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反函数教案


反 函 数(第一课时)
-数学组朱海华

教材分析:
函数是中学数学中最重要的基本概念之一,高中对函数内容的学习是初中 函数知识的深化和延伸。 反函数是研究两个函数相互关系的重要内容,反函数的 掌握有助于学生进一步了解函数的概念,得到比较系统的函数知识,并为以后的 深入学习奠定基础。

教学目标:
(1)能正确

认识反函数的本质,能判断简单函数是否存在反函数; (2)体验数学知识的发生和发展的过程。掌握反函数的求法;会求一些简单函 数的反函数; (3)在概念形成过程中,体会数形结合思想,感受从具体到抽象,抽象到具体 的学习方法,培养观察、分析和抽象概括的能力; (4)在师生平等、和谐的交流中,激发学生学习数学的热情;体验数学中相互 联系与相互转化的规律;在建立反函数定义的过程中培养学生思维的严谨 性;体验数学研究的乐趣。

教学重点:反函数的概念的形成及反函数的求法. 教学难点:
(1) 反函数的概念; (2) 原函数与反函数之间的内在联系。

教学过程:
(一)复习回顾 (1)函数的定义:如果在某个变化过程中有两个变量 x 和 y ,并且对于 x 在某个 实数范围 D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的 值和它对应,那么 y 就是 x 的函数,记为 y ? f ? x ?, x ? D .
x

就叫做自变量, x 的取值范围 D 称为函数的定义域,和 x 的值对应的 y 的

值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)函数的三要素:定义域、对应法则、值域。 其中定义域和对应法则是最基本的要素。 (3)已知函数 y ? x ? 为______。 (4)已知要建造一个正方形水池,其边长为 x 米(不超过 6 米) : 将周长 y 表示成边长 x 的函数为_______。 其定义域为______,对应法则为__,值域为_____? 将边长 x 表示成周长 y 的函数为________。 其定义域为______,对应法则为__,值域为_____? (二)新授 1.分析复习中的过程 4 中的两个函数的关系,指出:我们说函数 x ? ( 0 ? y ? 2 4 )是函数 y = 4x( 0 ? x ? 6 )的反函数。 2.定义:一般地,对于函数 y ? f ? x ? ,设它的定义域为 D ,值域为 A ,如果对 A 中任意一个值 y , D 中总有唯一确定的 x 值与它对应, 在 且满足 y ? f ? x ? , 这样得到的 x 关于 y 的函数,叫做 y ? f ? x ? 的反函数, 记作: x ? f
?1

1 x

,则其定义域为___________,对应法则为______,值域

y 4

? y ?, y ?

A.

习惯上,自变量常用 x 表示,而函数用 y 表示,所以改写为 y ? f 2.概念辨析 问题1:函数与其反函数的三要素有着怎样的关系?
y ? f ( x)

?1

? x ?, x ?

A

x ? f

?1

( y)

y ? f

?1

( x)

y ? f ( x)

y ? f

?1

( x)

定义域 值域

D A

A D

问题2:是否所有的函数都存在反函数?一个函数满足了什么条件,它存在反函 数? X与y一一对应 问题 3:下列函数是否存在反函数,为什么? (1) y ? x 2 (2)你能否通过增加条件,使 f ? x ? 反函数存在? 2.习题选讲: 例1.求下列函数的反函数

(1) y ? 3 x ? 1( x ? R ) (2) y ? (3) y ?
x ? 1( x ? R )
3

x ? 1( x ? 0 )

(4) y ? x 2 ? 3 x , ? 2 ? x ? 4 ? 归纳:求解反函数的步骤: 1、从 y ? f ( x ) 中,解得唯一的 x ? f 2、互换 x 与 y ,得 y ? f
?1 ?1

( y) ;

( x) ;

3、由原函数的值域得到反函数的定义域 A, 例 2.已知 f ? x ? ?
2x ? 1 x ?1

,则 f

?1

?5 ? 的值.

(三)课堂小结: 1.反函数的概念; 2.反函数的求法. 小结:求反函数的步骤: (1)把 y = f (x) 看作是关于 x 的方程,解出 x = φ(y); . (2)在 x = φ(y)中交换 x,y 的位置; .

(3)注明反函数的定义域(由原函数的值域确定) 。 . (四)课后作业:练习册4.5A组

教学设计说明:
高中数学新课程理念之一是积极倡导主动、勇于探索的学习方 式,课堂教学的中心是学生的学习活动,数学教学的根本任务是让学 生“数学地”思考.高中数学课程应力求通过不同形式的教学手段, 让学体验合作学习的快乐,在学习过程中培养他们的创新意识,本课 设计的基本理念是充分考虑学生的学习基础和思维发展方向, 力求教 学过程的自然流畅.在教学方法上,以“问题引导,探究交流”为主, 兼容讲解、合作等多种方式,力求灵活运用.在启发式教学的学习环 境下,让学生通过自主学习反函数的概念,调动每一位学生都能积极 主动地参与到数学学习的活动之中。


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