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动态几何之定值问题探讨


【2013 年中考攻略】专题 19:动态几何之定值问题探讨 锦元数学工作室 编辑 动态题是近年来中考的的一个热点问题,动态包括点动、线动和面动三大类,解这类题 目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。 常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经 对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨,本专题对定值

问题进行探讨。 结合 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例, 我们从三方面进行动态几何之定值问题的探 讨: (1)线段(和差)为定值问题; (2)面积(和差)为定值问题; (3)其它定值问题。 一、线段(和差)为定值问题: 典型例题:例 1: (2012 黑龙江绥化 8 分)如图,点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点, 且 BE=BC,AB=3,BC=4,点 P 为直线 EC 上的一点,且 PQ⊥ 于点 Q,PR⊥ 于点 R. BC BD (1)如图 1,当点 P 为线段 EC 中点时,易证:PR+PQ=

12 (不需证明) . 5

(2)如图 2,当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点 E、点 C 重合)时,其它条件不变, 则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. (3)如图 3,当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时,其它条件不变,则 PR 与 PQ 之间又 具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.

【答案】解: (2)图 2 中结论 PR+PQ=

12 仍成立。证明如下: 5

连接 BP,过 C 点作 CK⊥ 于点 K。 BD ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ BCD=90° ∠ 。 又∵ CD=AB=3,BC=4,∴BD ? CD2 ? BC2 ? 32 ? 42 ? 5 。

1 1 12 BC?CD= BD?CK,∴ 4=5CK,∴ 3× CK= 。 2 2 5 1 1 1 ∵ △BCE= BE?CK,S△BEP= PR?BE,S△BCP= PQ?BC,且 S△BCE=S△BEP + S 2 2 2
∵ △BCD= S S△BCP,

1 1 PR?BE+ PQ?BC。 2 2 1 1 1 又∵ BE=BC,∴ CK= PR+ PQ。∴ CK=PR+PQ。 2 2 2 12 12 又∵ CK= ,∴ PR+PQ= 。 5 5 12 (3)图 3 中的结论是 PR-PQ= . 5
∴ BE?CK= 【考点】矩形的性质,三角形的面积,勾股定理。 【分析】 (2)连接 BP,过 C 点作 CK⊥ 于点 K.根据矩形的性质及勾股定理 BD 求出 BD 的长, 根据三角形面积相等可求出 CK 的长, 最后通过等量代换即可证 明。 (3)图 3 中的结论是 PR-PQ=125 。 连接 BP,S△BPE-S△BCP=S△BEC,S△BEC 是固定值,BE=BC 为两 个底,PR,PQ 分别为高,从而 PR-PQ=

1 2

12 。 5
2

例 2: (2012 江西省 10 分)如图,已知二次函数 L1:y=x ﹣4x+3 与 x 轴交于 A.B 两点(点 A 在点 B 左边) ,与 y 轴交于点 C. (1)写出二次函数 L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)研究二次函数 L2:y=kx ﹣4kx+3k(k≠0) . ①写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质; ②是否存在实数 k,使△ABP 为等边三角形?如果存在,请求出 k 的值;如不存在,请说明理 由; ③若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点,问线段 EF 的长度是否发生变化?如果不会,请求 出 EF 的长度;如果会,请说明理由.
2

【答案】解: (1)∵抛物线 y ? x2 ? 4x ? 3 ? ? x ? 2? ?1,
2

∴二次函数 L1 的开口向上,对称轴是直线 x=2,顶点坐标(2,﹣1) 。

(2)①二次函数 L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质: 对称轴为 x=2;都经过 A(1,0) ,B(3,0)两点。 ②存在实数 k,使△ABP 为等边三角形. ∵ y ? kx2 ? 4kx ? 3k ? k ? x ? 2? ? k ,∴顶点 P(2,-k) .
2

∵A(1,0) ,B(3,0) ,∴AB=2 要使△ABP 为等边三角形,必满足|-k|= 3 , ∴k=± 3 。 ③线段 EF 的长度不会发生变化。 ∵直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点, ∴kx ﹣4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x ﹣4x+3=8。解得:x1=﹣1,x2=5。 ∴EF=x2﹣x1=6。∴线段 EF 的长度不会发生变化。 【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,等边三角形的性质,解直角三角形。 【分析】 (1)抛物线 y=ax +bx+c 中:a 的值决定了抛物线的开口方向,a>0 时,抛物线的开 口向上;a<0 时,抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用 公式求解。 (2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以 k 所得,因此从二次函数的图象与解析 式的系数的关系入手进行分析。 ②当△ABP 为等边三角形时,P 点必为函数的顶点,首先表示出 P 点纵坐标,它的 绝对值正好是等边三角形边长的
2 2 2

3 倍,由此确定 k 的值。 2

③联立直线和抛物线 L2 的解析式,先求出点 E、F 的坐标,从而可表示出 EF 的长, 若该长度为定值,则线段 EF 的长不会发生变化。 例 3: (2012 山东德州 12 分)如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方 形 AD 边上的一点(不与点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,连接 BP、BH. (1)求证:∠APB=∠BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存在最小 值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】解: (1)如图 1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB. 又∵∠EPH=∠EBC=90°, ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 (2)△PHD 的周长不变为定值 8。证明如下: 如图 2,过 B 作 BQ⊥PH,垂足为 Q。 由(1)知∠APB=∠BPH, 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP, ∴△ABP≌△QBP(AAS) 。∴AP=QP,AB=BQ。 又∵AB=BC,∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH, ∴△BCH≌△BQH(HL) 。∴CH=QH。 ∴△PHD 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 (3)如图 3,过 F 作 FM⊥AB,垂足为 M,则 FM=BC=AB。 又∵EF 为折痕,∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA) 。 ∴EM=AP=x. ∴在 Rt△APE 中, (4﹣BE) +x =BE ,即 BE ? 2+
2 2 2

x2 。 8

∴ CF ? BE ? EM ? 2+

x2 ? x。 8

又∵四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等, ∴S ?

? 1 1 ? x2 1 1 2 ? ? BE ? CF? ? BC= ? ? 4+ ? x ? ? 4= x 2 ? 2x+8= ? x ? 2 ? +6 。 ? ? 2 2 ? 4 2 2 ?

