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数学奥林匹克问题


48

中 等 数 学

数学奥林匹克问题
≥ ,0 < λ< min 2 ,2 . 则 2 3 α+ 1 2 +λ 1 1 2 ≤α < α + α . 1 +λ λ + 1 λ + 1 2 +λ a b ( 蒋明斌 四川省蓬安中学 ,637800)
α

本 期 问 题

/>初 137 设 E , , , 分别是正方形 F G H
ABCD 四 边 AB , ,CD ,DA 上 的 点 , 且 BC

△AHE , B EF , CFG , DGH 的面积分别 △ △ △ 是 2 , ,, ,其中 t 是一个给定的正实数 . 若 28 t 7
EG , , 三条直线共点 , 求四边形 EFGH FH BD

上期问题解答
初 135 设 ABCD 是单位正方形 , E , 分别是 F 边 CD , 的中点 , A E 交对角线 BD 于点 P , A F 分别 BC 交 BD , E 于点 Q , . B R
(1) 求证 : AB , , 三线共点 ; PR EF (2) 试求四边形 PQRE 的面积 .

的面积 . (吴 伟 朝 广 州 大 学 理 学 院 数 学 系 ,
510405 左怀青 广东省广州市第六中学 , 510000)

初 138 如图 1 ,点
G 是 △ABC 的重心 , 射

解 : (1) 如图 2 ,设 EF 的延长线交 AB 于点 T . 因 为 F 为 BC 的中点 , 所 以 , EF = FT , AB = 2 CE
= 2 B T.

线 AG 交 △ABC 的外接 圆于点 P. 求证 :
AG· ≥ Rr . GP 2

因 为 △PED ∽
图1

其 中 R ,r 分 别 表 示

△PAB ,则
PE DE 1 = = . PA AB 2

△ABC 的外接圆 , 内切圆半径 . (黄 全 福 安 徽 省 怀 宁 县 江 镇 中 学 ,
246142)

因为
=

PE AB TF · · A P B T FE
图2

高 137 试求出同时满足下列条件的集 合 S 的元素个数的最大值 : (1) S 中的每个元素都是不超过 100 的 正整数 ; (2) 对于 S 中的任意两个不同的元素 a ,
b ,都存在 S 中的另外一个元素 c ,使得 a + b

1 × × =1, 2 1 2

所以 ,由塞瓦定理知 A F , E , 三线共点 , 即 B TP 直线 TP 过点 R . 从而 , PR , , 三线共点 . EF AB
(2) 由 (1) 及 EF ‖BD ,且 F 为 TE 的中点可知 ,
Q 为 PB 的中点 .

因为 Rt △BCE ≌ △AB F ,所以 , Rt ∠CB E = ∠BA F , B E ⊥A F. 又
PD DE 1 1 = = ,则 PD = PB = PQ = BQ . PB AB 2 2

与 c 的最大公约数等于 1 ; (3) 对于 S 中的任意两个不同的元素 a ,
b ,都存在 S 中的另外一个元素 c ,使得 a + b

故 S △A PQ =

与 c 的最大公约数大于 1. ( 张延卫 江苏省宿迁市教育局 ,223800) 高 138 a , > 0 , a + b = 1 ,α ∈R ,α 设 b

1 1 1 1 S = × = , 3 △ABD 3 2 6

AR 1 S 四边形 PQRE = S △ARE - S △A PQ = S △A EF · AF 6

= 1 - 2×

2

1 1 4 8

AB AF 1 · AF 6

2

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2004 年第 3 期 = 3 1 × 8 1 1+ 2
2

49
2

-

1 2 = . 6 15

高 135 如图 3 , E 是 △ABC 所在平面上 的一点 , 满足 ∠EBA = ∠ECA , F , 是过点 E J 分别作 ∠BAC 内 , 外角 平分线的垂线的垂足 ,
D 是 BC 的 中 点 . 求

( 吴伟朝 广州大学理学院数学系 ,510405)

