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不等式的性质与均值不等式经典


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 21:不等式的性质与均值不等式
一、选择题 错误!未指定书签。 . (山东省曲阜市 2013 届高三 11 月月考数学(理)试题)已知 a ? 0, b ? 0, 且 2 是 2 a 与

b 的等差中项,则
A.

1 4

1 的最小值为 ab 1 B. 2

( C .2 D.4



【答案】B

? x?2 ? 错误! 未指定书签。 . (山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) 设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 , ? y ? x +1 ?
若目标函数 z =ax+by(a>0,b>0) 的最小值为 2,则 ab 的最大值为 A.1
【答案】D





B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

【 解 析 】 由 z =ax+by(a>0,b>0) 得 y ? ?

a a z x? , 可 知 斜 率 为 ? ? 0 , 作 出 可 行 域 如 b b b

图, 最小 , 此时 z 最小为 2. 由 ?

由图象可知当直线 y ? ?

a z a z x ? 经过点 D 时,直线 y ? ? x ? 的截距 b b b b

?x ? 2 ?x ? 2 得? , 即 D(2,3) , 代入直线 ax +by ? 2 得 2a ? 3b ? 2 , 又 ? y ? x ?1 ? y ? 3 1 1 1 2 ? 2a ? 3b ? 2 6ab ,所以 ab ? ,当且仅当 2a ? 3b ? 1 ,即 a ? , b ? 时取等号 ,所以 ab 的最大 6 2 3 1 值为 ,选 D. 6
错误!未指定书签。 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题 ( 理 科 ) ) 已 知 向 量

a = ( x ? 1,2), b = (4, y ) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为
A. 2 B. 2 3 C. C. 6 D. 9
【答案】C【解析】由题意知





a ? b ? 4( x ? 1) ? 2 y ? 0,? 2 x ? y ? 2,? 9 x ? 3 y ? 2 32 x ? y ? 6 . 故 选

错误! 未指定书签。 . (山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学) 若正数 x , y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,

则 3x ? 4 y 的最小值是 A.





24 5

B.

28 5

C .5

D.6

【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 x ? 3 y ? 5 xy , 可 得

x 3y 1 3 1 3 ? ?5 ,即 ? ?5 ,所以 ? ?1 . 则 xy xy y x 5 y 5x

3x ? 4 y ? (3x ? 4 y)(

1 3 9 4 3x 12 y 13 3x 12 y 13 12 ? )? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 5 ,选 C. 5 y 5x 5 5 5 y 5x 5 5 y 5x 5 5

错误!未指定书签。 . (山东省莱芜市第一中学 2013 届高三 12 月阶段性测试数学(理)试题)设 a, b ? R ,若

b? | a |? 0 ,则下列不等式中正确的是 A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0
【答案】B

( C. a ? b ? 0
2 2



D. a ? b ? 0
3 3
0.3

错误!未指定书签。 . (山东省济宁市 2013 届高三 4 月联考理科数学)设 a=3 ,b=log ? 3,c=log0.3 e 则 a,b,c

的大小关系是 A.a<b<c 【答案】B

( B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b



2 3 2 3 5 2 5 2 5 错误! 未指定书签。 . (山东省临沂市 2013 届高三第三次模拟考试 理科数学) 设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( ) , 5 5 5 则 a, b, c 的大小关系是 ( ) A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a

【答案】A 错误!未指定书签。 . ( 山 东 省 潍 坊 市 四 县 一 校 2013 届 高 三 11 月 期 中 联 考 ( 数 学 理 ) ) 设

a

1 ? 0.5 2 , b

1 ? 0.9 4 , c

A. a ? c ? b 所以 b ? a ? c ,选 D

? log5 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 B. c ? a ? b C. a ? b ? c
1 2 1 4 1 4

( D. b ? a ? c



【答案】D 【解析】a ? 0.5

? 0.25 , b ? 0.9 ,所以根据幂函数的性质知 b ? a ? 0 ,而 c ? log5 0.3 ? 0 ,

错误!未指定书签。 . (山东省济宁邹城市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)若 a,b 是任意实数,

且 a>b,则 A. a ? b
2 2

( B.



