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2013年湖北省重点高中自主招生考试数学试卷


永春四中中考练习试卷
1 将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的面积最大时,圆柱的底面 半径是 1 cm. 考点: 圆柱的计算;二次函数的最值;圆锥的计算. 专题: 压轴题. 分析: 易得扇形的弧长,除以 2π 也就得到了圆锥的底面半径,再加上母线长,利用勾股定理即可求得圆锥的高, 利用相似可求得圆柱的高与母线的关系,表示出

侧面积,根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即 可. 解答: 解:扇形的弧长=4πcm, ∴ 圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm,
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∴ 圆锥的高为

=2

cm,

设圆柱的底面半径为 rcm,高为 Rcm. = ,

解得:R=2 ﹣ r, ∴ 圆柱的侧面积=2π×r×(2 ∴ 当 r=



r)=﹣2

πr +4

2

πr(cm ) ,

2

=1cm 时,圆柱的侧面积有最大值.

点评: 用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长;圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形;相似三角形 的相似比相等及二次函数最值相应的自变量的求法等知识. 2 如图,已知菱形 ABCD 边长为 ,∠ ABC=120°,点 P 在线段 BC 延长线上,半径为 r1 的圆 O1 与 DC、CP、DP 分别相切于点 H、F、N,半径为 r2 的圆 O2 与 PD 延长线、CB 延 长线 和 BD 分别相切于点 M、E、G. (1)求菱形的面积; (2)求证:EF=MN; (3)求 r1+r2 的值.

考点: 圆的综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)由于菱形 ABCD 边长为
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,∠ ABC=120°,根据菱形的性质得到 ADC 和△ DBC 都是等边三角形,利 倍即可得到菱形的面积=2S△DBC=2× ×(6 ) =54
2

用等边三角形的面积等于边长平方的



(2)由于 PM 与 PE 都是⊙ O1 的切线,PN 与 PF 都是⊙ O2 的切线,根据切线长定理得到 PM=PN,PN=PE, 则 PM﹣PN=PE﹣PB,即 EF=MN; (3) 由于 BE 与 BG 都是⊙ O1 的切线, 根据切线的性质和切线长定理得到 BE=BG, ∠ O2BE=∠ O2BG, O2E⊥ BE, 而∠ EBG=180°﹣∠ DBC=180°﹣60°=120°,于是有∠ O2BE=60°,∠ EO2B=30°,根据含 30°的直角三角形三边的关 系得到 BE= O2E= r2, 则 BG= ﹣ r2, DM=DG=6 ﹣ r2, 同理可得 CF= r2+6 + r1=6 r1, DN=DH=6 + ﹣ r1,

则 MN=DM+DN=12

(r1+r2) , 而 EF=EB+BC+CF=

(r1+r2) , 利用 EF=MN

可得到关于(r1+r2)的方程,解方程即可. 解答: (1)解:∵ 菱形 ABCD 边长为 ,∠ ABC=120°, ∴ △ ADC 和△ DBC 都是等边三角形, ∴ 菱形的面积=2S△DBC=2× ×(6 ) =54
2



(2)证明:∵ PM 与 PE 都是⊙ O2 的切线, ∴ PM=PE, 又∵ PN 与 PF 都是⊙ O1 的切线, ∴ PN=PF, ∴ PM﹣PN=PE﹣PB,即 EF=MN; (3)解:∵ BE 与 BG 都是⊙ O2 的切线, ∴ BE=BG,∠ O2BE=∠ O2BG,O2E⊥ BE, 而∠ EBG=180°﹣∠ DBC=180°﹣60°=120°, ∴ ∠ O2BE=60°,∠ EO2B=30°, ∴ BE= ∴ BG= O2E= r2, ﹣ r2, ﹣ r1, r2,

∴ DM=DG=6 同理可得 CF=

r1,DN=DH=6 ﹣ r2+6

∴ MN=DM+DN=12 ∵ EF=EB+BC+CF= 而 EF=MN, ∴ 6 +

(r1+r2) , + r1=6 + (r1+r2) ,

(r1+r2)=12



(r1+r2) ,

∴ r1+r2=9. 点评: 本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,并且 这个点与圆心的连线平分两切线的夹角;掌握菱形的性质,记住等边三角形的面积等于边长平方的 及含 30°的直角三角形三边的关系. 3 如图,已知抛物线的方程 C1:y=﹣ (x+2) (x﹣m) (m>0)与 x 轴相交于点 B、C,与 y 轴相交于点 E,且 点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线 C1 过点 M(2,2) ,求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求△ BCE 的面积; (3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使 BH+EH 最小,并求出点 H 的 坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与△ BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: (1)将点(2,2)的坐标代入抛物线解析式,即可求得 m 的值; (2)求出 B、C、E 点的坐标,进而求得△ BCE 的面积; (3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质,可知点 B、C 关于对称轴 x=1 对称,连接 EC 与对称轴的 交点即为所求的 H 点,如答图 1 所示; (4)本问需分两种情况进行讨论: ① 当△ BEC∽ △ BCF 时,如答图 2 所示.此时可求得 m= +2;
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倍以

