8 ? 8a13 得 5(a1 ? 7 d ) ? 8( a1 ? 12d ) ? d ? ?

3 a1 ,由 an ? a1 ? (n ? 1)d 61

? a1 ? (n ? 1)(?

3 64 1 y y=x2 a1 ) ? 0 ? n ? ? 21 ,所以数列 {an } 前 21 项都是正数,以后各项都 61 3 3 y=1
x o x=1

是负数,故 S n 取最大值时,n 的值为 21,选 B. 7.依题意结合右图易得所求的概率为: 1 ?

1 2 2 ?0 x dx ? 1 ? 3 ? 3 ,选 D.
1

8.解析:

sin x sin x ? k ?| sin x |? kx ,要使方程 ? k (k ? 0) 在 (0, ??) 有两个不同的解, x x

则 y ?| sin x | 的 图 像 与 直 线 y ? kx(k ? 0) 有 且 仅 有 三 个 公 共 点 , 所 以 直 线 y ? kx 与

? sin ? ? 3 ? ? ? ? tan ? , y ?| sin x | 在 ? ? , ? ? 内相切,且切于点 ( ? , ? sin ? ) ,由 ? cos ? ? ? ? 2 ?

? 1? ? ,选 C ? tan( ? ? ) ? 4 1? ?
二.填空题:9.2;10.9; 11.185.5;12. ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

1 2

5 [或 2

1 24 . x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 ];13.1(2 分)、 (3 分);14.3;15. 2 5
解析:

3 6 10.根据已知条件可得: Cn ? Cn ? n ? 3 ? 6 ? 9 , 所以 ( x ?

1 2 x

) n 的展开式的通项为

Tr ?1 ? C9r x 9? r (

3r 9? 1 3r 1 2 ) r ? ( ) r C9r x 2 , 9 ? ? 6 ? r ? 2 , 令 所以所求系数为 ( ) 2 C9 ? 9 . 2 2 2 2 x

1

11. 回 归 方 程 的 斜 率 b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

10

? ( x ? x)
i ?1 i

10

?

2

577.5 ? 7 , x ? 24.5 , y ? 171.5 , 截 距 82.5
?

a ? y ? bx ? 0 ,即回归方程为 y ? 7 x ,当 x ? 26.5 , y ? 185.5 ,
12.易得圆心坐标为 ( , ) ,半径为 r ? 【或 x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 . 】
2 2

?

1 1 2 2

5 1 1 5 , 故所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 2 2 2

13 . 在 ( 3 ) 中 令 x=0 得 g (0) ? 1 ? g (1) ? 0 , 所 以 g (1) ? 1 , 在 ( 1 ) 中 令 x ? 1 得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 在 中令 x ? 得 g( ) ? 1? g( ) , g( ) ? , 故 因 ? g ( ) ? g (1) ? , (3) ? , 3 2 2 2 2 2 2 2 3 12 2 1 5 1 5 1 所以 g ( ) ? g ( ) ? g ( ) ,故 g ( ) ? . 3 12 2 12 2
? 14.将方程 ? ? 2 2 与 ? cos(? ? ) ? 2 化为直角坐标方程得 4
y x-y-2=0 x

x 2 ? y 2 ? (2 2) 2 与 x ? y ? 2 ? 0 ,知 C1 为圆心在坐标原点,半径为 2 2 的圆,
o

C2 为直线,因圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 2 ,故满足条件的点的个数 n ? 3 .
15.设 r 是⊙O 的半径.由 CE 2 ? CA ? CB ,解得 r=3.由 三.解答题: 16.解:(1)由 c sin A ? 3a cos C 结合正弦定理得,

CO OE 24 解得 AD ? . ? CA AD 5

a c c ----2 分 ? ? sin A 3 cos C sin C

从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 ,-----------------------------------------------4 分 ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?

?
3

;--------------------------------------------------------------6 分

2? ? A ---------------------- ---------------------------------------7 分 3

∴ 3 sin A ? sin( B ?

?

2

) ? 3 sin A ? cos B ---------------------------------------8 分

2? ? A) 3 2? 2? ? 3 sin A ? cos cos A ? sin sin A ------9 分 3 3 ? 3 sin A ? cos(

?
∵0 ? A ? 当 A?

3 1 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) --------------10 分 2 2 6

?
6

2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? 3 6 6 6

?

?

此时 A ?

?
3

2

时, 3 sin A ? sin( B ?

?
2

) 取得最大值,------------------------------11 分

,B ?

