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2015-2016学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.设集合 M={0,1,2},则( ) A.1∈M B.2?M C.3∈M D.{0}∈M 2.若关于 x 的不等式 mx﹣2>0 的解集是{x|x>2},则实数 m 等于( ) A.﹣1

B.﹣2 C.1 D.2 3.cos150°的值等于( ) A. B. C. D. 的定义域是( ) D. (﹣1,1]

4.函数 f(x)=ln A. (﹣1,1)
x

B.[﹣1,1] C.[﹣1,1) ) D.

5.若 3 =2,则 x=(

A.lg3﹣1g2 B.lg2﹣1g3 C.

6.设向量 =(x,1) , =(1,y) ,若 ? =0,则( ) A.| |>| | B.| |<| | C.| |=| | D. = 7.设 x0 为方程 2x+x=8 的解.若 x0∈(n,n+1) (n∈N) ,则 n 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 8.要得到函数 f(x)=2sin(2x﹣ ( ) 个单位 个单位 B.向左平移 D.向左平移 个单位 个单位



)的图象,只需将函数 g(x)=2sin(2x+

)的图象

A.向右平移 C.向右平移

9.已知向量 , 满足| |=4,| |=3,且(2 ﹣3 )?(2 + )=61,则向量 , 的夹角 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 10.当 时,函数 f(x)=sinx+ cosx 的( )

A.最大值是 1,最小值是﹣1

B.最大值是 1,最小值是﹣

C.最大值是 2,最小值是﹣2 D.最大值是 2,最小值是﹣1 11.若 a>0 且 a≠1,则函数 y=ax 与 y=loga(﹣x)的图象可能是(



第 1 页 共 14 页

A.

B.

C.

D.

12.设 G 是△ABC 的重心,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 a 则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 13. 若不等式 sin2x﹣asinx+2≥0 对任意的 x∈ (0, A.2 B. C.2 + D.3 +2) ( +1)的值域是( D.[2+ ,4 |= ) ]

+b

+c

= ,

]恒成立, 则实数 a 的最大值是 (



14.函数 f(x)=( A.[2+ ,8] B.[2+

,+∞) C.[2,+∞)

15.若直角△ABC 内接于单位圆 O,M 是圆 O 内的一点,若| 的最大值是( A. +1 B. ) +2 C. +1 D . +2

,则|

+

+

|

二、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 6 分.共 36 分. 16.若集合 A={x|x2﹣x≥0},则 A= ;?R(A)= x y 3x﹣y 17.若 10 =2,10 =3,则 10 = . 18.若扇形的半径为 π,圆心角为 120°,则该扇形的弧长等于 于 . 19.函数 f(x)=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx(x∈R)的最小正周期为 区间为 . 20. sin = β∈ π) 设 α、 (0, , (α+β) tan , = , 则 tanα=

. ;面积等 ,单调递减

tanβ= ,



21.在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,若 P 为 DC 上的动点,则 ? ﹣ 的最小值 为 . 22.不等式 lg(x2+100)≥2a+siny 对一切非零实数 x,y 均成立,则实数 a 的取值范围 为 . 23.函数 f(x)=(x2﹣ax+2a)ln(x+1)的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围 为 . 三、解答题:本大题共 2 小题,共 719 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24.在△ABC 中,| |=c,| |=b. 第 2 页 共 14 页

(Ⅰ)若 b=3,c=5,sinA= ,求| (Ⅱ) 若| |=2, 与 的夹角为

|; , 则当| |取到最大值时, 求△ABC 外接圆的面积.

25.设函数 f(x)=x2+bx+c(a≠0,b,c∈R) ,若 f(1+x)=f(1﹣x) ,f(x)的最小值为 ﹣1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数 y=|f(x)|与 y=t 相交于 4 个不同交点,从左到右依次为 A,B,C,D,是否 存在实数 t,使得线段|AB|,|BC|,|CD|能构成锐角三角形,如果存在,求出 t 的值;如 果不存在,请说明理由.