∵0<

1 < 4 ,∴当 x=2 时,S 有最小值 6。 2

【考点】翻折变换(折叠问题) ,正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾 股定理,二次函数的最值。 【分析】 (1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得出答案。 (2)先由 AAS 证明△ABP≌△QBP,从而由 HL 得出△BCH≌△BQH,即可得 CH=QH。因此, △PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 (3)利用已知得出△EFM≌ BPA,从而利用在 Rt△APE 中, △ (4﹣BE)2+x2=BE2,利 用二次函数的最值求出即可。 例 4: (2012 福建泉州 12 分)已知:A、B、C 不在同一直线上. (1)若点 A、B、C 均在半径为 R 的⊙ 上, O i)如图一,当∠ A=45° 时,R=1,求∠ BOC 的度数和 BC 的长度; ii)如图二,当∠ 为锐角时,求证 sin∠ A A=

BC ; 2R

(2).若定长线段 BC 的两个端点分别在∠ MAN 的两边 AM、AN(B、C 均与点 A 不重合) .... 滑动,如图三,当∠ MAN=60° ,BC=2 时,分别作 BP⊥ AM,CP⊥ AN,交点为点 P ,试探索: 在整个滑动过程中,P、A 两点的距离是否保持不变?请说明理由.

【答案】解: (1)错误!未找到引用源。 ∠ )∵ A=45° , ∴ BOC=90° ∠ (同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半) 。 又∵ R=1,∴ 由勾股定理可知 BC= 1 ? 1= 2 。 ii)证明:连接 BO 并延长,交圆于点 E,连接 EC。 可知 EC⊥ BC(直径所对的圆周角为 90° , ) 且∠ E=∠ A(同弧所对的圆周角相等) 。 故 sin∠ A=sin∠ A=

BC BC 。 ? BE 2R

(2)保持不变。理由如下:

如图,连接 AP,取 AP 的中点 K,连接 BK、CK, 在 Rt△APC 中,CK=

1 AP=AK=PK。 2

同理得:BK=AK=PK。 ∴ CK=BK=AK=PK。∴ A、B、P、C 都在⊙ 上。 点 K ∴ 由(1)ii)sin∠ A= ∴ AP=

BC BC 可知 sin60° = 。 2R AP

BC 4 3 ? (为定值) 。 sin60? 3

【考点】三角形的外接圆与外心,圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三 角函数值,直角三角形中线性质。 【分析】 (1)i)根据圆周角定理得出∠ BOC=2∠ A=90° ,再利用勾股定理得出 BC 的长; ii)作直径 CE,则∠ E=∠ A,CE=2R,利用 sin∠ A=sin∠ E= 可。 (2) 首先证明点 A、 P、 都在⊙ 上, B、 C K 再利用 sin∠ A= (定值)即可。 例 5: (2012 山东潍坊 11 分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于 A(-2,O)、B(2,0)、C(0, -l)三点,过坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点.分别过点 C、D(0,-2)作平 行于 x 轴的直线 l1 、 l2 . (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切; (3)求线段 MN 的长(用 k 表示),并证明 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN 的 长.

BC BC ,得出即 ? BE 2R

BC BC 4 3 ? , 得出 AP= sin60? 3 2R

【答案】解: (1)设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,

?4a ? 2b+c=0 ? 则 ?4a+2b+c=0 ?c= ? 1 ?

? 1 ?a= 4 ? 解得 ? b=0 。 ?c= ? 1 ? ?

∴ 抛物线对应二次函数的解析式 所以 y= x 2 ?1 。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),因为点 M、N 在抛物线上, ∴y1 = x12 ? 1,y2 = x 22 ? 1 ,∴ 22=4(y2+1)。 x 又∵ON2 ? x 22 ? y22 ? 4 ? y2 ? 1? ? y22 ? ? y2 ? 2 ? ,∴ON ? y2 ? 2 。
2

1 4

1 4

1 4

又∵ 2≥-l,∴ y ON=2+y2。 设 ON 的中点 E,分别过点 N、E 向直线 l1 作垂线,垂足 为 P、F, 则 EF ?

OC ? NP 2 ? y2 , ? 2 2

∴ ON=2EF, 即 ON 的中点到直线 l1 的距离等于 ON 长度的一半, ∴ ON 为直径的圆与 l1 相切。 以 ( 3 ) 过 点
2

M


2

MH⊥ NP



NP





H





MN2 ? MH2 ? NH2 ? ? x 2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ,
又∵ 1=kx1,y2=kx2,∴ 2-y1)2=k2(x2-x1)2。∴ 2=(1+k2)(x2 一 xl)2。 y (y MN 又∵ M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上, 点 ∴kx= x 2 ? 1 ,即 x2-4kx-4=0,∴ 2+x1=4k,x2·1=-4。 x x ∴ 2=(1+k2)(x2 一 xl)2=(1+k2)[ (x2+xl)2-4x2·l] =16(1+k2)2。∴ MN x MN=4(1+k2)。 延长 NP 交 l2 于点 Q,过点 M 作 MS⊥l2 交 l2 于点 S, 则 MS+NQ=y1+2+y2+2= x12 ? 1+ x 22 ? 1+4

1 4

1 4

1 4

=

1 2 1 1 2 x1 +x 22 +2= ?? x1 +x 2 ? ? 2x1 ? x 2 ? +2= 16k 2 +8 +2=4k 2 +4=4 1+k 2 ? 4 4? 4

?

?

?

?

?

?

∴ MS+NQ=MN,即 M、N 两点到 l2 距离之和等于线段 MN 的长。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法, 直线与圆相切的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理。

【分析】 (1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对 应二次函数的解析式。 (2)要证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切,只要证 ON 的中点到直线 l1 的距离等于 ON 长的一半即可。 (3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出 MN 和 M、N 两点到直线 l2 的距离之 和,相比较即可。 例 6: (2012 湖北咸宁 10 分)如图 1,矩形 MNPQ 中,点 E,F,G,H 分别在 NP,PQ,QM, MN 上,若 ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ? 4 ,则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形.图 2,图 3, 图 4 中,四边形 ABCD 为矩形,且 AB=4,BC=8. 理解与作图:

(1)在图 2,图 3 中,点 E,F 分别在 BC,CD 边上,试利用正方形网格在图 上作出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH.
计算与猜想:

(2)求图 2,图 3 中反射四边形 EFGH 的周长,并猜想矩形 ABCD 的反射四边 形的周长是否为定值?
启发与证明:

(3)如图 4,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于 M, 试利用小华同学给我 们的启发证明(2)中的猜想.