初 136 已知集合 M = { A | A 是各位数字互不 相同的十位正整数 ,且 11 111| A }. 求| M| . 解 : 因为 A 的各位数字互不相同 ,所以 ,
A ≡ + 1 + …+ 9 ≡ ( mod 9) ,即 9| A . 0 0

又 11 111| A ,而 (9 ,11 111) = 1 ,故 99 999| A . 设 A = 99 999 A 0 , A 0 ∈Z + .
10 10 因为 10 < A < 10 ,所以 , 5 < A0 < 5 . 10 - 1 10 - 1
9 10 9 10

证 : D , , 三点共线 . F J
1 ∠A . 以 点 A 2

图3

证明 : 延长 EF 交 AB 于点 K ,交 AC 于点 M ,记 α
=

为原点 , ∠A 的 内 角平分线为 x 轴 , 建立如图 4 所示的 直角坐标系 . 因为 外角 平 分 线 与 内 角平分线垂直 , 所 以 , ∠A 的 外 角 平 分线与 y 轴重合 .
图4

又因为
+ 2 ,所以 ,

10 10 10 4 5 5 > 5 = 10 ,10 + 1 < 5 < 10 5 10 - 1 10 10 - 1

9

9

10

10 < A 0 ≤ 5 + 1. 10

4

显然 ,当 A 0 = 105 + 1 或 105 时 ,不合题意 ,故 104
< A 0 < 10 ,即 A 0 为五位数 . 设 A 0 = a0 a1 a2 a3 a4 ,其
5

中 a0 > 0 , ai ∈ ,1 , …,9} , ( i = 0 ,1 ,2 ,3 ,4) ,则 {0
A = A 0 (10 - 1)
5

) 利用比率 ,可设 A (0 ,0) , B ( ccos α, - c sin α , ) C ( bcos α, bsin α , E (1 , - m ) , F (1 ,0) ,
D c+ b

= a0 a1 a2 a3 a4 00000 - a0 a1 a2 a3 a4 .

记 A = c0 c1 c2 c3 c4 c′′′′′ ( c0 ≠ . 0) 0 c 1 c2 c 3 c 4 若 a4 ≠ , 则 c0 = a0 , c1 = a1 , c2 = a2 , c3 = a3 , 0
c4 = a4 - 1 , c′ 9 - a0 , c′ 9 - a1 , c′ 9 - a2 , c′ 0 = 1 = 2 = 3 =

2

cos α,

b- c

2

sin α , J (0 , - m ) ,

) ) K (1 , - tan α , M (1 ,tan α .

9 - a3 , c′ 10 - a4 ; 4 =

因为 AM = A K ,所以 , ∠AMK = ∠A KM . 又 ∠EBA = ∠ECA ,则 △B EK∽ △CEM . 所以 ,
EK B K B Kcos α = = , EM CM CMcos α

若 a4 = 0 , 则 a3 ≠0 ( 否则 A 的数位中有两个
9) . 于是 , c0 = a0 , c1 = a1 , c2 = a2 , c3 = a3 - 1 , c4 = 9 ,
c′ 9 - a0 , c′= 9 - a1 , c′= 9 - a2 , c′= 10 - a3 , 0 = 1 2 3 c′ 0. 4 =

tan α- m 1 - ccos α 即 α = . tan + m 1 - bcos α

所以 , ci + c′= 9 (0 ≤i ≤ ,且 i ∈N) . 4 i 因此 ,{ ( ci , c′ | 0 ≤i ≤ , i ∈N} 4 i )



解得 m =

( c - b) sin α . 2 - ( b + c) cos α

直线 J F 的斜率为 kJ F = m ,
b- c

= { (0 ,9) , ( 1 ,8 ) , ( 2 ,7 ) , ( 3 ,6 ) , ( 4 ,5 ) , ( 9 ,0 ) , (8 ,1) , (7 ,2) , (6 ,3) , (5 ,4) } .