第 3 页 共 14 页

2015-2016 学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.设集合 M={0,1,2},则( ) A.1∈M B.2?M C.3∈M D.{0}∈M 【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】根据集合中元素的确定性解答. 【解答】解:由题意,集合 M 中含有三个元素 0,1,2. ∴A 选项 1∈M,正确;B 选项 2?M,错误;C 选项 3∈M,错误,D 选项{0}∈M,错误; 故选:A. 2.若关于 x 的不等式 mx﹣2>0 的解集是{x|x>2},则实数 m 等于( A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2 【考点】不等关系与不等式. 【分析】利用一元一次不等式的解法即可得出. 【解答】解:∵关于 x 的不等式 mx﹣2>0 的解集是{x|x>2}, ∴m>0, 故选:C. 3.cos150°的值等于( A. B. C. ) D. ,因此 ,解得 m=1. )

【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】把所求式子中的角 150°变为 180°﹣30°,利用诱导公式 cos=﹣cosα 化简后,再根据 特殊角的三角函数值即可求出值. 【解答】解:cos150° =cos =﹣cos30° =﹣ 故选 D .

4.函数 f(x)=ln A. (﹣1,1)

的定义域是(



B.[﹣1,1] C.[﹣1,1) D. (﹣1,1] 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于 x 的不等式,解出即可. 【解答】解:由题意得:1﹣x2>0,解得:﹣1<x<1, 故函数的定义域是(﹣1,1) , 第 4 页 共 14 页

故选:A. 5.若 3x=2,则 x=( ) D.

A.lg3﹣1g2 B.lg2﹣1g3 C. 【考点】指数式与对数式的互化.

【分析】 由 3x=2, 根据指数式与对数式的互化关系可得 x=log32, 再利用换底公式化为 【解答】解:∵3x=2,由指数式与对数式的互化关系可得 x=log32= 故选 D. 6.设向量 =(x,1) , =(1,y) ,若 ? =0,则( ) A.| |>| | B.| |<| | C.| |=| | D. = 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】根据向量的数量积和向量的模即可判断. 【解答】解:∵向量 =(x,1) , =(1,y) , ? =0, ∴ ? =x+y=0, ∴| |= ∴| |=| |, 故选:C. 7.设 x0 为方程 2x+x=8 的解.若 x0∈(n,n+1) (n∈N) ,则 n 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】由题意可得 ) ,| |= , ,



+x0﹣8=0.令 f(x)=2x+x﹣8=0,由 f(2)<0,f(3)>0,可得

x0∈(2,3) .再根据 x0∈(n,n+1) (n∈N) ,可得 n 的值. 【解答】解:∵x0 为方程 2x+x=8 的解,∴ +x0﹣8=0.

令 f(x)=2x+x﹣8=0,∵f(2)=﹣2<0,f(3)=3>0,∴x0∈(2,3) . 再根据 x0∈(n,n+1) (n∈N) ,可得 n=2, 故选:B.

8.要得到函数 f(x)=2sin(2x﹣ ( ) 个单位 个单位

)的图象,只需将函数 g(x)=2sin(2x+

)的图象

A.向右平移 C.向右平移

B.向左平移 D.向左平移

个单位 个单位

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,左加右减可得答案. 第 5 页 共 14 页

【解答】解:∵f(x)=2sin(2x﹣ ∴g(x)=2sin(2x+ =2sin[2(x+ =2sin[2(x﹣ =2sin[2(x﹣ )] + + + )] )

)=2sin[2(x﹣

)],

)]=f(x+

) , =2sin 个单位, 得到函数 f (x) (2x﹣ )

=2sin ∴将函数 g (x) (2x+ 的图象. 故选:C.

) 的图象向右平移

9.已知向量 , 满足| |=4,| |=3,且(2 ﹣3 )?(2 + )=61,则向量 , 的夹角 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式, 求出两个向量的数量 积,利用数量积公式求夹角. 【解答】解:因为向量 , 满足| |=4,| |=3,且(2 ﹣3 )?(2 + )=61,所以 4 ,

即 64﹣27﹣4 故选:C.