【答案】解: (1)作图如下:

(2)在图 2 中, EF ? FG ? GH ? HE ? 22 ? 42 ? 20 ? 2 5 , ∴ 四边形 EFGH 的周长为 8 5 。 在图 3 中, EF ? GH ? 22 ? 12 ? 5 , FG ? HE ? 32 ? 62 ? 45 ? 3 5 , ∴ 四边形 EFGH 的周长为 2 ? 5 ? 2 ? 3 5 ? 8 5 。 猜想:矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值。 (3)延长 GH 交 CB 的延长线于点 N, ∵? ? ?2 , ?1 ? ?5 , 1 ∴? 2 ? ?5 。 又∵ FC=FC, ∴ Rt△FCE≌ Rt△FCM(ASA) 。 ∴ EF=MF,EC=MC。 同理:NH=EH,NB=EB。∴ MN=2BC=16。 ∵?M ? 90? ? ?5 ? 90? ? ?1 , ?N ? 90? ? ?3 , ?1 ? ?3 ,∴?M ? ?N 。 ∴ GM=GN。 过点 G 作 GK⊥ 于 K,则 KM ? MN ? 8 。 BC ∴GM ? GK2 ? KM2 ? 42 ? 82 ? 4 5 。 ∴ 四边形 EFGH 的周长为 2GM ? 8 5 。 矩形 ABCD 的反射四边形的周长 ∴ 为定值。 【考点】新定义,网格问题,作图(应用与设计作图) ,勾股定理,全等三角形的判定和性质, 矩形的性质,等腰三角形的判定和性质。 【分析】 (1)根据网格结构,作出相等的角即可得到反射四边形。 (2)图 2 中,利用勾股定理求出 EF=FG=GH=HE 的长度,然后即可得到周长,图 3 中利用勾股定理求出 EF=GH,FG=HE 的长度,然后求出周长,从而得到四边形 EFGH 的周长 是定值。 (3) 延长 GH 交 CB 的延长线于点 N, 再利用“ASA”证明 Rt△FCE 和 Rt△FCM 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 EF=MF,EC=MC,同理求出 NH=EH,NB=EB,从而得到 MN=2BC,再证明 GM=GN,过点 G 作 GK⊥ 于 K,根据等腰三角形三线合一的性质求出 BC

1 2

1 KM ? MN ? 8 ,再利用勾股定理求出 GM 的长度,然后即可求出四边形 EFGH 的周长。 2
例 7: (2012 广西崇左 10 分)如图所示,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上移 动,但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等,问在点 E、F 移动过程中; (1)∠ EAF 的大小是否发生变化?请说明理由. (2)△ECF 的周长是否发生变化?请说明理由.

练习题: 1. (2011 湖南岳阳 8 分)如图① ,将菱形纸片 AB(E)CD(F)沿对角线 BD(EF)剪开, 得到△ABD 和△ECF,固定△ABD,并把△ABD 与△ECF 叠放在一起. (1)操作:如图② ,将△ECF 的顶点 F 固定在△ABD 的 BD 边上的中点处,△ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右旋转,设旋转时 FC 交 BA 于点 H(H 点不与 B 点重合) ,FE 交 DA 于点 G(G

点不与 D 点重合) . 求证:BH?GD=BF2 (2)操作:如图③ ,△ECF 的顶点 F 在△ABD 的 BD 边上滑动(F 点不与 B、D 点重合) ,且 CF 始终经过点 A,过点 A 作 AG∥ CE,交 FE 于点 G,连接 DG. 探究:FD+DG= .请予证明.

2. (2011 四川眉山 11 分)如图,在直角坐标系中,已知点 A(0,1) ,B(-4,4) ,将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转 90° 得到点 C;顶点在坐标原点的拋物线经过点 B. (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标; (2)抛物线上一动点 P,设点 P 到 x 轴的距离为 d1,点 P 到点 A 的距离为 d2,试说明 d2=d1 +1; (3)在(2)的条件下,请探究当点 P 位于何处时,△PAC 的周长有最小值,并求出△PAC 的 周长的最小值.

3. (2011 湖南郴州 10 分)如图,Rt△ABC 中,∠ A=30° ,BC=10cm,点 Q 在线段 BC 上从 B 向 C 运动,点 P 在线段 BA 上从 B 向 A 运动.Q、P 两点同时出发,运动的速度相同,当点 Q 到达点 C 时,两点都停止运动.作 PM⊥ 交 CA 于点 M,过点 P 分别作 BC、CA 的垂线, PQ 垂足分别为 E、F. (1)求证:△PQE∽ PMF; △ (2)当点 P、Q 运动时,请猜想线段 PM 与 MA 的大小有怎样的关系?并证明你的猜想; (3)设 BP= x ,△PEM 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数关系式,当 x 为何值时, y 有最大值,

并将这个值求出来.

4. (2011 辽宁营口 14 分)已知正方形 ABCD,点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点,点 E 在 DC 边所在直线上,且随着点 P 的运动而运动,PE=PD 总成立. (1)如图(1),当点 P 在对角线 AC 上时,请你通过测量、观察,猜想 PE 与 PB 有怎样的关 系?(直接写出结论不必证明); (2)如图(2),当点 P 运动到 CA 的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立?如果成立, 请给出证明;如果不成立,请说明理由; (3)如图(3),当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形, 并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)

(1)

(2)

5. (2011 贵州遵义 12 分)如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,BC=20cm,AD=10cm,现有两 个动点 P、Q 分别从 B、D 两点同时出发,点 P 以每秒 2cm 的速度沿 BC 向终点 C 移动,点 Q 以每秒 1cm 的 .. 速度沿 DA 向终点 A 移动,线段 PQ 与 BD 相交于点 E,过 E 作 EF∥ 交 CD 于点 F,射线 QF 交 BC 的 BC 延长线于点 H, 设动点 P、Q 移动的时间为 t(单位:秒,0<t<10) . (1)当 t 为何值时,四边形 PCDQ 为平行四边形? (2)在 P、Q 移动的过程中,线段 PH 的长是否发生改变?如果不变,求出线段 PH 的长;如 果改变,请说明理由.

6. (2011 黑龙江龙东五市 8 分) 如图, E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点, BE=BC, 点 且 AB=3,BC=4,点 P 为直线 EC 上的一点,且 PQ⊥ 于点 Q,PR⊥ 于点 R。 BC BD (1)如图 1,当点 P 为线段 EC 中点时,易证:PR+PQ=

12 (不需证明) 。 5

(2)如图 2,当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点 E、点 C 重合)时,其它条件不变, 则(1)中 的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。 (3)如图 3,当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时,其它条件不变,则 PR 与 PQ 之间又 具有怎样 的数量关系?请直接写出你的猜想。

二、面积(和差)为定值问题: 典型例题:例 1: (2012 湖北十堰 3 分)如图,O 是正△ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5, 将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60° 得到线段 BO′, 下列结论: △ ① BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到;② O 与 O′的距离为 4;③ AOB=150° S四边形AOBO =6+3 3 ; 点 ∠ ;④ ⑤S? AOC ? S? AOB ? 6+

