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知识点174 函数的表示方法(解答题)


1. (2008?防城港)已知 x 为实数.y、z 与 x 的关系如表格所示:根据上述表格中的数字变化 规律,解答下列问题: (1)当 x 为何值时,y=430? (2)当 x 为何值时,y=z? x … 3 4 5 6 … y … 30×3+70 30×4+70 30×5+70 30×6+70 … z … 2×1×8 2×2×9 2×3×10 2×4×11 …

/>考点:函数的表示方法。 专题:计算题;图表型。 分析:由图片中的信息可得出:当 x 为 n(n≥3)时,y 应该表示为 30×n+70,z 就应该表述为 2×(n﹣2) (5+n) ;那么由此可得出(1) (2)中所求的值. 解答:解:∵y=30×x+70,z=2×(x﹣2) (5+x) (1)当 x=12 时,y=30×12+70=430; (2)∵y=z, 即 30×x+70=2×(x﹣2) (5+x) , 解得:x=15. 点评:本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论,然后根据得出的规律去求特定的值. 2.在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体,下面是测得的弹簧的长 度 y 与所挂物体质量 x 的一组对应值. 所挂物体质量 x/kg 弹簧长度 y/cm 0 18 1 20 2 22 3 24 4 26 5 28

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当所挂物体重量为 3 千克时,弹簧多长?不挂重物时呢? (3)若所挂重物为 7 千克时(在允许范围内) ,你能说出此时的弹簧长度吗? 考点:函数的表示方法。 专题:跨学科。 分析: (1)因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的 质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量;弹簧的长度是因变量; (2)由表可知,当物体的质量为 3kg 时,弹簧的长度是 24cm;不挂重物时,弹簧的长度是 18cm; (3)由表中的数据可知,x=0 时,y=18,并且每增加 1 千克的质量,长度增加 2cm,依此可 求所挂重物为 7 千克时(在允许范围内)时的弹簧长度. 解答: 解: (1) 上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系; 其中所挂物体质量是自变量, 弹簧长度是因变量;

(2)当所挂物体重量为 3 千克时,弹簧长 24 厘米;当不挂重物时,弹簧长 18 厘米; (3)根据上表可知所挂重物为 7 千克时(在允许范围内)时的弹簧长度=18+2×7=32 厘米. 点评:考查了函数的表示方法,本题需仔细分析表中的数据,进而解决问题.明确变量及变量 之间的关系是解好本题的关键. 3.某河受暴雨袭击,某天此河水的水位记录如下表: 时间(小时) 水位(米) 0 2 4 2.5 8 3 4 12 16 5 20 6 24 8

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系? (2)12 时,水位是多高? (3)哪一时段水位上升最快? 考点:函数的表示方法。 专题:图表型。 分析:本题考查了函数的有关概念,关键是从表中看出一些对解题有用的信息,进行解题. 解答:解: (1)由表可知:反映了时间和水位之间的关系; (2)由表可以看出:12 时,水位是 4 米; (3)由表可以看出:在相等的时间间隔内,20 时至 24 时水位上升最快. 点评:本题考查了数形结合及函数的有关概念. 4.洪山县从 2000 年开始实施退耕还林,每年退耕还林的面积如下表: 时间/年 面积/亩 2000 350 2001 380 2002 420 2003 500 2004 600 2005 720

①上表反映的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? ②从表中可知,随时间的变化,退耕还林面积的变化趋势是什么? ③从 2000 年到 2005 年底,洪山县已完成退耕还林面积多少亩? 考点:函数的表示方法。 专题:应用题。 分析:①根据函数的定义可知,时间是自变量,退耕还林的面积是因变量; ②由图表数据可知退耕还林面积的变化趋势; ③由图表数据将 2000 年到 2005 的数据进行相加,即可求解. 解答:解:①时间和退耕还林的面积,其中时间是自变量,退耕还林的面积是因变量. ②由图表 2000 年的 350,一直到 2005 年的 720,可知, 退耕还林面积的变化趋势是逐年增加; ③由题意得, 从 2000 年到 2005 年底, 洪山县已完成退耕还林面积为: 350+380+420+500+600+720=2970 亩. 点评:此题主要考查函数的定义及其性质的简单应用,比较简单. 5.下表是佳佳往妹妹家打长途电话的几次收费记载: 时间/分 电话费/元 1 0.6 2 1.2 3 1.8 4 2.4 5 3.0 6 3.6 7 4.2