?
3

.-----------------------------------------------------------------------12 分

17.解. (1) ? 的取值为 1,2,3,4,5. -------------------------------1 分

P(? ? 1) ? 0.5 ,

P(? ? 2) ? (1 ? 0.5) ? 0.6 ? 0.3 P(? ? 3) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.7 ? 0.14 P(? ? 4) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? 0.8 ? 0.048 P(? ? 5) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.8) ? 0.012 --------------------6 分
【或 P (? ? 5) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ? 0.012 】 ∴ ? 的分布列为:

?
P
0.5

2
0.3

3
0.14

4
0.048

5 0.012

---------------------------8 分 ∴ E? ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.14 ? 4 ? 0.048 ? 5 ? 0.012 ? 1.772--------10 分 (2)李先生在三年内领到驾照的概率为:

P ? 1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.8) ? (1 ? 0.9) ? 0.9988 -----------------12 分
18.(1)证明:连 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点,--------------------------------------------------------------1 分 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF --------------------------3 分 ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,? MN // 平面 BCF ;---4 分 (其它证法,请参照给分)

C N B A M P

D

F

E

(2)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB I AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ,∴ AP ? AD ,------------------5 分 ∵ P 为 EF 中点,∴ FP ? AB ? 2 2 结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 ∴ AP // BF , AP ? BF ? 2 ----------------------------------------------------7 分 而 AE ? 2, PE ? 2 2 ,∴ AP ? AE ? PE
2 2 2

∴ ?EAP ? 90? ,即 AP ? AE -----8 分

又 AD I AE ? A ∵ DE ? 平面 ADE ,

∴ AP ? 平面 ADE , ∴ AP ? DE .------------------------------------------------9 分
C D N B F X A M P E y

Z (3)解法一:如图,分别以 AP, AE , AD 所在的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

设 AD ? m(m ? 0) ,则 A(0, 0, 0), D(0, 0, m), E (0, 2, 0), P(2, 0, 0) 易知平面 ADE 的一个法向量为 AP ? (2, 0, 0) ,-----------10 分

uuu r

r uur ? n ? PE ? 0 r ? 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? r uuu r ?n ? DE ? 0 ?
故?

??2 x ? 2 y ? 0 ? x? y ?0 ,即 ? ? 2 y ? mz ? 0 ?2 y ? mz ? 0

令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ?

r 2 2 ,故 n ? (1,1, ) ----------------------------------------11 分 m m uuu r r uuu r r AP ? n 2 r ∴ cos ? AP, n ?? uuu r ? , 4 | AP || n | 2 2? 2 m

依题意,

2 2 2? 4 m2

?

1 , m ? 2 ,-------------------------------------------------------13 分 2

即 AD ?

2 时,平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角为 60? .------------------------14 分

【解法二:过点 A 作 AM ? DE 交 DE 于 M 点,连结 PM,则 DE ? PM , ∴ ?AMP 为二面角 A-DE-F 的平面角,---------------------------------------------------------11 分

AP 2 3 ,-------------------------------------12 分 ? o tan 60 3 2 3 又 AD ? AE ? AM ? DE 得 2 AD ? ? 22 ? AD 2 , 3 解得 AD ? 2 ,即 AD ? 2 时,平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角为 60? .----14
由 ?AMP =600,AP=BF=2 得 AM ? 分】

19.解:(1)设 P ( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y ) , F2 P ? ( x ? c, y ) -------------1 分

a2 ?1 2 PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ? x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a ? -----------------2 分 a2 uuu uuu r r 由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c 2 ? 0 ? c ? 1 ? a 2 ? 2 ,-------------------3 分
∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .---------------------------------------------4 分 2

(2)①当直线 l1 , l2 斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m, y ? kx ? n --------------------5 分 把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0
2 2 2

∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m 2 ? 1 ? 2k 2 -------------------------------------------------------------------------------------7 分
同理, n 2 ? 1 ? 2k 2 -----------------------------------------------------------------------------8 分 ∴ m 2 ? n 2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意,∴ m ? ? n -----------------------9 分 设在 x 轴上存在点 B (t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m 2 |? k 2 ? 1 ,--- -----------------------------------10 分 2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k 2 ? m 2 代入并去绝对值整理,

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ? 1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ;--------------------------------------------------------- -------------12 分 ②当直线 l1 , l2 斜率不存在时,其方程为 x ?