9 3 .其中正确的结论是【 4



A.① ③ ② ⑤ 【答案】A。

B.① ③ ② ④

C.① ③ ⑤ ② ④

D.① ③ ②

【考点】旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆 定理。 【分析】∵ 正△ABC,∴ AB=CB,∠ ABC=600。 ∵ 线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60° 得到线段 BO′, BO=BO′, O′AO=600。 ∴ ∠ ∴ O′BA=600-∠ ∠ ABO=∠ OBA。∴ BO′A≌ BOC。 △ △ ∴ BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60° △ 得到。故结论① 正确。 连接 OO′, ∵ BO=BO′,∠ O′AO=600,∴ OBO′是等边三角形。∴ △ OO′=OB=4。故结论② 正确。 ∵ 在△AOO′中,三边长为 O′A=OC=5,OO′=OB=4,OA=3,是一组勾 股数, ∴ AOO′是直角三角形。 △ ∴ AOB=∠ ∠ AOO′+∠ O′OB =900+600=150° 。故结论③ 正确。

1 1 错误。 S四边形AOBO? ? S?AOO? ? S?OBO? ? ? 3 ? 4+ ? 4 ? 2 3 ? 6+4 3 。故结论④ 2 2
如图所示,将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60° ,使得 AB 与 AC 重合, 点 O 旋转至 O″点. 易知△AOO″是边长为 3 的等边三角形,△COO″是边长为 3、4、5 的 直角三角形。

1 1 3 3 9 3 =6+ 则 S?AOC ? S?AOB ? SAOCO? ? S?COO? ? S?AOO? ? ? 3 ? 4+ ? 3 ? 。 2 2 2 4
故结论⑤ 正确。 综上所述,正确的结论为:① ③ 。故选 A。 ② ⑤ 例 2: (2012 广西玉林、防城港 12 分)如图,在平面直角坐标系 x O y 中,矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是(0,4) ,现有两动点 P、Q,点 P 从点 O 出发沿线段 OC(不包括端点 O,C)以每 秒 2 个单位长度的速度,匀速向点 C 运动,点 Q 从点 C 出发沿线段 CD(不包括端点 C,D) 以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D 运动.点 P,Q 同时出发,同时停止,设运动时间为 t 秒,当 t=2 秒时 PQ= 2 5 . (1)求点 D 的坐标,并直接写出 t 的取值范围; (2)连接 AQ 并延长交 x 轴于点 E,把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F,连接 EF,则△AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化?若变化,求出 S 与 t 的函数关系式;若不变化,求出 S 的值. (3)在(2)的条件下,t 为何值时,四边形 APQF 是梯形?

【答案】解: (1)由题意可知,当 t=2(秒)时,OP=4,CQ=2, 在 Rt△PCQ 中,由勾股定理得:PC= PQ2 ? CQ2 ? ∴ OC=OP+PC=4+4=8。[来源:Www.zk5u.com] 又∵ 矩形 AOCD,A(0,4) D(8,4) ,∴ 。 t 的取值范围为:0<t<4。 (2)结论:△AEF 的面积 S 不变化。 ∵ AOCD 是矩形,∴ AD∥ OE,∴ AQD∽ EQC。 △ △ ∴

?2 5 ?

2

? 22 =4,

CE CQ 8t CE t ? ,即 ,解得 CE= 。 ? AD DQ 4?t 8 4?t

由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4-t,则 CF=CD+DF=8-t。 S=S 梯形 AOCF+S△FCE-S△AOE=

1 1 1 (OA+CF)?OC+ CF?CE- OA?OE 2 2 2 1 1 1 8t 8t = [4+(8-t)]× 8+ (8-t)? - × (8+ 4× ) 。 2 2 2 4?t 4?t
化简得:S=32 为定值。 所以△AEF 的面积 S 不变化,S=32。

(3)若四边形 APQF 是梯形,因为 AP 与 CF 不平行,所以只有 PQ∥ AF。 由 PQ∥ 可得:△CPQ∽ DAF。 AF △ ∴ CP:AD=CQ:DF,即 8-2t:8= t:4-t,化简得 t2-12t+16=0, 解得:t1=6+2 5 ,t2= 6 ? 2 5 。 由(1)可知,0<t<4,∴ 1=6+2 5 不符合题意,舍去。 t ∴ t= 6 ? 2 5 秒时,四边形 APQF 是梯形。:Z*xx*k.Com] 当 【考点】动点和翻折问题,矩形的性质,勾股定理,翻折对称的性质,相似三角形的判定和 性质,梯形的性质,解一元二次方程。 【分析】 (1)由勾股定理可求 PC 而得点 C 的坐标,根据矩形的性质可得点 D 的坐标。点 P

到达终点所需时间为 8÷ 2=4 秒,点 Q 到达终点所需时间为 4÷ 1=4 秒,由题意可知,t 的取值范 围为:0<t<4。 (2)根据相似三角形和翻折对称的性质,求出 S 关于 t 的函数关系式,由于关系式为 常数,所以△AEF 的面积 S 不变化,S=32。 (3)根据梯形的性质,应用相似三角形即可求解。 例 3: (2012 江苏苏州 9 分)如图,正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合,将正 方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动,移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中,边 AD 始终与 边 FG 重合, 连接 CG, 过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P, 连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm, 矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x(s) ,线段 GP 的长为 y(cm) , 其中 0≤x≤2.5 错误!未找到引用源。. ⑴ 试求出 y 关于 x 的函数关系式,并求出 y =3 时相应 x 的值; ⑵ 记△DGP 的面积为 S1,△CDG 的面积为 S2.试说明 S1-S2 是常数; ⑶ 当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时,求线段 PD 的长.

【答案】解: (1)∵ CG∥ AP,∴ CGD=∠ ∠ PAG,则 tan ? CGD= tan ? PAG 错误!未找到引用 源。 。∴

CD PG 错误!未找到引用源。 。 = GD AG
∵ GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴ GD=3-x,AG=4-x。 ∴

4?x 1 y 错误!未找到引用源。 ,即 y= 错误!未找到引用源。 。 = 3? x 3? x 4? x

∴ 关于 x 的函数关系式为错误!未找到引用源。 y 。 当 y =3 时,错误!未找到引用源。 ,解得:x=2.5。 ( 2 )

∵S1 = ? GP ? GD= ?