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② 当△ BEC∽ △ FCB 时,如答图 3 所示.此时可以得到矛盾的等式,故此种情形不存在. 解答: 解: (1)依题意,将 M(2,2)代入抛物线解析式得: 2=﹣ (2+2) (2﹣m) ,解得 m=4. (2)令 y=0,即 (x+2) (x﹣4)=0,解得 x1=﹣2,x2=4,

∴ B(﹣2,0) ,C(4,0) 在 C1 中,令 x=0,得 y=2, ∴ E(0,2) . ∴ S△BCE= BC?OE=6.

(3)当 m=4 时,易得对称轴为 x=1,又点 B、C 关于 x=1 对称. 如解答图 1,连接 EC,交 x=1 于 H 点,此时 BH+EH 最小(最小值为线段 CE 的长度) . 设直线 EC:y=kx+b,将 E(0,2) 、C(4,0)代入得:y= 当 x=1 时,y= ,∴ H(1, ) . x+2,

(4)分两种情形讨论: ① 当△ BEC∽ △ BCF 时,如解答图 2 所示. 则
2



∴ BC =BE?BF. 由函数解析式可得:B(﹣2,0) ,E(0,2) ,即 OB=OE,∴ ∠ EBC=45°, ∴ ∠ CBF=45°, 作 FT⊥ x 轴于点 T,则∠ BFT=∠ TBF=45°, ∴ BT=TF. ∴ 可令 F(x,﹣x﹣2) (x>0) ,又点 F 在抛物线上, ∴ ﹣x﹣2=﹣ (x+2) (x﹣m) , ∵ x+2>0, ∵ x>0, ∴ x=2m,F(2m,﹣2m﹣2) . 此时 BF= 又∵ BC =BE?BF, 2 ∴ (m+2) = ? (m+1) , ∴ m=2± , ∵ m>0, ∴ m= +2. ② 当△ BEC∽ △ FCB 时,如解答图 3 所示. 则
2 2

=2

(m+1) ,BE=

,BC=m+2,



∴ BC =EC?BF. ∵ △ BEC∽ △ FCB ∴ ∠ CBF=∠ ECO, ∵ ∠ EOC=∠ FTB=90°, ∴ △ BTF∽ △ COE,
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, (x+2) ) (x>0)

∴ 可令 F(x,

又∵ 点 F 在抛物线上, ∴ (x+2)=﹣ (x+2) (x﹣m) ,

∵ x>0, ∴ x+2>0, ∴ x=m+2, ∴ F(m+2,
2

(m+4) ) ,EC=

,BC=m+2,

又 BC =EC?BF, ∴ (m+2) =
2

?

整理得:0=16,显然不成立. 综合① ② 得, 在第四象限内, 抛物线上存在点 F, 使得以点 B、 C、 F 为顶点的三角形与△ BCE 相似, m=

+2.

点评: 本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径问题等重要知识点,难度 较大.本题难点在于第(4)问,需要注意分两种情况进行讨论,避免漏解;而且在计算时注意利用题中条 件化简计算,避免运算出错.

4.已知点 O 是边长为 2 的正方形 ABCD 的中心,动点 E 、 F 分别在边 AB 、 AD 上移动(含端点) . (1)如图①,若 ?EOF ? 90? ,试证: OE ? OF ; (2)如图②,当 ?EOF ? 45? 时,设 BE ? x, DF ? y ,求 y 与 x 之间的函数 关系式, 并写出 x 的取值范围. (3)在满足(2)的条件时,试探究直线 EF 与正方形 ABCD 的内切圆 O 的 位置关系,并证明你的结论.
A F D E E O O A F D

B

C

B

C

图①

图②

解:(1) 在正方形 ABCD 中, ?EAO ? ?FDO ? 45? , AO ? OD , ?AOD ? 90? , 又 ?EOF ? 90?
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∴ ?AOD ? ?AOF ? ?EOF ? ?AOF ,即 ?AOE ? ?DOF 在 ?AOE 和 ?DOF 中
??EAO ? ?FDO ? ? AO ? DO ??AOE ? ?DOF ?
? OE ? OF

??AOE ? ?DOF ( ASA)

(2) 在 ?BEO 和 ?DOF 中
?EOB ? ?BEO ? ?EOB ? ?DOF ? 135???BEO ? ?DOF

BE BO ? DO DF 1 2 2 ? 22 ? 2 BE ? x, DF ? y , OB ? OD ? 2 2 x 2 ∴ y ? (1≤ x ≤ 2) ? ? x y 2 (3) EF 与 O 相切

又 ?EBO ? ?ODF ? 45? ? ?BEO ∽ ?DOF ?

