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正弦函数图像与性质


函 函数 数 正弦函数的图象和性质

函数 函数

高一年级数学备课组

1、定义:y=sinx= 、定义: 2、性质: 、性质: ⑴、定义域: 定义域: ⑵、值域: 值域: ⑶、周期: 周期: ⑷、单调性:(在区间[0,2 π ]上) 单调性:(在区间 , :(在区间 上 在 在

y

P

(u,v)
1

o

x
M

x

上是增加的, 上是增加的, 上是减少的。 上是减少的。

1、描点法
用描点法作出函数 (1) 列表

y = sin x , x ∈ [0 , 2π ] 的图像
π
2

x
y

0

π
6
1 2

π
3
3 2

2π 3
3 2

5π 6
1 2

π
0

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



0

1

?1 2

? 23

?1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

y 1

π
2

0

π
-

3π 2


-

x

-

-

?1

-

(3) 连线

2、几何法
利用正弦线作出 y = sin x, x ∈ 0, π 的图象 2 的图象.
y

[

]

等分; 作法: 作法 (1) 等分 (2) 作正弦线; 作正弦线
p 1/
-

1P
π
6

1

(3) 平移 平移; (4) 连线. 连线
π 3
π 2

-

-

-

o1

M -1 1

A

o
-1 -

π 6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2π

x

平移正弦线作正弦

如何画出正弦函数y=sin x(x∈R) 的图象呢? 如何画出正弦函数y=sin 的图象呢?
因为正弦函数是周期为2kπ(k∈Z,k≠0)的函数,所以函数y=sin x 2kπ 在区间[2kπ, 2(k+1)π] (k∈Z,k≠0)上与在区间[0,2π]上的函数图象 [0,2π [ ] ∈ [0,2 形状完全一样,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sin x(x∈ [0,2π]) x(x∈ 的图象向左,右平行移动(每次平行移动2π个单位长度),就可以得到正弦 函数y=sin x(x∈R)的图象,如下图所示. x(x∈

y
?4π ?3π
?2π
? 5π 2 ? 3π 2

1
π

3π 2 5π 2


?


7π 2



7π ? 2

π
2

0
-1

π
2

x

y=sin x, x∈R

正弦曲线

3、五点法
图象的最高点、 观察 y = sin x ,x∈[ 0,2 π] 图象的最高点、最低 ∈ , 轴的交点?坐标分别是什么? 点和图象与 x 轴的交点?坐标分别是什么?
y
1-

-

o
-1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2π

x

π 图象的最高点 ( ,1); 图象的最高点: 最高点 2

0 0 0 轴的交点 交点: 与 x 轴的交点 (0, ),( π, ),(2 π, ); 3π 图象的最低点 最低点: 图象的最低点 ( ,? 1) . 2

五点 作图法

五点作图法的步骤: 五点作图法的步骤: 的步骤
列表:列出对图象形状起关键作用的五点坐标. 列表:列出对图象形状起关键作用的五点坐标. 描点:定出五个关键点. 描点:定出五个关键点. 连线:用光滑的曲线顺次连结五个点. 连线:用光滑的曲线顺次连结五个点.
找五个关键点作

归纳小结: 归纳小结:
正弦曲线 的作法

1.代数描点法(误差大) 2.几何描点法(精确但步骤繁) 3.五点法(重点掌握)

小试牛刀
用五点法画出下列函数在区间 , 的简图. 用五点法画出下列函数在区间 [0,2 π] 的简图. 画出下列函数 ⑴y=-sin , ⑵y=sinx+1,⑶ y=2sinx = 解: 1、列表 、 2、描点作图 、

x
sin x ?sin x
y
21-

0 0 0

π 2

π
0

3π 2



1 ?1

?1

0

1

0 0

Y=sin , x∈[0,2 π] = ∈ ,
π 2 3π 2

?1 -

o

π



x

y=-sin , x∈[0,2 π] = ∈ ,

观察正弦曲线,得出正弦函数的性质: 观察正弦曲线,得出正弦函数的性质:
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

⑴、定义域:x∈R 定义域: ⑵、值域:[ -1, 1 ] 值域:
π x = + 2kπ(k ∈ Z ) 2
x=?

时,取最大值1; 取最大值 ;

π + 2 kπ ( k ∈ Z ) 时,取最小值-1; 取最小值- ; 2

y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

(3) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x+k · 2 π)=sin x (k∈Z) 可知: + = ∈ 可知: 正弦函数是一个周期函数, π ,-2π 正弦函数是一个周期函数,2π ,4π ,… ,- π , π 都是正弦函数的周期. -4π ,… , 2k π(k∈Z 且 k≠0)都是正弦函数的周期. π ∈ 都是正弦函数的周期 2 π 是其最小正周期 .

(4) 正弦函数的奇偶性
=-sin 由公式 sin(-x)=- x - =- 正弦函数是奇函数. 正弦函数是奇函数.

图象关于原点成中心对称 .
y
1

x
-3π
? 5π 2

-2π

?

3π 2



?

π 2

o
-1

π 2

π

3π 2



5π 2



7π 2



(5) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象 x sinx
? π 2



0



π 2



π



3π 2

0 0 1 π π ? ? ? π , ?π ? ? ?? + 2kπ, + 2kπ?, k ∈ Z 是增函数; 在闭区间 ? ? 2 2 2 ?2 上, 是增函数; ? ? ? 3 ? ? π π , π 3π ? 是减函数. 在闭区间 ? ? + 2kπ, ? + 2kπ?, k ∈ Z 上,是减函数 ? 22 2 ? y ? 2 ?
1

-1

-1

x
-3π
? 5π 2

-2π

?

3π 2



π ? 2

o
-1

π 2

π

3π 2



5π 2



7π 2



正弦函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 R [-1,1] 奇函数 2π
π π? ? 在x ∈ ? 2kπ ? , 2kπ + ? 上是增函数; 2 2? ? π 3π ? ? 在x ∈ ? 2kπ + , 2kπ + ? 上是减函数; 2 2 ? ?

最值

当x = 2 k π +

π

2 3π 当x = 2kπ + 时,ymin = ?1 2

时,ymax = 1

的个数是

3 例2、 =1 sin x,  x ∈ [0, 2π ]   y = 的交点 与直线 y + 2
y
21
-

3 y= 2
π 2 3π 2

? 1-

o

π

y = 1+ sin x 2π x

不通过求值,比较下列各对函数值的大小: 例 3 不通过求值,比较下列各对函数值的大小: π π (1) sin(? ) 和sin(? ); (2) sin 2 π 和 sin 3 π . 4 18 3 10 π π π π ? <? <? < , 解 (1) 因为 2 10 18 2
π π 且 y =sin x 在[ ? , ] 上是增函数. 2 2

所以 sin( ?

π π )< sin( ? ) . 10 18
π , π ] 上是减函数, 2
3π 4

π 2 π 3π < < < π , (2) 因为 2 3 4

且 y =sin x 在 [ 所以 sin
2π 3

> sin



1 . 正弦函数的图象. 正弦函数的图象. 2 .“五点法”作图. “五点法”作图. 3 . 正弦函数的性质. 正弦函数的性质.

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