1 2

1 4?x 1 1 1 1 3 未 ? ?3 ? x ? ? ? x+2,S2 = ? GD ? CD= ? ?3 ? x ? ?1 ? ? x+ 错误! 2 3? x 2 2 2 2 2

找到引用源。 ,错误!未找到引用源。

1 1 3 1 ∴S1 ? S2 = ? ? x+2 ? ? ? ? x+ ? ? 错误!未找到引用 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 2? 2
源。为常数。 (3)延长 PD 交 AC 于点 Q. ∵ 正方形 ABCD 中,AC 为对角线,∴ CAD=45° ∠ 。 ∵ PQ⊥ AC,∴ ADQ=45° ∠ 。 ∴ GDP=∠ ∠ ADQ=45° 。 ∴ DGP 是等腰直角三角形,则 GD=GP。 △ ∴ 错误!未找到引用源。 ,化简得: x 2 ? 5x+5=0 错误!未找到引用源。 ,解 得: x=

5? 5 。错误!未找到引用源。 2
∵ 0≤x≤2.5,∴ 错误!未找到引用源。 。 在 Rt△DGP 中, PD=

? 5? 5 ? 2+ 10 。 = 2 ?3 ? x ?= 2 ?3 ? ?= 0 ? ? 2 ? 2 cos 45 ? GD

【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直 角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】 (1)根据题意表示出 AG、GD 的长度,再由 tan ?CGD= tan ?PAG 可解出 x 的值。 (2)利用(1)得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2,然后作差即可。 (3)延长 PD 交 AC 于点 Q,然后判断△DGP 是等腰直角三角形,从而结合 x 的范围 得出 x 的值,在 Rt△DGP 中,解直角三角形可得出 PD 的长度。 例 4: (2012 四川自贡 12 分)如图所示,在菱形 ABCD 中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF 为正三 角形,点 E、F 分别在菱形的边 BC.CD 上滑动,且 E、F 不与 B.C.D 重合. (1)证明不论 E、F 在 BC.CD 上如何滑动,总有 BE=CF; (2)当点 E、F 在 BC.CD 上滑动时,分别探讨四边形 AECF 和△CEF 的面积是否发生变化?如 果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.

【答案】解: (1)证明:如图,连接 AC ∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°, ∠BAE+∠EAC=60°,∠FAC+∠EAC=60°, ∴∠BAE=∠FAC。 ∵∠BAD=120°,∴∠ABF=60°。 ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。 ∴∠ACF=60°,AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。 ∴在△ABE 和△ACF 中,∵∠BAE=∠FAC,AB=AC,∠ABE=∠AFC, ∴△ABE≌△ACF(ASA) 。∴BE=CF。 (2)四边形 AECF 的面积不变,△CEF 的面积发生变化。理由如下: 由(1)得△ABE≌△ACF,则 S△ABE=S△ACF。 ∴S 四边形 AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值。 作 AH⊥BC 于 H 点,则 BH=2,

1 1 S四边形AECF ? S?ABC ? ? BC ? AH ? BC ? AB2 ? BH2 ? 4 3 。 2 2
由“垂线段最短”可知:当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时,边 AE 最短. 故△AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化,且当 AE 最短时,正三角形 AEF 的面 积会最小, 又 S△CEF=S 四边形 AECF﹣S△AEF,则此时△CEF 的面积就会最大. ∴S△CEF=S 四边形 AECF﹣S△AEF ? 4 3 ?

1 ?2 3? 2

?2 3 ? ? ? 3 ?
2

2

? 3。

∴△CEF 的面积的最大值是 3 。 【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,垂 直线段的性质。 【分析】(1)先求证 AB=AC,进而求证△ABC、△ACD 为等边三角形,得∠ACF =60°,AC=AB, 从而求证△ABE≌△ACF,即可求得 BE=CF。 (2)由△ABE≌△ACF 可得 S△ABE=S△ACF,故根据 S
四边形 AEC

F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC

即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时,边 AE 最短.△AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化,且当 AE 最短时,正三角形 AEF 的面积会最小,根据 S△CEF=S 四
边形 AECF

-S△AEF,则△CEF 的面积就会最大。

例 5: (2012 湖南益阳 12 分)已知:如图 1,在面积为 3 的正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点,AE⊥BF 于点 G,且 BE=1.

(1)求证:△ABE≌△BCF; (2)求出△ABE 和△BCF 重叠部分(即△BEG)的面积; (3)现将△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到△AB′E′(如图 2) ,使点 E 落在 CD 边上的点 E′ 处,问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.

【答案】1) ( 证明: ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ABE=∠BCF=90°, AB=BC。 ∴∠ABF+∠CBF=90°。 ∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。 在△ABE 和△BCF 中,∵∠ABE=∠BCF,AB=BC,∠BAE=∠CBF, ∴△ABE≌△BCF(ASA) 。 (2)解:∵正方形面积为 3,∴AB= 3 。 在△BGE 与△ABE 中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,∴△BGE∽△ABE。 ∴

S?BGE BE 2 =( ) 。 S?ABE AE
2 2 2

又∵BE=1,∴AE =AB +BE =3+1=4。

∴ S?BGE =

1 3 3 ? S?ABE ? ? ? 。 4 2 8 AE
2

BE 2

练习题:

0 1. (2011 山东东营 12 分)如图所示,四边形 OABC 是矩形.点 A、C 的坐标分别为( ?3, ),
(0,1),点 D 是线段 BC 上的动点(与端点 B、C 不重含),过点 D 作直线 y ? OAB 于点 E。 (1) 记△ODE 的面积为 S.求 S 与 b 的函数关系式: (2) 当点 E 在线段 OA 上时,且 tan∠ DEO=

1 x ? b 交折线 2

1 。若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四 2

边形 O1A1B1C1 .试探究四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若

不交,求出该重叠部分妁面积;若改变.请说明理由。

2. (2011 浙江舟山、嘉兴 12 分)已知直线 y?kx 3 k<0)分别交 x 轴、 y轴于 A、B 两 ? ( 点,线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动,速度为每秒 1 个单位长度,过点 P 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 C,设运动时间为 t秒. (1)当 k?? 时,线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动,它与点 P 以相同速度同 1 时出发,当 点 P 到达点 A 时两点同时停止运动(如图 1) . ① 直接写出 t=1 秒时 C、Q 两点的坐标; ② 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求 t的值. (2) k ? ? 当 图 2) , ① 求 CD 的长; ② 设△COD 的 OC 边上的高为 h,当 t为何值时, h的值最大?
3 2 时, 设以 C 为顶点的抛物线 y? x m ? 与直线 AB 的另一交点为 D (如 ( ? ) n 4

三、其它定值问题: 典型例题:例 1: (2012 浙江义乌 12 分)如图 1,已知直线 y=kx 与抛物线 y= ? 于点 A(3,6) . (1)求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度; (2)点 P 为抛物线第一象限内的动点,过点 P 作直线 PM,交 x 轴于点 M(点 M、O 不重合) , 交直线 OA 于点 Q,再过点 Q 作直线 PM 的垂线,交 y 轴于点 N.试探究:线段 QM 与线段 QN 的 长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;

4 2 22 x + x交 27 3

(3)如图 2,若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点,点 E 在线段 OA 上(与点 O、A 不重合) ,点 D(m,0)是 x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m 在什么范围时, 符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个?