2 和 x ? ? 2 ,---------------------------13 分

定点 (?1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 定点 (1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 综上所述,满足题意的定点 B 为 (?1, 0) 或 (1, 0) --------------------------------------------14 分 20.解:(1)当 ? ? 1 时, an ?1 ? f (an ) ?

an 1 1 ,两边取倒数,得 ? ? 1 ,----2 分 1 ? an an ?1 an

故数列 {

1 1 } 是以 ? 2 为首项,为公差的等差数列, an a1

1 1 , n ? N * .------------------------------------------------------------4 分 ? n ? 1 , an ? n ?1 an
(2)证法 1:由(1)知 an ?

1 ,故对 k ? 1, 2,3... n ?1

ak ak ?1ak ? 2 ?

1 1 1 1 ? [ ? ] -------------6 分 (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 2)(k ? 3)

∴ a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? ...... ? an an ?1an ? 2

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ? ... ? ? ] 2 2 ? 3 3? 4 3? 4 4 ? 5 ( n ? 1) ? ( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 1 1 1 n(n ? 5) .----------------------------------------9 分. ? [ ? ]? 2 2 ? 3 (n ? 2)( n ? 3) 12(n ? 2)(n ? 3)
[证法 2: ①当 n=1 时, 等式左边 ?

1? (1 ? 5) 1 1 1 , 等式右边 ? , ? ? 2 ? 3 ? 4 24 12 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) 24

左边=右边,等式成立;-----------------------------------------------------------------5 分 ②假设当 n ? k (k ? 1) 时等式成立, 即 a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? 则当 n ? k ? 1 时

k (k ? 5) , 12(k ? 2)(k ? 3)

a1a2 a3 ? a2 a3a4 ? ...... ? ak ak ?1ak ? 2 ? ak ?1ak ? 2 ak ?3 ?

k (k ? 5) 1 ? 12(k ? 2)(k ? 3) (k ? 2)(k ? 3)(k ? 4)

?

k (k ? 5)(k ? 4) ? 12 k 3 ? 9k 2 ? 20k ? 12 ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) k 2 (k ? 1) ? 4(k ? 1)(2k ? 3) (k ? 1)(k ? 2)(k ? 6) (k ? 1)[(k ? 1) ? 5] ? ? 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12(k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) 12[(k ? 1) ? 2][(k ? 1) ? 3]
n(n ? 5) .----9 12(n ? 2)(n ? 3)

?

这就是说当 n ? k ? 1 时,等式成立,-------------------------------------------------------8 分 综①②知对于 ?n ? N * 有: a1a2 a3 ? a2 a3 a4 ? ...... ? an an ?1an ? 2 ? 分] (3)当 ? ? 2 时, an ?1 ? f (an ) ?

2an 2 1 ? an

则 an ?1 ? an ?

2an 1 ? an ,---------------------------------------------10 分 ? an ? an (1 ? an ) 2 2 1 ? an 1 ? an

∵ 0 ? an ? 1 , ∴ an ?1 ? an ? an (1 ? an )

1 ? an a ? 1 ? an 2 1 ? an --------------------------------11 分 ?( n ) ? 2 2 1 ? an 2 1 ? an

?

1 ? an 1 ? 2 4 (1 ? an ) ? 2(an ? 1) ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? 4 a ?1? 2 ? 2 4 2 2 ? 2 n an ? 1

2 ?1 .--------------------13 分 8

∵ an ? 1 ? an 与 an ? 1 ?

2 不能同时成立,∴上式“=”不成立, an ? 1 2 ?1 .-----------------------------------------------------------14 分 8 2an , 2 1 ? an

即对 ?n ? N * , an ?1 ? an ?

【证法二:当 ? ? 2 时, an ?1 ? f (an ) ? 则 an ?1 ? an ?

2an a ? a3 ? an ? n 2n ----------------------------------------------------10 分 2 1 ? an 1 ? an a 2 又 Q an ? (0,1),? n ?1 ? ? 1, 2 an 1 ? an 1 ? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * ------------------------------------------------------------------11 分 2 3 ? x4 ? 4x2 ? 1 x?x 1 , ------------------------------------12 分 , x ? [ ,1), 则 g ?( x) ? 令 g ( x) ? 1 ? x2 2 (1 ? x 2 ) 2 1 1 当 x ? [ ,1), g ?( x) ? 0, 所以函数 g ( x) 在 [ ,1) 单调递减,故当 2 2 1 1 3 ?( ) 1 2 2 ? 3 ? 2 ? 1 , 所以命题得证--------------------------------14 分】 x ? [ ,1), g ( x) ? 1 2 8 1 ? ( ) 2 10 2 2an 【证法三:当 ? ? 2 时, an ?1 ? f (an ) ? , 2 1 ? an a 2 1 Q an ? (0,1),? n ?1 ? ? 1,? an ?1 ? an ,? an ? [ ,1), n ? N * -------------------------11 分 2 an 1 ? an 2 2an 2an ?1 1 ? an an ?1 an ?1 ? an ? ? ? 2? (an ? an ?1 ) 2 2 2 2 1 ? an 1 ? an ?1 (1 ? an )(1 ? an ?1 )