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

(2)你能帮佳佳预测一下,如果她打电话用时间是 10 分钟,则需付多少电话费? 考点:函数的表示方法。 专题:图表型。 分析: (1)根据函数的定义可知,通话时间是自变量,电话费是因变量; (2)观察图表中的数据,1 分钟 0.6,两分钟 1.2,相差 0.6,可知成等差数列,从而求解. 解答:解: (1)通话时间与电话费;其中通话时间是自变量,电话费是因变量; (2)设时间为 x,电话费为 y,则有 y=0.6x, ∴当 x=10 时,y=6 元. 点评:此题主要考查一次函数的定义及其性质,比较简单. 6.父亲告诉小明:“距离地面越高,温度越低,”并给小明出示了下面的表格. 距离地面高度(千米) 0 温度(℃) 20 1 14 2 8 3 2 4 ﹣4 5 ﹣10

根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,你和小明一起回答. (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用 h 表示距离地面的高度,用 t 表示温度,那么随着 h 的变化,t 是怎么变化的? (3)你能猜出距离地面 6 千米的高空温度是多少吗? 考点:函数的表示方法。 专题:应用题。 分析: (1)根据图表,反映的是距离地面的高度和温度两个量,所以温度和高度是两个变化的 量,温度随高度的变化而变化; (2)根据表格数据,高度越大,时间越低,所以随着高的 h 的增大,温度 t 在减小; (3)求出当 h=6 时温度 t 的值即可. 解答:解: (1)上表反映了温度和高度两个变量之间.高度是自变量,温度是因变量. (4 分) (2)如果用 h 表示距离地面的高度,用 t 表示温度,那么随着高度 h 的增大,温度 t 逐渐减 小(或降低) . (8 分) (3)距离地面 6 千米的高空温度是﹣16℃. (10 分) 点评:本题是对函数定义的考查和图表的识别,自变量、因变量的区分对初学函数的同学来说 比较困难,需要在学习上多下功夫. 7.下表是三发电器厂 2007 年上半年每个月的产量: x/月 y/台 1 10000 2 10000 3 12000 4 13000 5 14000 6 18000

(1)根据表格中的数据,你能否根据 x 的变化,得到 y 的变化趋势? (2)根据表格你知道哪几个月的月产量保持不变?哪几个月的月产量在匀速增长?哪个月的 产量最高? (3)试求 2007 年前半年的平均月产量是多少? 考点:函数的表示方法。 专题:应用题。

分析: (1) 该表格中的数据呈现了三发电器厂 2007 年上半年每个月的产量随月份的变化趋势; (2)根据表格中的数据变化情况得出; (3)读取各月的产量数,再求平均数. 解答:解: (1)随着月份 x 的增大,月产量 y 正在逐渐增加; (2)1 月、2 月两个月的月产量不变,4 月、5 月三个月的产量在匀速增多,6 月份产量最高; (3) 2007 年前半年的平均月产量 (10000+10000+12000+13000+14000+18000) ÷6≈13000 (台) . 点评:本题考查的是统计表的综合运用.读懂统计表,从统计表中得到必要的信息是解决问题 的关键.同时考查了平均数的求法. 8.父亲告诉小明:“距离地面越远,温度越低”,小明并且出示了下面的表格: 距离地面高度(千米) 0 温度(℃) 20 1 14 2 8 3 2 4 ﹣4 5 ﹣10