?BEO ∽ ?DOF ∴

BE OE ? DO OF

又 DO ? OB



BE OE 又∵ ?EBO ? ?EOF ? 45°∴△BEO ∽△OEF ? BO OF ∴ ?BEO ? ?OEF

? 点 O 到 AB 的距离等于点 O 到 EF 的距离.∵ AB 与 O 相切
∴ 点 O 到 EF 的距离等于半径 R . ∴ EF 与 O 相切

5.已知抛物线 y ? x 2 ? (2m ? 1) x ? 4m ? 6 (1)试说明对于每一个实数 m ,抛物线都经过 x 轴上的一个定点 A ; (2)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B ( A 、 B 不重合) ,顶点为 C ,若 ?ABC 为直角三角形,试求 m 的值; (3)在满足(2)的条件时,若点 B 在点 A 的左侧,试问:抛物线上是否存在点 D ,使得以 A 、 B 、 C 、 D 为顶点的四边形是梯形?若存在,求出 D 点坐标;若不存在,说明理由. 解: (1)令 x2 ? (2m ?1) x ? 4m ? 6 ? 0 ,解得:

x1,2 ?

2m ? 1 ? (2m ? 1)2 ? 4(4m ? 6) 2m ? 1 ? (2m ? 5) ? 2 2

x1 ? 2m ? 3 ,

x2 ? 2

? 对于每一个实数 m ,抛物线都经过 x 轴上的一个定点 A(2, 0)
(2)根据抛物线的对称性且 ?ABC 为直角三角形, 可得 ?ABC 为等腰直角三角形且 ?ACB ? 90? 1 如图,过点 C 作 CP ? AB 于 P , 则 CP ? AB , 2 ∵抛物线

y ? x 2 ? (2m ? 1) x ? 4m ? 6 的顶点
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2m ? 1 20m ? 4m2 ? 25 ) 为 C( , 2 4

? CP ?

20m ? 4m 2 ? 25 1 1 2m ? 5 , AB ? ? 2m ? 3? ? 2 ? 4 2 2 2

20m ? 4m2 ? 25 2m ? 5 ? 4 2
∴ 4m2 ? 20m ? 25 ? 10 ? 4m 或 4m2 ? 20m ? 25 ? 4m ? 10 综上可得: m 的值为 (3)
3 7 或 2 2 3 5 , m2 ? (舍去) 2 2 7 5 m3 ? , m4 ? (舍去) 2 2 m1 ?

依题意得: m ? 1.5 ,此时抛物线方程为 y ? x2 ? 2x 设存在点 D ,使得以 A 、 B 、 C 、 D 为顶点的四边形是梯形,

i) 若 BD ∥ AC ,设直线 AC 方程为 y ? k1 x ? b1 ,把 A 、 C 坐标代入直线方程得,
?0 ? 2 k1 ? b1 ? ? ?1 ? k1 ? b1

解得

? k1 ? 1 ? ?b1 ? ?2

∴直线 AC 方程为 y ? x ? 2

∴ 直线 BD 方程为 y ? x
? x2 ? 3 ? ? y2 ? 3

? y?x 由? 2 ? y ? x ? 2x



? x1 ? 0 ? ? y1 ? 0

∴ D(3,3)

ii) 若 AD ∥ BC ,由于直线 BC 方程为 y ? ? x 所以,可设直线 AD 的方程为 y ? ? x ? b2 , 把 A ( ?2 ,0)代入得 , 0 ? ?2 ? b2 ∴ b2 ? 2 ∴
y ? ?x ? 2
? x1 ? 2 解得 ? ? y1 ? 0 ? x2 ? ? 1 ? ? y2 ? 3

? y ? ?x ? 2 ∴? 2 ? y ? x ? 2x

∴ D(?1,3)

综上可得:抛物线上存在点 D(3,3) 或 D(?1,3) ,使得以为 A 、 B 、 C 、 D 为 顶点的四边形是梯形。

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