=61,所以

=﹣6,所以 cosθ=

,所以 θ=120°;

10.当

时,函数 f(x)=sinx+

cosx 的(



A.最大值是 1,最小值是﹣1 C.最大值是 2,最小值是﹣2

B.最大值是 1,最小值是﹣ D.最大值是 2,最小值是﹣1

【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】首先对三角函数式变形,提出 2 变为符合两角和的正弦公式形式,根据自变量的范 围求出括号内角的范围,根据正弦曲线得到函数的值域. 【解答】解:∵f(x)=sinx+ cosx =2( sinx+ =2sin(x+ ∵ cosx) ) , ,

第 6 页 共 14 页

∴f(x)∈[﹣1,2], 故选 D 11.若 a>0 且 a≠1,则函数 y=ax 与 y=loga(﹣x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断. 【解答】解:当 a>1 时,由 y=loga(﹣x)可知函数的定义域为 x<0,且函数单调递减, y=ax 单调递增, 当 0<a<1 时,由 y=loga(﹣x)可知函数的定义域为 x<0,且函数单调递增,y=ax 单调递 减, 故选:B. 12.设 G 是△ABC 的重心,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 a 则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 +b +c = ,

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出. 【解答】解:∵G 是△ABC 的重心, , 又 a +b +c = , ∴(a﹣b) +(a﹣c) +(b﹣c) ∴a﹣b=a﹣c=b﹣c, ∴a=b=c. ∴△ABC 的形状是等边三角形. 故选:B. =﹣ × , = , =

= ,

13. 若不等式 sin2x﹣asinx+2≥0 对任意的 x∈ (0, A.2 B. C.2 D.3

]恒成立, 则实数 a 的最大值是 (



【考点】三角函数的最值.

第 7 页 共 14 页

【分析】利用换元法令 t=sinx,不等式可整理为 t2﹣at+2≥0 恒成立,得 离常数法求出实数 a 的最大值即可. 【解答】解:设 t=sinx,∵x∈(0, ],∴t∈(0,1],

,利用分

则不等式即为 t2﹣at+2≥0 在 t∈(0,1]恒成立, 即 ∴a≤3. 故选:D. 在 t∈(0,1]恒成立,

14.函数 f(x)=( A.[2+ ,8] B.[2+ 【考点】函数的值域.

+

+2) (

+1)的值域是( D.[2+ ,4

) ]

,+∞) C.[2,+∞)

【分析】容易得出 f(x)的定义域为[﹣1,1],并设 的范围即可求出 根据导数在 ,且得出 上的符号即可判断函数 ,从而得出 在

,两边平方,根据 x ,求导, 上单调递增,从而得

出 y 的范围,即得出函数 f(x)的值域. 【解答】解:f(x)的定义域为[﹣1,1]; 设 ∵﹣1≤x≤1; ∴0≤1﹣x2≤1, ∴2≤t2≤4; ∴ ∴ ∴ ∴ 在 ,且 ; ,令 y′=0 得, ,或 0; ,设 y=f(x) ; ; ,则 ;

上单调递增; ,t=2 时,y 取最大值 8; .

∴ 时,y 取最小值 ∴ ; ∴原函数的值域为 故选 A.

第 8 页 共 14 页

15.若直角△ABC 内接于单位圆 O,M 是圆 O 内的一点,若| 的最大值是( A. +1 B. ) +2 C. +1 D . +2

|=

,则|

+

+

|

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由直角三角形可知 O 为斜边 AC 的中点,于是 + + =2 + =3 以当 和 同向时,模长最大. 【解答】解:设直角三角形的斜边为 AC,∵直角△ABC 内接于单位圆 O, ∴O 是 AC 的中点, ∴| + + |=|2 + |=|3 + |, ∴当 和 同向时,|3 + |取得最大值|3 |+| |= +1.