根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,你和小明一起回答: (1)如果用 h 表示距离地面的高度,用 t 表示温度,那么随着 h 的变化,t 如何变化? (2)你知道距离地面 5 千米的高空温度是多少吗? (3)你能预测出距离地面 6 千米的高空温度是多少吗? 考点:函数的表示方法。 专题:应用题。 分析: (1)根据表格数据,距离地面越远,温度越低,所以随着 h 的升高,t 在降低; (2)根据表格,高度是 5 千米时的温度是﹣10℃; (3)根据规律,高度每升高 1 千米,温度降低 6℃,所以距离地面 6 千米时的温度是﹣16℃. 解答:解: (1)根据表格数据,随着 h 的升高,t 在降低; (2)﹣10℃; (3)﹣10﹣6=﹣16℃. 点评:本题主要考查函数的表格表示法的识别能力,函数的表示法有:解析式法,图象法,表 格法,都需要熟悉并熟练掌握. 9.心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位:分)之间有如 下关系: (其中 0≤x≤30) 提出概念所用时间(x) 对概念的接受能力(y) 2 47.8 5 53.5 7 56.3 10 59 12 59.8 13 59.9 14 59.8 17 58.3 20 55

(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系? (2)当提出概念所用时间是 10 分钟时,学生的接受能力是多少? (3)根据表格中的数据,你认为提出概念几分钟时,学生的接受能力最强; (4)从表中可知,当时间 x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?当时间 x 在什么范围 内,学生的接受能力逐步降低? 考点:函数的表示方法。 专题:图表型。 分析:准确理解函数的概念:在运动变化过程中有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个值,y 都 有唯一确定的值与之对应,y 是 x 的函数,x 是自变量. 解答:解: (1)提出概念所用的时间 x 和对概念接受能力 y 两个变量;

(2)当 x=10 时,y=59,所以时间是 10 分钟时,学生的接受能力是 59. (3)当 x=13 时,y 的值最大是 59.9,所以提出概念 13 分钟时,学生的接受能力最强. (4)由表中数据可知:当 2<x<13 时,y 值逐渐增大,学生的接受能力逐步增强;当 13<x <20 时,y 值逐渐减小,学生的接受能力逐步降低. 点评:根据表格准确理解函数的概念,函数值随自变量的变化而变化. 10.如图所示,用长为 20 的铁丝焊接成一个长方形,设长方形的一边为 x,面积为 y,随着 x 的变化,y 的值也随之变化.

(1)写出 y 与 x 之间的关系式,并指出在这个变化中,哪个是自变量?哪个是因变量? (2)用表格表示当 x 从 1 变化到 9 时(每次增加 1) ,y 的相应值; x 1 y (3)当 x 为何值时,y 的值最大? 考点:函数的表示方法。 分析: (1)根据周长的等量关系可得长方形的另一边为 10﹣x,那么面积=x(10﹣x) ,自变量 是 x,应变量是函数值 y; (2)把相关 x 的值代入(1)中的函数解析式求值即可; (3)根据(2)所得的结论可得 x 为何值时,y 的值最大. 解答:解: (1)y=(20÷2﹣x)×x=(10﹣x)×x=10x﹣x ; x 是自变量,y 是因变量. (2)所填数值依次为:9,16,21,24,25,24,21,16,9; (3)由(2)可以看出:当 x 为 5 时,y 的值最大. 点评:用到的知识点为:长方形的长与宽的和等于周长的一半;长方形的面积等于长×宽. 11.父亲告诉小明:“距离地面越远,温度越低,”并给小明出示了下面的表格. 距离地面高度(千米) 0 温度(℃) 20 1 14 2 8 3 2 4 ﹣4 5 ﹣10
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根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,你和小明一起回答. (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用 h 表示距离地面的高度,用 t 表示温度,那么随着 h 的变化,t 是怎么变化的? (3)你知道距离地面 5 千米的高空温度是多少吗? (4)你能猜出距离地面 6 千米的高空温度是多少吗?