b ?1 a

C. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

D. lg(a ? b) ? 0

【答案】C 错误!未指定书签。 . ( 山 东 师 大 附 中 2013 届 高 三 第 四 次 模 拟 测 试 1 月 理 科 数 学 ) 已 知

1 a ? 21 . 2, b ? ( ?) 2 A. c ? b ? a

0.8

c ,? 2l g则2 a, b, c 的大小关系为 5o,





C. b ? c ? a D. b ? a ? c 1 . 8 1 . 2 ? 0 . 8 . 8 1, 所 以 ? 2 , c0 ? 2 log 5 2 ? log 5 4 , 因 为 21 . 2? 2 0? 【 答 案 】 A 【 解 析 】 a ? 2 ,b ? ( ) 2 a ? b ? 1 , c ? log5 4 ? 1 ,所以 a, b, c 的大小关系为 a ? b ? c ,选 ( ) A.
错误!未指定书签。 . (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)若 a, b ? R, 且ab ? 0, 则

B. c ? a ? b

下列不等式中,恒成立的是 A. a ? b ? 2 ab
【答案】C

( C.



B.

1 1 2 ? ? a b ab

b a ? ?2 a b

D. a ? b ? 2ab
2 2

因为 ab ? 0 ,所以

b a b a b a ? 0, ? 0 ,即 ? ? 2 ? ? 2 ,所以选 a b a b a b

C.

错误!未指定书签。 . (2013 山东高考数学(理) )设正实数 x, y , z 满足 x2

? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当


xy 取得最 z


大值时, A.0

2 1 2 ? ? 的最大值为 x y z
B.1 C.

【 答 案 】 B

9 D.3 4 2 2 2 2 【 解 析 】 由 x ? 3xy ? 4 y ? z ? 0 , 得 z ? x ? 3xy ? 4 y . 所 以

xy xy 1 x 4y 1 ? 2 ? , 即 x ? 2 y 时取等号此时 ? ? 1 , 当且仅当 ? 2 x 4 y z x ? 3 xy ? 4 y y x x 4 y ? ?3 2 ? ?3 y x y x xy 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) z ? 2 y 2 , ( ) max ? 1. ? ? ? z x y z 2 y y xy y x y 2y 1 1 ?1? 2y 2y 2 ? 4( ) ? 1,故选 B. 2 0.5 错误!未指定书签。 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设 a ? 3 , b ? log 3 2, c ? cos 2 ,则
( A. c ? b ? a
【答案】A



B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? c ? a ( )

【解析】 3 A.

0.5

? 3 ? 1 ,, 0 ? log 3 2 ? 1 ,, cos 2 ? 0 ,所以 c ? b ? a ,选

错误!未指定书签。 . (山东省泰安市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知实数 x , y 满足约束条件

? x ? y ? 1, 1 1 ? ? x ? y ? ?1, 若函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 1,则 ? 的最小值为 a b ?2 x ? y ? 2 ?
A. 7 ? 4 3 【答案】A B. 7 ? 2 3 C. 8 3 D. 4 3





错误!未指定书签。 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知第一象限的点(a,b)在

直线 2x+3y ? 1=0 上,则代数式 A.24
【答案】B

2 3 ? 的最小值为 a b
C.26 D.27





B.25

【 解 析 】 因 为 第 一 象 限 的 点 (a,b) 在 直 线 2x+3y ? 1=0 上 , 所 以 有 2a ? 3b ? 1 ? 0, a ? 0, b ? 0 , 即

2 3 2 3 6b 6a 6b 6a ? ? ( ? )(2a ? 3b ) ? 4 ? 9 ? ? ? 13 ? 2 ? ? 25 , 当 且 仅 当 a b a b a b a b 6b 6a 1 2 3 ,即 a ? b ? 取等号,所以 ? 的最小值为 25,选 B. ? a b 5 a b 错误! 未指定书签。 . (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 设 a ? 30.3 , b ? log? 3, c ? log 0.3 e 则 ( ) a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

2a ? 3b ? 1 , 所 以

【答案】B

【 解析】 a ? 30.3 ? 1, 0 ? log? 3 ? 1, c ? log 0.3 e ? 0

,所以

c ? b ? a ,选

B.

错误!未指定书签。 . ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 科 数 学 ) 已 知 二 次 函 数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的 导 数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 , 且 f ( x) 的 值 域 为 [0,??) , 则

f (1) 的最小值为 f ' (0)
( )

5 3 A.3 B. C .2 D. 2 2 【 答 案 】 C 【 解 析 】 f '( x )? 2ax? b , f '(0) ? b ? 0 , 函 数 f ( x) 的 值 域 为 [0,??) , 所 以 a ? 0 , 且

4ac ? b 2 ?0 4a

,



4ac ? b2 ,

,





c?0

.





f( 1 ? )a ?