+

,所

故选:C. 二、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 6 分.共 36 分. 16.若集合 A={x|x2﹣x≥0},则 A= (﹣∞,0]∪[1,+∞) ;?R(A)= (0,1) . 【考点】补集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,根据全集 R 求出 A 的补集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:x(x﹣1)≥0, 解得:x≤0 或 x≥1,即 A=(﹣∞,0]∪[1,+∞) , 则?RA=(0,1) , 故答案为: (﹣∞,0]∪[1,+∞) ; (0,1) 17.若 10x=2,10y=3,则 103x﹣y=



【考点】对数的运算性质. 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【解答】解:∵10x=2,10y=3, ∴103x﹣y=103x÷10y=(10x)3÷10y=23÷3= , 故答案为:

18. 若扇形的半径为 π, 圆心角为 120°, 则该扇形的弧长等于 【考点】扇形面积公式;弧长公式. 【分析】利用扇形的弧长公式,面积公式即可直接计算得解. 【解答】解:设扇形的弧长为 l,扇形的面积为 S, ∵圆心角大小为 α= ∴则 l=rα= = (rad) ,半径为 r=π, ,扇形的面积为 S= ×

; 面积等于

π3 .

×π= π3.

第 9 页 共 14 页

故答案为:

, π3.

19.函数 f(x)=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx(x∈R)的最小正周期为 π ,单调递减区间为 . 【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式,由周期公式求出函数的最小正周 期;由正弦函数的减区间、整体思想求出 f(x)的单调递减区间. 【解答】解:由题意得,f(x)=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx =cos2x+sin2x= ∴最小正周期 T= 由 , ∴函数 f(x)的单调递减区间是 故答案为:π; . , =π, 得, ,

20.设 α、β∈(0,π) ,sin(α+β)= 【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由 tan

,tan

= ,则 tanα=

,tanβ= ﹣



的值,利用二倍角的正切函数公式求出 tanα 的值大于 1,确定出 α 的范

围,进而 sinα 与 cosα 的值,再由 sin(α+β)的值范围求出 α+β 的范围,利用同角三角函数 间的基本关系求出 cos(α+β)的值,所求式子的角 β=α+β﹣α,利用两角和与差的余弦函数 公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值. 【解答】解:∵tan = ,α∈(0,π) ,

∴tanα=

= >1,

∴α∈(



) ,

∴cosα=

= ,sinα=

= ,

∵sin(α+β)=





第 10 页 共 14 页

∴α+β∈(

,π) , , × + × =﹣ ,

∴cos(α+β)=﹣

则 cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=﹣ ∴sin 故答案为: ,﹣ = . ,tan =﹣ .

21.在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,若 P 为 DC 上的动点,则 1 .

?



的最小值为

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】建立平面直角坐标系,求出各向量的坐标,代入向量的数量积公式得出关于 P 点 横坐标 a 的函数,利用二次函数的性质求出最小值. 【解答】解:以 A 为原点,以 AB,AD 为坐标轴建立平面直角坐标系如图: 则 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1) ,设 P(a,1) (0≤a≤2) . =(﹣a,﹣1) , =(2﹣a,﹣1) , =(0,1) , =a(a﹣2)+1﹣(﹣1)=a2﹣2a+2=(a﹣1)2+1. ∴ ? ﹣ ? ﹣ ∴当 a=1 时, 取得最小值 1. 故答案为:1.

22. y 均成立, 不等式 lg (x2+100) ≥2a+siny 对一切非零实数 x, 则实数 a 的取值范围为 (﹣ ∞,2 ) .

【考点】函数恒成立问题. 【分析】问题转化为 2a≤lg(x2+100)﹣siny,令 z=lg(x2+100)﹣siny,根据对数函数和三 角函数的性质求出 z 的最小值,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解:不等式 lg(x2+100)≥2a+siny 对一切非零实数 x,y 均成立, ∴2a≤lg(x2+100)﹣siny, 第 11 页 共 14 页

令 z=lg(x2+100)﹣siny,则 z≥lg100﹣1=9, ∴2a≤9,解得:a≤2 则实数 a 的取值范围为(﹣∞,2 ) .

