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数学:1.3.2《二项式定理-杨辉三角》PPT课件(新人教A版-选修2-3)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-3

1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》

教学目标
1理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; ? 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题; ? 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提 高分析问题和解决问题的能力 学习 ? 重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 ? 难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 ? 授课类型:新授课 ? 课时安排:1课时 ? 教 具:多媒体、实物投影仪
?

二项式定理(三)─杨辉三角
开门见山

研究系数规 律

性质继续 思考 本课小结

思考三

作业:课本 P A 组第 8 题,B 组第 2 题 43

二项式定理(三)─杨辉三角
把(a+b)n展开式的二项式系数取出来,当 n依次取1,2,3,…时,可列成下表: 在我国,很早 1 就有人研究过二 1→ 1 1 (a+b) 项式系数表,南 1 2 1 (a+b)2→ 宋数学家杨辉在 1 3 3 1 (a+b)3→ 其所著的《详解 1 4 6 4 1 九章算法》中就 (a+b)4→ (a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现. (a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1
……………………

上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)

思考: 观察二项式系数表,寻求其规律: (a+b)1…………… 1 1

(a+b)2……………1

2 1

(a+b)3…………1 3 3 1 3 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6

除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?

10 10 5 1 10 15 20 15 6 1 15

不难发现,表中每行两端都是1,而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两个数的和.事实上,设表中任一 不为1的数为Cn+1r,那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及 Cnr,知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质2. 性质

联系函数

(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
m n 这就是组合数的性质 1: Cn ? Cn ?m

C , C , C ,?, C , , . ?C
0 n 1 n 2 n r n n n

(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k ?1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n? k ?1 n! n ? k ? 1 k ?1 小. C k ? ? ? ? ? Cn n k !? (n ? k )! k (k ? 1)!? (n ? k ? 1)! k r n (4)各二项式系数的和. n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n C0 1 2
m m m 这就是组合数的性质 2: Cn?1 ? Cn ? Cn ?1

可运用函数的观点,结合“杨辉三角”和函数图象, 研究二项式系数的性质. f( r ) 20n展开式的二项式系数是 (a+b)
0 1 2 r Cn , Cn , Cn ,?, Cn, , n . ? Cn

C

r n 可看成是以r为自变量的函数

f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当 n=6时,其图象是右图中的7个孤立 点.

16108642-

. .. .. . .
3

6

9

r

由函数图象也可以很直观地看到 “对称性” 、 “增减性与最大值” 一目了然. ,

继续思考1:

试证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
0 即证:n

C ? C ?? ? C ? C ?? ? 2
2 n
n

证明:在展开式C 0a n
n 0 n

?C a
1 n

1 n?1 n
2 n

1 n

b ? ?? C b
3 n 1 n

3 n

n?1

n n 中 n
n n n

(1 ? 1) ? C ? C ? C ? C ? ?? (?1) C 0 2 3 即0 ? ? C n ? C n ? ?? ? ? C ? C n ? ??

令a=1,b=-1得

? C ? C ? ??? ? C ? C ? ???
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案

启示:在二项式定理中,对a,b赋予一些特定的值, 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。

0 1 2 n 思考2求证: (Cn )2 ? (Cn )2 ? (Cn )2 ? ?? (Cn )2 ? C2nn . 略证:由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,两边展开 后比较xn的系数得:

C C ?C C
0 n n n 1 n

n ?1 n n n

?C C
2 n 0 n

n? 2 n

??

?C

n ?1 n

C ?C C ?C
1 n

n 2n

m n 再由 Cn ? Cn ?m 得

(C ) ? (C ) ? (C ) ? ? ? (C ) ? C .
0 2 n 1 2 n 2 2 n n 2 n n 2n

思考3

2答案

学习小结:

1.当n?10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n?1 C 1.求证: n ? 2Cn ? 3Cn ? ?? ? n ? 1? Cn ? ? n ? 2? ? 2
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C ) ( (A)第六项 (B)第七项 (C)第八项 (D)第九项

作业:课本 P A 组第 8 题,B 组第 2 题 43

类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了,这个表称为杨辉三角。在书中,还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪) 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕 斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

C 思考:求证: ? 2C ? 3C ??? ? n ?1? C ? ? n ? 2? ? 2
0 n 1 n 2 n n n

n?1

证明:∵ 2 ?C ? 2C ? 3C ? ? ? ? n ? 1? C ? ? ?

? C ? 2C ? 3C ? ? ? ? n ? 1? C ?
0 n 1 n 2 n n n 0 n

0 n

1 n

2 n

n n

? n ? 1? C

0 1 2 n ?Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? ? n ?1? Cn ? ? n ?1? ? 2n?1

? ? n ? 2? ? 2

? ? n ? 2? ? (C ? C ? C ??? C )
0 n 1 n 2 n n n n

? nC ? ? 2 ? C
1 n

n ?1 n

?C

n n

倒序相加法

思考3.在(3x -2y)20的展开式中,求:(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 ? r r r ?1 19 ? r r ?1

C 20 ? 3 C ?3
r 20

? 2 ? C 20 ? 3 ?2 ? C
r r ?1 20

?2

20 ? r

?3

21? r

?2

r ?1



3(r+1)>2(20-r) 得

2(21-r)>3r

2 2 7 ?r?8 5 5
8

所以当r=8时,系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20

T ? C ?3 ?2 ? x y



3(r+1)>2(20-r)
2(21-r)>3r
8 20 12 8

得7 2 ? r ? 8 2 5 5
12 8

所以当r=8时,系数绝对值最大的项为

T9 ? C ? 3 ? 2 ? x y
r=5.

(3)因为系数为正的项为奇数项,故可 设第2r-1项系数最大。(以下同2)


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