1 1 1? ? 24 2 2 ? 2? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ? an ? an ?1 1 1 25 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 2 ? 数列 {an ?1 ? an } 单调递减, 1 2? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ?1 , ? an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? 1 8 1 ? ( ) 2 2 10 2
所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14 分】

1 ? 2ax ? b x 由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ∴ b ? ?2a ? 1 -------------------------------------------------------------------------3 分 2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (2)由(1)得 g '( x) ? ----------------------4 分 ? x x ∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ∴当 a ? 0 时, 2ax ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 由 g '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , 即函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减;-------------------------------5 分 1 当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? , 2a 1 1 1 1 若 即 由 , g '( x) ? 0 得 由 ? 1 , a ? 时, g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? ? x ?1, 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0, ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;-----------------6 分 2a 2a 1 1 1 1 若 即 由 或 0 ? x ? 1 , g '( x) ? 0 得 1 ? x ? 由 , ? 1 , 0 ? a ? 时, g '( x) ? 0 得 x ? 2a 2 2a 2a 1 1 即 函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 单调递减;------------7 分 2a 2a 1 1 若 ? 1 ,即 a ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 2a 2 即函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,------------------------------------------------------------------8 分 综上得:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 1 1 1 当 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ) 单调递减;在 ( , ??) 上单 2 2a 2a
21.解:(1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?
2
[来源:学科网 ZXXK]

调递增;

1 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2 1 1 1 当 a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增, ( 在 ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增. 2 2a 2a
当a ? -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (3)证法一:由(2)知当 a ? 1 时,函数 g ( x) ? ln x ? x ? 3 x 在 (1, ??) 单调递增,
2

? ln x ? x 2 ? 3x ? g (1) ? ?2 ,即 ln x ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? ?( x ? 1)( x ? 2) ,------------11 分

1 1 1 1 , n ? N * ,则 ln(1 ? ) ? ? 2 ,-------------------------------------12 分 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ... ? ln(1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln[(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ... ? (1 ? )] ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n n i ?1 即 ln ?1 ? n ? ? ? 2 ------------------------------------------------------------------------------14 分 i ?1 i
令 x ? 1? 【证法二:构造数列 {an } ,使其前 n 项和 Tn ? ln(1 ? n) , 则当 n ? 2 时, an ? Tn ? Tn ?1 ? ln( 显然 a1 ? ln 2 也满足该式, 故只需证 ln(1 ? ) ? 令x?

1? n 1 ) ? ln(1 ? ) ,---------------------------------11 分 n n

1 n

n ?1 1 1 ? ? 2 --------------------------------------------------------12 分 n2 n n

1 2 2 ,即证 ln(1 ? x) ? x ? x ? 0 ,记 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , x ? 0 n 1 1 x(2 x ? 1) 则 h '( x) ? ?1 ? 2x ? ?1? 2x ? ? 0, 1? x 1? x 1? x
h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,故 h( x) ? h(0) ? 0 ,

1 n ?1 1 1 ? ? 2 成立, n n2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ... ? ln(1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n
∴ ln(1 ? ) ? 即 ln ?1 ? n ? ?

?
i ?1

n

i ?1 .----------------------------------------------------------------------------14 分】 i2
i ?n i ?1

i ?1 , i2 n 1 1 1 则 ? (n ? 1) ? ? (n) ? ln( n ? 2) ? ----10 分 ? ln(n ? 1) ? ln(1 ? )? ? 2 (n ? 1) n ? 1 n ? 1 (n ? 1) 2 1 1 令 x ? 1? , 则 x ? (1, 2] , ? x ? 1, n ? N * , n ?1 n ?1 2 2 记 h( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 3 x ? 2 -----------------------12 分 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ∵ h?( x) ? ? 2 x ? 3 ? ? 0 ∴函数 h( x) 在 (1, 2] 单调递增, x x 又 h(1) ? 0,?当x ? (1, 2]时, h( x) ? 0, 即 ? (n ? 1) ? ? ( n) ? 0 , n i ?1 ∴数列 ? ( n) 单调递增,又 ? (1) ? ln 2 ? 0 ,∴ ln ?1 ? n ? ? ? 2 ----------------------14 分】 i ?1 i
【证法三:令 ? (n) ? ln(1 ? n) ? ?


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