考点:函数的表示方法;常量与变量;函数关系式。 专题:计算题。 分析: (1)函数是指在一个变化过程中的两个变量 x、y,对于 x 的每一个值,y 都有唯一的值 和它相对应,此时 x 叫自变量,y 叫 x 的函数; (2)根据表中数据的变化规律,找到温度和高度之间的关系,列出关系式 y=20﹣6x; (3)可直接从表中得到距离地面 5 千米的高空温度; (4)将 t=6 代入解析式即可求出距离地面 5 千米的高空温度. 解答:解: (1)上表反映了温度和距地面高度之间的关系,高度是自变量,温度是函数. (2)由表可知,每上升一千米,温度降低 6 摄氏度,可得解析式为 y=20﹣6x; (3)由表可知,距地面 5 千米时,温度为零下 10 摄氏度; (4)将 x=6 代入 y=20﹣6x 可得,y=20﹣6×6=﹣16. 点评:此题考查了函数的表示方法和函数的关系式,从表中找到规律是解题的关键. 12.心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位:分)之间有如 下关系(其中 0≤x≤30) 提出概念所用时间(x) 对概念的接受能力(y) 2 47.8 5 53.5 7 56.3 10 59 12 59.8 13 59.9 14 59.8 17 58.3 20 55

(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?那个是自变量?哪个是因变量? (2)根据表格中的数据,你认为提出概念所用时间为几分钟时,学生的接受能力最强? (3)从表格中可知,当提出概念所用时间 x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?当提 出概念所用时间 x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? (4)根据表格大致估计当提出概念所用时间为 23 分钟时,学生对概念的接受能力是多少. 考点:函数的表示方法。 分析: (1)根据 x,y 表示的意义以及函数的概念即可判定; (2)学生的接受能力最强,即 y 的值最大,即可确定 x 的值; (3)根据表格即可直接写出; (4)根据表格可以得到 y 的值超过 13 分钟以后越来越小,即可估计求解. 解答:解: (1)反映了提出概念所用的时间 x 和对概念接受能力 y 两个变量之间的关系; 其中 x 是自变量,y 是因变量; (2 分) (2)提出概念所用的时间为 13 分钟时,学生的接受能力最强; (4 分) (3)当 x 在 2 分钟至 13 分钟的范围内,学生的接受能力逐步增强; 当 x 在 13 分钟至 20 分钟的范围内,学生的接受能力逐步降低; (6 分) (4)当提出概念所用的时间为 23 分钟时,学生的接受能力为 49.9(8 分) [说明:在问题(4)中,学生只要填上 47.8~51.8 范围的一个数值,均可视为正确] 点评: 本题主要考查了变量的定义, 以及正确读表, 正确理解表中的变量的意义是解题的关键. 13.一辆小汽车在高速公路上从静止到起动 10 秒内的速度经测量如下表: 时间(秒) 速度(米/秒) 0 0 1 0.3 2 1.3 3 2.8 4 4.9 5 7.6 6 11.0 7 14.1 8 18.4 9 24.2 10 28.9

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用 T 表示时间,V 表示速度,那么随着 T 的变化,V 的变化趋势是什么? (3)当 T 每增加 1 秒,V 的变化情况相同吗?在哪 1 秒钟,V 的增加最大?

(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为 120 千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车 的速度就将达到这个上限. 考点:函数的表示方法;常量与变量。 分析: (1)根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量; (2)根据时间与速度之间的关系,即可求出 V 的变化趋势; (3)根据表中的数据可得出 V 的变化情况以及在哪 1 秒钟,V 的增加最大; (4) 根据小汽车行驶速度的上限为 120 千米/小时, 再根据时间与速度的关系式即可得出答案; 解答:解: (1)上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量; (2)如果用 T 表示时间,V 表示速度,那么随着 T 的变化,V 的变化趋势是 V 随着 T 的增大 而增大; (3)当 T 每增加 1 秒,不相同,在第 10 秒时,V 的增加最大; (4) (米/秒) ,

由 33.3﹣28.9=4.4,且 28.9﹣24.2=4.7>4.4, 所以估计大约还需 1 秒. 点评:此题考查的知识点是:函数的表示方法,常量与变量;在解题时要根据表中的数据找出 时间与速度之间的关系式是本题的关键.


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