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3.数列极限及无穷数列各项和


3.数列极限及无穷数列各项和
数列极限的几个重要结论: ⑴ lim C ?
n ??

C

⑵ lim

n ??

1 ? n

0

(3) lim q n ?
n ??

0

( q

<1,q 为常数)

求下列极限: 1、

2n 2 ? 1 lim 2 = n ?? 3n ? 2n

; 2、 lim

n ??

1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) =_________________ 2 ? 4 ? 6 ? ??? ? 2n

3、已知 a、b、c 是实常数,且 lim

an ? c bn2 ? c an2 ? c ? 2, lim 2 ? 3, 则 lim 2 的值是______________ n ?? bn ? c n ?? cn ? b n ?? cn ? a
5、 lim(
n ??

4、 lim(2 ? ) =
3 n ??

3 n

2n ?1 ? 3n )= 2n ?1 ? 3n ? 2
) D.-1 或 0

6、已知 a、b 是互不相等的正数,则 lim A.1 7、 lim(1 ?
n ??

an ? bn ?( n ?? a n ? b n
C.0

B.-1 或 1

1 1 1 )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) = 2 2 3 n

?= 1 8、 lim? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? n?? ? 2 ? 5 5 ? 8 8 ? 11 (3n ? 1)(3n ? 2) ? ? ?

9、 lim[( n ? 1 ? n ) n ] =
n ??

(?2)n?1 10、 lim = n?? 1 ? 2 ? 4 ? ? (?2)n?1



11、已知等比数列 {an } 的公比 q>1,且 a1=b (b≠0),求 lim

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n =_______ n ?? a ? a ? ? ? ? ? a 6 7 n

12、等差数列 {an } , ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

Sn a 2n ? , 则 lim n =_____________ n ?? Tn 3n ? 1 bn
n ??

13、设等比数列 {q n?1}(q ? 1) 的前 n 项和为 S n ,前 n ? 1 项的和为 S n ?1 ,则 lim 14、0<a<1,计算 lim(1 ? a)(1 ? a )(1 ? a ) ? ? ? (1 ? a
2 4 n??
n ??

Sn =_________ S n ?1

2n

) ? ______ .
n ??

15、已知数列 {xn } 与 { yn } 满足 lim(2 xn ? yn ) ? 1, lim( xn ? 2 yn ) ? 1 ,求 lim( xn yn ) 的值。
n ??

16、化下列循环小数为分数(1) 0.5 =________ (2) 0. 2 8 =_________ (3) 1.4 3 =_________ 17、若 S ? 0.13? 0.013? 0.0013?
? ? ?

?

? ?

?

,

则 S ? _________

18、等比数列的{an} (n ? N ) 公比 q ? ? 19、等比数列 ?an ? 满足 lim( a1 ? a2 ?
n ??

1 8 ? a2 n ?1 ) ? ,则 a1 =_________ ,且 lim(a1 ? a3 ? a5 ? x ?? 2 3 2 ? an ) ? ,则 a1 的取值范围是__________。 5

20、数列{an}是公比 q ? 0 的等比数列, Sn 是它的前 n 项的和, lim S n ? 7 ,则此数列首项 a1 的取值范围
x ??

__________

21、若首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列{an}的前 n 项的和总小于这个数列各项的和,则首项 a1 ,公比 q 的 一组取值可以是( a1 , q )=___________

22、无穷等比数列{ tg n? }中,(1)若它的各项和存在,则 ? 的范围是________

(2)若它的各项和为

3 ?1 ,则 ? =_______ 2

23、已知等比数列{an}的首项为 a1 ,公比为 q,且有 lim(
x ??

a1 1 ? q n ) ? ,则此数列首项 a1 的取值范围是 1? q 2
1 2





(A) a1 ? 3 (B) 0 ? a1 ? 1 (C) a1 ? 3 或 0 ? a1 ? 1 (D) a1 ? 3 或 0 ? a1 ? 1且 a1 ?

24、 ?im n (
n ??

2

m 1 1 1 ? ? ??? ) =_____________ n n ?1 n ? 2 n?m

25、 lim(1 ?
x ??

22 ? 32 23 ? 53 ? ? 52 53

2n ? 3n ) 的值是___________ 5n

26、已知数列 ?a n ? ,其中 a1 ?

4 13 1 , a2 ? ,且当 n ? 3 时, an ? an ?1 ? (an ?1 ? an ? 2 ) 3 9 3
n ??

(1)求数列的通项; (2)求 lim a n

? ? ? ?1(0 ? ? ? 4 ) ? ? ? sin n ? ? cos n ? 15.已知 ? 为锐角, lim ==____ ?0(? ? ) _____。 n n n ?? sin ? ? cos ? 4 ? ? ? ? ?1( 4 ? ? ? 2 ) ?
27 . 设 {an } 和 {bn } 都 是 等 差 数 列 , a1 ? 3, b1 ? 2 , b2 是 a2 , a3 的 等 差 中 项 , lim
n ??

an 1 ? ,求 bn 2

1 1 1 的值 lim( ? ? ? ) n ?? a b ab anbn 1 1 2 2 解:设 {an } 和 {bn } 的公差为 d1 , d 2 , 2b2 ? a2 ? a3 2(2 ? d2 ) ? 3 ?d1 ? 3? d2 ? d3 2 ? 2? 0 1 1 ?d 2 a 3 ? (n ? 1)d1 d1 1 lim n ? lim ? ? ? d2 ?2 d1 ? d1 ? 2 , d2 ?4 n ?? b n ?? 2 ? ( n ? 1) d d2 2 n 2 ? an ? 2n ? 1, bn ? 4n ? 2 ? 2(2n ?1) 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) anbn 2(2n ? 1)(2n ? 1) 4 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 原式= lim(1 ? ? ? ? ? ? ) ? lim(1 ? )? n ?? n ?? 4 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 4 2n ? 1 4
28.(1) lim(
n ??

n2 ? 1 ? an ? b) ? 0, 求实数 a , b 的值 n ?1

(2) 已知数列 {an } 满足条件: a1 ? 1, a2 ? r (r ? 0), 且 {an an?1} 是公比是 q ( q ? 0 )的等比数列,

bn ? a2n?1 ? a2n (n ? 1, 2, ) ,求 bn 和 lim
(1) lim(

1 ,其中 Sn ? b1 ? b2 ? n ?? S n

? bn

(1 ? a)n 2 ? (a ? b)n ? 1 ? b ) ? 0, a ? 1 ,b ? ? 1 n ?? n ?1 an?1an? 2 an? 2 b a ?a q(a2 n?1 ? a2 n ) (2) ? ? q ? n?1 ? 2 n?1 2 n? 2 ? ?q an an?1 an bn a2 n?1 ? a2 n a2 n?1 ? a2 n

?bn ? 成等比,首项 b1 ? a1 ? a2 ? 1 ? r ,公比为 q
① q ? 1, Sn ? n(1 ? r ), ② 0 ? q ? 1 , Sn ?

, bn ? (1 ? r )qn?1

lim

1 1 ? lim ?0 n ?? S n ?? n(1 ? r ) n

1 1? q (1 ? r )(1 ? q n ) , ? lim ? n ?? S 1? r 1? q n 1 1 ( ) n ? ( ) n ?1 1 1? q 1 q q ? lim ? lim ?0 ③ q ? 1 lim n ?? S n ?? (1 ? r )(1 ? q n ) n ?? 1 ? r 1 n ( )n ? 1 q ?1 ? q (0 ? q ? 1) 1 ? ? lim ? ?1 ? r n ?? S n ? ?0(q ? 1)


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