23.函数 f(x)=(x2﹣ax+2a)ln(x+1)的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围为 (﹣ ,0) . 【考点】函数的图象. 【分析】讨论当 x>0,和 x<0 时,函数 g(x)=x2﹣ax+2a 的取值情况,利用参数分离法 进行求解即可. 【解答】解:函数的定义域为(﹣1,+∞) ,设 g(x)=x2﹣ax+2a, 若﹣1<x<0,ln(x+1)<0,此时要求 g(x)在﹣1<x<0 经过二、三, 即此时 ,即 ,此时﹣ <a<0,

当 x=0 时,f(0)=0,此时函数图象过原点, 当 x>0 时,ln(x+1)>0,此时要求 g(x)经过一四象限, 即 x>0 时,x2﹣ax+2a<0,有解, 即 a(x﹣2)<x2 有解, 当 x=2 时,不等式等价为 0<4,成立, 当 0<x<2 时,a> ,∵此时 <0,∴此时 a<0,

当 x>2 时,不等式等价为 a<





=

=(x﹣2)+

+4

≥4+2

=4+2×2=4+4=8,

∴若 a<

有解,则 a>8,

即当 x>0 时,a<0 或 a>8, 综上{a|﹣ <a<0}∩{a|a<0 或 a>8}={a|﹣ <a<0}=(﹣ ,0) , 故答案为: (﹣ ,0) .

三、解答题:本大题共 2 小题,共 719 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24.在△ABC 中,| |=c,| |=b. 第 12 页 共 14 页

(Ⅰ)若 b=3,c=5,sinA= ,求| (Ⅱ) 若| |=2, 与 的夹角为

|; , 则当| |取到最大值时, 求△ABC 外接圆的面积.

【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)求出 cosA,利用余弦定理得出 a; (2)利用正弦定理得出外接圆半径,从而得出外接圆的面积. 【解答】解: (1)在△ABC 中,∵sinA= ,∴cosA= 由余弦定理得:| |2=a2=b2+c2﹣2bccosA=9+25±18. ∴a2=16 或 52. ∴| |=4 或 2 . (2)由题意可知 A= 由正弦定理得 ,a=2. ,∴R= . = . .

∴△ABC 的外接圆的面积 S=

25.设函数 f(x)=x2+bx+c(a≠0,b,c∈R) ,若 f(1+x)=f(1﹣x) ,f(x)的最小值为 ﹣1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数 y=|f(x)|与 y=t 相交于 4 个不同交点,从左到右依次为 A,B,C,D,是否 存在实数 t,使得线段|AB|,|BC|,|CD|能构成锐角三角形,如果存在,求出 t 的值;如 果不存在,请说明理由. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (Ⅰ)根据函数的对称轴求出 b 的值,根据函数的最小值求出 c 的值,从而求出函 数的解析式即可; (Ⅱ)分别求出|AB|﹣|CD|,|CB|,得到不等式(2+ 【解答】解: (Ⅰ)∵f(1+x)=f(1﹣x) , ∴函数的对称轴是 x=1,即﹣ =1,解得:b=﹣2; ) < ,解出即可.

∵f(x)的最小值是﹣1,∴

=﹣1,解得:c=0,

∴f(x)=x2﹣2x; (Ⅱ)若函数 y=|f(x)|与 y=t 相交于 4 个不同交点,则 0<t<1, 易知 xA=1﹣ ∴|AB|﹣|CD|= ,xB=1﹣ ﹣ ,xC=1+ ,|CB|=2 ,xD=1+ , ,

∴线段|AB|,|BC|,|CD|能构成等腰锐角三角形, ∴|BC|≤ |AB|,即 2 < ( ﹣ ) ,

第 13 页 共 14 页

即(2+ 解得:

) <t<1.



?



第 14 页 共 14 页


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