【答案】解: (1)把点 A(3,6)代入 y=kx 得;6=3k,即 k=2。 ∴y=2x。 ∴ OA ? 32 +62 =3 5 。 (2)线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值,理由如下: 如图 1,过点 Q 作 QG⊥y 轴于点 G,QH⊥x 轴于点 H. ①当 QH 与 QM 重合时,显然 QG 与 QN 重合, 此时

QM QH QH ? ? ? tan ?AOM=2 。 QN QG OH

②当 QH 与 QM 不重合时, ∵QN⊥QM,QG⊥QH 不妨设点 H,G 分别在 x、y 轴的正半 轴上, ∴∠MQH=∠GQN。 又∵∠QHM=∠QGN=90°,∴△QHM∽△QGN。 ∴

QM QH QH ? ? ? tan ?AOM=2 。 QN QG OH
QM =2 。 QN

当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时,同理可得 ∴线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值。

(3)如图 2,延长 AB 交 x 轴于点 F,过点 F 作 FC⊥OA 于点 C,过点 A 作 AR⊥x 轴于点 R。 ∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF。 ∴OC=AC= OA=

1 2

5 5。 2

∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,

∴△AOR∽△FOC。∴ ∴OF=

OF AO 3 5 ? ? ? 5。 OC OR 3

5 15 5? 5 ? 。 2 2 15 ∴点 F( ,0) 。 2 4 22 设点 B(x, ? x 2 + x ) ,过点 B 作 BK⊥AR 于点 K,则△AKB∽△ARF。 27 3 22 ? ? 4 6 ? ? ? x2 + x ? x ?3 BK AK 3 ? ? 27 ∴ ,即 。 ? ? 7.5 ? 3 6 FR AR
解得 x1=6,x2=3(舍去) 。∴点 B(6,2) 。 ∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4。∴AB=5。 在△ABE 与△OED 中,∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。 ∴∠ABE=∠DEO。 ∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED。 设 OE=x,则 AE= 3 5 ﹣x ( 0 < x < 3 5 ) , 由△ABE∽△OED 得

AE OD 3 5?x m ? 。 ,即 ? 5 x AB OE
2

1 1 3 5 1? 3 ? 9 x= ? ? x ? 5 ? + 0 < x <3 5 。 ∴ m= x 3 5 ? x = ? x 2 + 5 5 5 5? 2 ? 4
3 9? ? 5, ? 。 ∴顶点为 ? x ? 2 4? ?
如图 3,当 m= 时,OE=x=

?

?

?

?

9 4

3 5 ,此时 E 点有 1 个; 2

当 0 < m < 时,任取一个 m 的值都对应着两个 x 值,此 时 E 点有 2 个. ∴当 m= 时,E 点只有 1 个,当 0 < m < 时,E 点有 2 个。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,相似三角形 的判定和性质,二次函数的性质。 【分析】 (1)利用待定系数法求出直线 y=kx 的解析式,根据 A 点坐标用勾股定理求出线段 OA 的长度。

9 4

9 4

9 4

(2) 如图 1, 过点 Q 作 QG⊥y 轴于点 G, QH⊥x 轴于点 H, 构造相似三角形△QHM 与△QGN, 将线段 QM 与线段 QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比,即

QM QH QH ? ? ? tan ?AOM=2 为定值. 需要注意讨论点的位置不同时, 这个结论依然成立。 QN QG OH
(3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED。在相似 三角形△ABE 与△OED 中,运用线段比例关系之前需要首先求出 AB 的长度,如图 2,可以通过 构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得 AB 的长度。设 OE=x,则由相似边的 比例关系可以得到 m 关于 x 的表达式 m= ? ? x ?

1? 5?

3 ? 9 5 ? + ,这是一个二次函数.借助此二 2 ? 4

2

次函数图象(如图 3) ,可见 m 在不同取值范围时,x 的取值(即 OE 的长度,或 E 点的位置) 有 1 个或 2 个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。 例 2: (2012 山东淄博 4 分)如图,将正方形对折后展开(图④ 是连续两次对折后再展开) ,再 按图示方法折叠,能够得到一个直角三角形,且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图 形有【 】

(A)4 个 【答案】C。

(B)3 个

(C)2 个

(D)1 个

【考点】正方形的性质,折叠的性质,含 30 度角的直角三角形的性质,平行的性质,等腰三 角形的判定,直角三角形斜边上中线的性质,三角形内角和定理。 【分析】如图,图① 中,∠ ABC= 即∠ ABC<22.50。 根据含 30 度角的直角三角形中 30 度角所对的直角边是斜边的一半的 性质,CD≠

1 1 ∠ ABD< × 0<∠ 45 DBE, 2 2

1 BC。 2

图② 中,由折叠的性质,∠ ABC=∠ ABF,EC∥ FB, ∴ ABC=∠ ∠ ABF=∠ ADE=∠ BDC。∴ BC=DC。 又∵ 由正方形对折的性质和平行线的性质,知 AD=BD, ∴ 根据直角三角形斜边上中线的性质,得 DC=

1 1 AB,即 BC= AB。 2 2

满足它的一条直角边等于斜边的一半。 图③ 中,由正方形对折的性质,它的一条直角边等于另一条直角边的一半,不可能再 有一条直角边等于斜边的一半。 图④ 中,由正方形折叠的性质和平行线的性质,知 AB=CB,AB=2BD, ∠ ABE=∠ CBE, ∴ BC=2BD。∴ BCD=300。∴ CBD=600。 ∠ ∠ ∵ ABE+∠ ∠ CBE+∠ CBD=1800。∴ ABE =600。∴ AEB =300。 ∠ ∠ ∴ AB=

1 BE。满足它的一条直角边等于斜边的一半。 2

综上所述,这样的图形有 2 个。故选 C。 例 3: (2012 四川绵阳 14 分)如图 1,在直角坐标系中, 是坐标原点, A 在 y 轴正半轴上, O 点 二次函数 y=ax2+

1 x +c 的图象 F 交 x 轴于 B、C 两点,交 y 轴于 M 点,其中 B(-3,0) ,M 6

(0,-1) 。已知 AM=BC。 (1)求二次函数的解析式; (2)证明:在抛物线 F 上存在点 D,使 A、B、C、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边 形,并请求出直线 BD 的解析式; (3)在(2)的条件下,设直线 l 过 D 且分别交直线 BA、BC 于不同的 P、Q 两点,AC、BD 相交于 N。 ① 若直线 l⊥ BD,如图 1 所示,试求

1 1 ? 的值; BP BQ

② l 为满足条件的任意直线。如图 2 所示,① 若 中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想; 若不成立,请举出反例。

【答案】解:(1)∵二次函数 y=ax +

2

1 x +c 的图象经过点 B(-3,0),M(0,-1), 6

∴ ?