所 以 b ?, c

f (1) a ? b ? c a?c 2 ac 4ac ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? 1 ? 2 ,所以最小值为 2,选 f '(0) b b b b
4 4 ? ?? 8x ? x ? 0 ? , f 2 ? x ? ? cos x ? ? 0 ? x ? ?, f ? x? ? 2 x cos x ? 2? 3 x ?1 9 ? x ? x ? ?2 ? ,其中以 4 为最小值的函数个数是 ? x ? 0? , f4 ? x ? ? x?2 f1 ? x ? ? x ?
A.0 B.1 C .2 D.3
【答案】D【解析】函数

C.

错误!未指定书签。 . ( 山 东 省 日 照 市 2013 届 高 三 12 月 份 阶 段 训 练 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数





f1 ( x) 中,当 x ? 0 时, y1 ? 0 ; f 2 ( x) 无最值; f3 ( x) ?

8 x? 1 x

?

8 ? 4 最大值为 2

4; f 4 ( x) ?

9 ? ( x ? 2) ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 等号成立,所以选 D x?2

二、填空题 错误!未指定书签。 . (山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学(理)试题)已知 log2 a ? log2 b ? 1,

则 3 ? 9 的最小值为________. 【答案】18
a b

错误! 未指定书签。 (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学) . 若点 A

?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,

其中 mn ? 0, 则
【答案】 2

1 1 ? 的最小值为__________. m n

m n ? ?1 , 所 以 2 2 1 1 1 1 m n 1 1 n m n m n m ? ? ( ? )( ? ) ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 , 当且仅当 , 即 m2 ? n2 ? m n m n 2 2 2 2 2m 2n 2m 2n 2m 2n 1 1 时取等号.所以 ? 的最小值为 2. m n x 错误!未指定书签。 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知 x ? 0 ,则 2 的最大值为 x ?4
因 为 点 A ?1,1? 在 直 线 mx ? ny ? 2 ? 0 上 , 所 以 m ? n ? 2 ? 0 , 即 _________________.

x 1 4 4 4 ? ,又 x ? 0 时, x ? ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? ,即 x ? 2 取等号, x ?4 x? 4 x x x x 1 1 x 1 ? ,即 2 所以 0 ? 的最大值为 . 4 4 x ?4 4 x? x 错误!未指定书签。 . ( 山 东 威 海 市 2013 年 5 月 高 三 模 拟 考 试 数 学 ( 理 科 ) ) 已知 正数 a , b 满 足等式
【答案】

1 4

因为

2

a ? b ? 2ab ? 4 ? 0 ,则 a ? b 的最小值为________. 【答案】 4
错误!未指定书签。 . ( 2010 年高考(山东理) ) 若对任意 x ? 0 ,

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2

________________.
【答案】答案 a ?

1 5

解析:因为 x ? 0 ,所以 x ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取等号),所以有 x

1 x 1 1 1 ? ? ? ,故 a ? . 5 x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 2 ? 3 5 x
2

三、解答题 错误!未指定书签。 . (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)如图所示,将一矩形

花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上 D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=3 米,AD=2 米.

(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

【答案】

0.

错误!未指定书签。 . (山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题)经市场调查,某旅游

城市在过去的一个月内(以 30 天计),第 t 天( 1 ? t ? 30, t ? N ) 的旅游人数 f (t ) (万人)近似地满足

?

f (t ) = 4 +

1 ,而人均消费 g (t ) (元)近似地满足 g (t ) = 120- | t - 20 | . t

(1)求该城市的旅游日收益 W (t ) (万元)与时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ? ) 的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值.
【答案】解:(1)W (t ) = f (t ) g (t ) = (4 +

1 )(120- | t - 20 |) t

100 ? 401 ? 4t ? (1 ? t ? 20) ? ? t =? ?559 ? 140 ? 4t (20 ? t ? 30) ? t ?

100 100 ? 401 ? 2 4t ? ? 441(t ? 5时取最小值)7 分 t t 140 当 t ? (20,30]因为W(t)=559+ ? 4t 单调递减, t 2 ? t ? 30时,W (t )有最小值W (30) ? 443 3 ? t ? [1,30]时,W (t)的最小值为 441 万元
(2)当 t ? [1, 20], 401 ? 4t ? 如图将一矩形运动场 EFGH 改建成矩形 EABC,要求 F 点在 EA 上 H 点在 EC 上,且对角线 AC 过点 G,已知 EF=3 米,EH=2 米.

(1) 当 HC 的长度为多少时,矩形 EABC 的面积最小?并求出最小值. (2) 若要求 HC 的长度至少为 3 米则当 HC 的长度为多少时,矩形 EABC 的面积最小?并求出最小值.


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