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竞赛补充练习4


七年级数学竞赛补充练习 4
n

an 的个位数

七年级



号 姓名

1. 整数 a 的正整数次幂 a ,它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同. 例如 2002 与 2 的个位数字都是 8. 2. 0,1,5,6,的任何正整数次幂的个位数字都是

它们本身. 例如 5 的个位数是 5,6 的个位数是 6. 3. 2,3,7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表: 指 1 底 2 3 数 7 2 3 7 2 4 9 9 3 8 7 3 4 6 1 1 5 2 3 7 6 4 9 9 7 8 7 3 数 8 6 1 1 9 2 3 7 10 4 9 9 …… …… …… ……
4k+1 7 20 3 3

其规律是:2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环出现,即 2 2
4K+2

与2,

1

与 2 ,2

2

4K+3

与 2 ,2

3

4K+4

与 2 的个位数是相同的(K 是正整数).

4

3 和 7 也有类似的

性质. 4. 4,8,9 的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用 4=2 , 8=2 ,9=3 转化为以 2、3 为底的幂. 5. 综上所述,整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律: a 例1
4K+m 3 2 2

与 a 的个位数相同(k,m 都是正整数. 的个位数是多少? 与3
2003

m

2003

2003

解:2003

2003

的个位数是相同的,

∵2003=4×500+3, ∴3
2003

与 3 的个位数是相同的,都是 7,

3

∴2003 的个位数是 7. 例2 试说明 63
2000

+147

2002

的和能被 10 整除的理由

解:∵2000=4×500,2002=4×500+2 ∴63 ∴63 ∴63 例3 例4
2000

与 3 的个位数相同都是 1,147
2002

4

2002

与 7 的个位数相同都是 9,

2

2000

+147 +147

的和个位数是 0, 的和能被 10 整除.
k k

2000

2002

K 取什么正整数值时,3 +2 是 5 的倍数? 解:列表观察个位数的规律

K= 3 的个位数 2 的个位数 3 +2 的个位数
k k k k

1 3 2 5

2 9 4

3 7 8 5

4 1 6

…… …… …… ……

从表中可知,当 K=1,3 时,3 +2 的个位数是 5, ∵a 与 a
m 4n+m

的个位数相同(m,n 都是正整数,a 是整数)
k k

;∴当 K 为任何奇数时,3 +2 是 5 的倍数. 1.在括号里填写各幂的个位数(K 是正整数) 2 3 7
20

的个位数是 的个位数是

( (

) ) )

4

5

的个位数是( )
7

30

8

的个位数是( )

4K+1

的个位数是 (
9

3 +7

11

的个位数是( )

2 ×3 的个位数是( ) 3
2k-1

16

14

+7

2k-1

的个位数是( )

7 -3
10

2k

2k

的个位数是( )
15 20 25

7

4k-1

-6

4k-3

的个位数是( )

77 ×33 ×22 ×55 的个位数是( 2.目前知道的最大素数是 2
216091



-1,它的个位数是___。

3.说明如下两个数都能被 10 整除的理由。 ① 53 -33
53 33


m

1987

1989

-1993

1991

4.正整数 m 取什么值时,3 +1 是 10 的倍数? 5.设 n 是正整数,试说明 2
4 n

+7 能被 5 整除的理由。

n+2

6.若 a 的个位数是 5,那么整数 a 的个位数是___ 若 a 的个位数是 1,那么整数 a 的个位数是___ 若 a 的个位数是 6,那么整数 a 的个位数是___ 若a
2 2k-1 4 4

的个位数是 7,那么整数 a 的个位数是___
2 2

7. 1 +2 +3 +……+9 的个位数是__, 1 +2 +3 +……+19 的个位数是__, 1 +2 +3 +……+29 的个位数是__. 8.a、b、c 是三个连续正整数,a =14884,c =15376,那么 b 是( (A)15116, (B)15129, (C)15144, (D)15321
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2



参考答案

1.

6,4,9,2,7,4,4,0,0,7,0 要注意 3,7 为底的正奇数次幂的和为 0,正偶 数次幂的差为 0

2.

7
2

3. 算出个位数的差为零

4.

由 3 +1 写出通解 m=2+4k (k 为非负整数)

5.

可用列表观察其规律

n= 2n= 7n+2= 2n+7n+2

1

2

3

4

6.

5;1,3 或 7,9;2,4,6,8;3,7。

7.

5;0;5

8. B


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