1 1 ? ? ?9a ? ? ? ?3? ? c ? 0 ?a ? ,解得 ? 6 6 。 ?c ? ?1 ? c ? ?1 ? ?

1 2 1 x ? x ?1 。 6 6 1 2 1 1 1 (2)证明:在 y ? x ? x ? 1 中,令 y=0,得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x1=-3, 6 6 6 6
∴二次函数的解析式为: y ? x2=2。 ∴C(2,0),∴BC=5。 令 x=0,得 y=-1,∴M(0,-1),OM=1。 又 AM=BC,∴OA=AM-OM=4。∴A(0,4)。 设 AD∥x 轴,交抛物线于点 D,如图 1 所示, 则 yD ? x 2 ? x ? 1=OA=4 ,解得 x1=5,x2=-6(位于第二象限, 舍去)。 ∴D 点坐标为(5,4)。∴AD=BC=5。 又∵AD∥BC,∴四边形 ABCD 为平行四边形,即在抛物线 F 上存在 点 D,使 A、B、C、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。 设直线 BD 解析式为:y=kx+b,∵B(-3,0),D(5,4),

1 6

1 6

1 ? ?k ? 2 ??3k ? b ? 0 ? ∴ ? ,解得: ? 。 ?5k ? b ? 4 ?b ? 3 ? 2 ?
∴直线 BD 解析式为: y ?

1 3 x? 。 2 2

(3)在 Rt△AOB 中, AB ? OA2 ? OB2 ? 5 , 又 AD=BC=5,∴?ABCD 是菱形。 ①若直线 l⊥BD,如图 1 所示, ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形 , ∴AC⊥BD 。 ∴AC∥ 直 线 l 。 ∴

BA BC BN 1 ? ? ? 。 BP BQ BD 2
∵BA=BC=5,∴BP=BQ=10。 ∴

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 。 BP BQ 10 10 5

②若 l 为满足条件的任意直线,如图 2 所示,此时①中的结论依然 成立,理由如下:

∵AD∥BC,CD∥AB,∴△PAD∽△DCQ。∴ ∴AP?CQ=AD?CD=5×5=25。 ∴

AP AD ? 。 CD CQ

1 1 1 1 1 1 5 ? CQ ? 5 ? AP ? ? ? ? ? ? BP BQ AB ? AP BC ? CQ ? 5 AP 5 CQ ? 5 ??AP 5 ? CQ ? ? ? ?
。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形、菱形的判定和性质, 平行线间的比例线段关系,相似三角形的判定和性质,分式化简。 【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式。 (2)首先求出 D 点的坐标,可得 AD=BC 且 AD∥BC,所以四边形 ABCD 是平行四边形; 再根据 B、D 点的坐标,利用待定系数法求出直线 BD 的解析式。 (3)本问的关键是判定平行四边形 ABCD 是菱形。 ①推出 AC∥直线 l,从而根据平行线间的比例线段关系,求出 BP、CQ 的长度, 计算出

10 ? AP ? CQ 10 ? AP ? CQ 10 ? AP ? CQ 1 ? ? ? 25+5 ? AP ? CQ ? +AP ? CQ 25+5 ? AP ? CQ ? +25 50+5 ? AP ? CQ ? 5

1 1 1 ? ? 。 BP BQ 5
②判定△PAD∽△DCQ,得到 AP?CQ=25,利用这个关系式对

1 1 ? 进行分式 BP BQ

的化简求值,结论为

1 1 1 ? ? 不变。 BP BQ 5

例 4: (2012 四川成都 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y= x+m ( m 为 常数)的图象与 x 轴交于点 A( ?3 ,0),与 y 轴交于点 C.以直线 x=1 为对称轴的抛物线

5 4

y=ax 2 +bx+c

(a,b,c 为常数,且 a≠0)经过 A,C 两点,并与 x 轴的正半轴交于点 B.

(1)求 m 的值及抛物线的函数表达式; (2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点,过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F.是否存在 这样的点 E,使得以 A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 E 的坐标 及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由; (3)若 P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点,过点 P 任意作一条与 y 轴不 平行的直线交抛物线于 M1 ? x1,y1 ?,M2 ? x 2,y2 ? 两点,试探究 出探究过程.

M1P ? M 2 P 是否为定值,并写 M1M 2

【答案】解: (1)∵ y= x+m 经过点(﹣3,0) ,∴ ?

5 4

15 15 x+m=0 ,解得 m= 。 4 4

15 。 4 15 15 令 x=0,得 y= 。∴C(0, ) 。 4 4
∴直线解析式为 y= x+ ∵抛物线 y=ax +bx+c 对称轴为 x=1,且与 x 轴交于 A(﹣3,0) , ∴另一交点为 B(5,0) 。 设抛物线解析式为 y=a(x+3) (x﹣5) ,
2

5 4

15 15 1 ) ,∴ =a?3(﹣5) ,解得 a= ? 。 4 4 4 1 1 1 15 ∴抛物线解析式为 y= ? (x+3) (x﹣5) ,即 y= ? x 2 + x+ 。 4 4 2 4
∵抛物线经过 C(0, (2)假设存在点 E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形, 则 AC∥EF 且 AC=EF,如答图 1。 (i)当点 E 在点 E 位置时,过点 E 作 EG⊥x 轴于 点 G, ∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG。 又∵∠COA=∠EOF=90 ,AC=EF, ∴△CAO≌△EFG(AAS) 。
0

15 15 ,即 yE= 。 4 4 15 1 2 1 15 ∴ = ? xE + xE + , 4 4 2 4
∴EG=CO= 解得 xE=2(xE=0 与 C 点重合,舍去) 。 ∴E(2,

15 15 ) ?ACEF= 。 ,S 4 2

(ii)当点 E 在点 E′位置时,过点 E′作 E′G′⊥x 轴于点 G′, 同理可求得 E′( 31+1,?

15 15 31+105 ) ?ACE′F′= ,S 。 4 4

(3)要使△ACP 的周长最小,只需 AP+CP 最小即可。

如答图 2,连接 BC 交 x=1 于 P 点,因为点 A、B 关于 x=1 对称,根据轴对称 性质以及两点之间线段最短,可知此时 AP+CP 最小(AP+CP 最小值为线段 BC 的长度) 。

15 ) , 4 3 15 ∴直线 BC 解析式为 y= ? x+ 。 4 4
∵B(5,0) ,C(0, ∵xP=1,∴yP=3,即 P(1,3) 。 令经过点 P(1,3)的直线为 y=kx+3﹣k,

联立 ?

