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2016届高三第一轮第6讲 函数的单调性与最值


山东省诸城第一中学

2013 级数学一轮复习讲义

诸城一中高三数学一轮复习第 6 讲 函数的单调性与最值
班级: 姓名: 命题人:谭玉邦 审核人:孙建鹏 教师寄语:反复印象深刻、反思思维灵活! 一、 高考要求:1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2、会运用函数的图象理解和研究函数的性质. 【2016 年高考预测】 2015-06-18

1.考查求函数单调性和最值的基本方法. 2.利用函数的单调性求单调区间. 3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. .
二、知识点梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 两

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都 有 ,那么就说函 当 x1<x2 时,都 有

,那么就

数 f(x)在区间 D 上是增函数 2.函数的最值 前提 ① ②

说函数 f (x )在区间 D 上是减函数

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; x0∈I,使得 f(x0)=M ① 对于任意 x∈I,都 有 ②存在 x0∈I,使得 ;

条件

结论

M 为最大值

M 为最小值

1 说明:1、函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= 分别在(-∞, x 0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能 分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 2、设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么

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f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. 3、两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 三、双基自测 1.设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为( A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) ).

).

2.(2011· 湖南)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3) ).

?1?? 3.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x??<f(1)的实数 x 的取值范围是(
A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

4.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. 2 5.若 x>0,则 x+ 的最小值为________. x 考向一 函数的单调性的判断 【例 1】?试讨论函数 f(x)= x 的单调性. x2+1

[审题视点] 可采用定义法或导数法判断.

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【训练 1】 讨论函数 f(x)=

ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围) x2+a 【例 2】?已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围. x [审题视点] 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性.

x-5 【训练 2】 函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 A.a=-3 B.a<3 C. a≤-3 D.a≥-3

).

总结:已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间,反之已知函数的单调区间 可确定函数解析式中参数的值或范围,可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解. 考向三 利用函数的单调性求最值 2 【例 3】?已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. [审题视点] 抽象函数单调性的判断,仍须紧扣定义,结合题目作适当变形.

反思:对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对 任意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 的变形:如 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等.

f?x1? 与 1 的大小.有时根据需要,需作适当 f?x2?

x1 x2

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2

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x1? 【训练 3】 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

考向四 不等式恒成立问题 在恒成立的条件下,如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容,近年来在新课标地区的高考 命题中,由于三角函数、数列、导数知识的渗透,使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度, 因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置. 【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者 区间根的分布问题,进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解,常用方法还有函数性质法,分离 参数法等. 例 4、已知函数 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 利用函数性质求 f(x)的最值,从而解不等式 f(x)min≥a,得 a 的取值范围.解题过程中要注意 a 的范围的讨论.

【训练 4】当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 四、高考真题在线 1、[2014· 北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(
2
-x

)

A.y= x+1 B.y=(x-1) C.y=2 D.y=log0.5(x+1) 2、[2014· 四川卷] 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的 集合:对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当 φ1(x) =x3,φ2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ 2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1

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其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 1 3、[2014· 天津卷] 函数 f(x)=log (x2-4)的单调递增区间为( 2 )

A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 4、函数 f(x)=log2 x·log 2(2x)的最小值为________. 5、设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当
2 2

xy 2 1 2 取得最大值时, ? ? 的最大值为 z x y z
9 4
(D)3

(A)0

(B)1

(C)

函数的单调性与最值双基训练
一、选择题 1、下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 A.y=|x| 1 C.y= x B.y=3-x D.y=-x2+4 ( ) ( )

2、函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 1 A.k> 2 1 B.k< 2 1 C.k>- 2 1 D.k<- 2 )

3、(教材习题改编)函数 f(x)= 4 A. 5 5 B. 4

1 的最大值是 ( 1-x?1-x? 3 C. 4
1 2 ;②

4 D. 3

4、(2010· 北京高考)给定函数①y= x 间(0,1)上单调递减的函数的序号是 A.①② B.②③

y ? log1 ( x ? 1) ;③y=|x-1|;④y=2x+1,其中在区
2

( C.③④ D.①④

)

5 、 (2012· 广 东 六 校 第 二 次 联 考 ) 下 列 函 数 中 , 既 是 偶 函 数 又 在 (0 , + ∞) 上 单 调 递 增 的 是 ( ) A.y=x3 B.y=ln|x| C.y= 1 x2 D.y=cos x

6、(2012· 长沙模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义函数
?f?x?,f?x?≤k, ? 1 - fk(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为 2 ?k,f?x?>k ?

(

)

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(1,+∞)

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x,

a x>1 ? ? 7、(2012· 长春模拟)f(x)=? a ??4-2?x+2 ,x≤1 ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) ) D.(1,8)

8、已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0, 则 a 的取值范围是( A.(2 2 ,3) 二、填空题 9、 (教材习题改编) f ( x) ? x 2 ? 2x (x∈[-2,4])的单调增区间为________; f(x)max=________. 1 | |?<f(1)的实数 x 的 取值范围是________. 10、已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ?x? 11、(2012·枣庄模拟)函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________. 1 12、函数 f(x)= 在[2,3]上的最小值为________,最大值为________. x-1 1 ? 1 1 1 ,2 上的值域为? ,2?, 13、(2012· 汉中模拟)已知函数 f(x)= - (a>0,x>0),若 f(x) 在? ?2 ? ?2 ? a x 则 a=__________. 14、函数 y ? x ? ?x? 的最小值为__________ 15、已知偶函数 f ( x) 的定义域为 R,且在 (??,0) 上是增函数,则 f ( ? ) 与 f (a 2 ? a ? 1) 的大小 为________。 三、解答题 a 16、已知 a>0,函数 f(x)=x+ (x>0),证明函数 f(x)在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函 x 数. ) C.(2 2 ,4) D.(-2,3)

B.(3, 10 )

3 4

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17、 (2011·上海高考)已知函数 f(x)=a·2x+b·3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

18、已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数 m,使 f(cos2θ - 3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0, 若不存在,说明理由.

?
2

]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数 m 的范围,


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