? y ? kx ? 3 ? k ? 1 1 15 得 y= ? x 2 + x+ ? 4 2 4 ?

x +(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0, ∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3。 ∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2) 。 根据勾股定理得: M1M2=

2

? x1 ? x 2 ?2 + ? y1 ? y2 ?2 = ? x1 ? x 2 ?2 +k 2 ? x1 ? x 2 ?2 =
= 1+k 2 ?
, M1P= , M2P=

1+k 2 ?

? x1 ? x 2 ?2

? x1 +x 2 ?2 ? 4x1x 2 =

1+k 2 ?

? 2 ? 4k ?2 ? 4 ? ?4k ? 3? =4 ?1+k 2 ?
? x1 ? 1?2

? x1 ? 1?2 + ? y1 ? 3?2 = ? x1 ? 1?2 + ? kx1 +3 ? k ? 3?2 =

1+k 2 ?

? x 2 ? 1?2 + ? y2 ? 3?2 = ? x 2 ? 1?2 + ? kx 2 +3 ? k ? 3?2 =
∴M1P?M2P= 1+k 2 ?

1+k 2 ?

? x 2 ? 1?2


2

?

?

? x1 ? 1?2 ? x 2 ? 1?2 = ?1+k 2 ? ?
2

? x1x 2 ? ? x1 +x 2 ? +1? ? ?

= 1+k 2 ? ??4k ? 3 ? ? 2 ? 4k ? +1? =4 1+k 2 ? ?
∴M1P?M2P=M1M2。∴

?

?

?

?

M1P ? M 2 P =1 为定值。 M1M 2

【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系, 平行四边形的判定和性质,轴对称的性质,两点之间线段最短的性质,一元二次方程根与系 数的关系,勾股定理。

【分析】 (1)把点 A 的坐标代入 y= x+m 即可求出 m 的值。由抛物线的对称轴和点 A 的坐标 可得抛物线与 x 轴另一交点 B 的坐标,从而设抛物线的交点式,由点 C 在抛物线求出待定系 数得到抛物线解析式。 (2)分点 E 在 x 轴上方和下方两种情况讨论即可。 (3)设出 M1M2 的解析式,与抛物线联立,根据一元二次方程根与系数的关系得 M1、M2 两点坐标的关系:x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3,y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k, y1﹣y2=k(x1﹣x2) 。 由勾股定理表示出 M1M2、M1P 和 M2P,化简即可求证。 例 5: (2012 广西崇左 10 分)如图所示,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上移 动,但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等,问在点 E、F 移动过程中; (1)∠ EAF 的大小是否发生变化?请说明理由. (2)△ECF 的周长是否发生变化?请说明理由.

5 4

练习题: 1. (2011 江西省 B 卷 9 分)如图,将△ABC 的顶点 A 放在⊙ 上,现从 AC 与⊙ 相切于点 O O A(如图 1) 的位置开始,将△ABC 绕着点 A 顺时针旋转,设旋转角为 ? (0° ? <120° ,旋转后 AC,AB < ) 分别与 ⊙ 交于点 E,F,连接 EF(如图 2). 已知∠ O BAC=60° C=90° ,∠ ,AC=8,⊙ 的直径为 8. O
? (1)在旋转过程中,有以下几个量:① EF 的长 ②EF 的长 ③ AFE 的度数 ④ O 到 EF 弦 ∠ 点

的距离. 其中不变的量是 (填序号) ;

(2)当 BC 与⊙ 相切时,请直接写出 ? 的值,并求此时△AEF 的面积. O

2. (2011 广东河源 9 分)如图 1,已知线段 AB 的长为 2 a ,点 P 是 AB 上的动点(P 不与 A, B 重合) ,分别以 AP、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD. (1)当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时,AP= ___________ ; (直接写结果) (2)连结 AD、BC,相交于点 Q,设∠ AQC=α,那么 α 的大小是否会随点 P 的移动而变化? 请说明 理由; (3)如图 2,若点 P 固定,将△PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转(旋转角小于 180° ,此时 α ) 的大小 是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)

3. (2011 湖南长沙 10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2) ,点 P 是 x 轴上一

动点,以线段 AP 为一边,在其一侧作等边三角线 APQ。当点 P 运动到原点 O 处时,记 Q 得 位置为 B。 (1)求点 B 的坐标; (2)求证:当点 P 在 x 轴上运动(P 不与 Q 重合)时,∠ ABQ 为定值; (3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标; 若不存在,请说明理由。

4. (2011 福建泉州 14 分)如图 1,在第一象限内,直线 y=mx 与过点 B(0,1)且平行于 x 轴的直线 l 相交于点 A,半径为 r 的⊙ 与直线 y=mx、x 轴分别相切于点 T、E,且与直线 l Q 分别交于不同的 M、N 两点. (1)当点 A 的坐标为(

3 ,p)时, 3

① 填空:p=___ ,m= ___,∠ AOE= ___. ② 如图 2,连接 QT、QE,QE 交 MN 于点 F,当 r=2 时,试说明:以 T、M、E、N 为顶点的 四边形是等腰梯形; (2)在图 1 中,连接 EQ 并延长交⊙ 于点 D,试探索:对 m、r 的不同取值,经过 M、D、 Q N 三点的抛物线 y=ax2+bx+c,a 的值会变化吗?若不变,求出 a 的值;若变化.请说明理由.

5. (2011 福建三明 14 分)在矩形 ABCD 中,点 P 在 AD 上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶

点放在 P 处,直角尺的两边分别交 AB,BC 于点 E,F,连接 EF(如图① . ) (1)当点 E 与点 B 重合时,点 F 恰好与点 C 重合(如图② ,求 PC 的长; ) (2)探究:将直尺从图② 中的位置开始,绕点 P 顺时针旋转,当点 E 和点 A 重合时停止.在 这个过程中,请你观察、猜想,并解答: ① tan∠ PEF 的值是否发生变化?请说明理由; ② 直接写出从开始到停止,线段 EF 的中点经过的路线长.

6. (2011 福建莆田 14 分)已知菱形 ABCD 的边长为 1.∠ ADC=60° ,等边△AEF 两边分别交 边 DC、CB 于点 E、F。 (1) 分)特殊发现:如图 1,若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点.求证:菱形 ABCD 对 (4 角线 AC、BD 交点 O 即为等边△AEF 的外心; (2)若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动.记等边△AEF 的外心为点 P. ① (4 分)猜想验证:如图 2.猜想△AEF 的外心 P 落在哪一直线上,并加以证明; ② (6 分)拓展运用:如图 3,当△AEF 面积最小时,过点 P 任作一直线分别交边 DA 于 点 M,交边 DC 的延长线于点 N,试判断 是.请说明理由。

1 1 是否为定值.若是.请求出该定值;若不 ? DM DN


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