直线 FD 的斜率为 k FD =

2
b+ c

sin α ,

因为 c0 ≠ ,所以 ,满足条件 ① A 的个数为 0 的
5 ! × - 4 ! × = 3 456. 2 2
5 4

2

cos α- 1

所以 , kJ F = k FD . 故 D , , 三点共线 . F J
( 郭要红 安徽师范大学数学系 ,241000)

反之 ,任何满足条件 ① 的数都可表示为 :
c0 c1 c2 c3 c4 00000 + c′′′′′ 0 c1 c2 c3 c4

高 136 如果圆外切凸多边形 A 1 A 2 …A n - 1 A n 的边数 n 是奇数 ,且边长 ai = A iA i + 1 ( i = 1 ,2 , …, n ,
A n + 1 = A 1 ) 都是有理数 , 求证 : 每条边 A iA i + 1 上的切

( 5 = c0 c1 c2 c3 c4 ·10 - 1) + 99 999

必可被 11 111 整除 . 因此 ,| M| = 3 456.
( 江厚利 安徽省安庆市第一中学 ,246004)

点 B i 把 A iA i + 1 分成的两条线段的长 bi = A i B i , ci =
B iA i + 1 ( i = 1 ,2 , …, n) 也都是有理数 . 如果边数 n 是

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2004年 IMO中国国家集训队选拔考试试题
( 2004 - 03 - 31 :00 - 12 :30) 8
设 ∠XOY = 90° P 为 ∠XOY 内的一点 , 且 OP 1. ,
= 1 , ∠XOP = 30°过点 P 任意作一条直线分别交射 ,

(2004 - 04 - 01 :00 - 12 :30) 8
点 D , , 分别在锐角 △ABC 的边 BC , , 4. E F CA
AB 上 ( 均异于端点 ) , 满足 EF ‖BC , D1 是边 BC 上

线 OX , 于点 M , . 求 OM + ON - MN 的最大值 . OY N
( 王建伟 命题) 2. 设 u 为任一给定的正整数 . 证明 : 方程 n ! =
u - u 至多有有限多组正整数解 ( n , a , b) .
a b

一点 ( 异于 B , , ) , 过 D1 作 D1 E1 ‖DE , D1 F1 ‖ D C
DF ,分别交边 AC , 于点 E1 , 1 , 连结 E1 F1 , 再在 AB F BC 上 方 ( 与 A 同 侧 ) 作 △PBC , 使 得 △PBC ∽

△DEF ,连结 PD1 . 求证 : EF , 1 F1 , 1 三线共点 . E PD
(熊 斌 命题) 5. 已知 p1 , p2 , …, p25 为给定的不超过 2 004 的 25 个互不相同的素数 ,求最大的正整数 T ,使得任何

( 余红兵 命题) 3. 设 n1 , n2 , …, nk 是 k ( k ≥ 个正整数 ,且 2) 1 < n1 < n2 < …< nk ,

正整数 a , 满足 b
11
n1

不大于 T 的正整数 , 总可以表成 ( p1 p2 …p25 ) 2 004 的 互不相同的正约数之和 ( 如 1 , p1 ,1 + p2 + p1 p2 + p3 1
1
nk

1-

1
n2

… 111
n2
k

等均是 ( p1 p2 …p25 ) 2 004 的互不相同的正约数之和) .
1
nk - 1



1 a < 1n1 b

… 1-1

( 陈永高 命题) .

π的三角形的三条 6. 设 a , , 是周长不超过 2 b c 边长 . 证明 :sin a , b , c 可构成三角形的三条边 sin sin 长.
( 李伟固 命题)

证明 : n1 n2 …nk ≤(4 a) 2

. ( 余红兵 命题)

偶数 ,结论还成立吗 ? 证明: 如 图
5. 由切线长定理

同理可得 , ci 都是有理数 . 再由 bi = ai - ci 知 ,
bi 都是有理数 .

如果 n 是偶数 ,结论就不一定成立了 . 下面仅举一个 n = 4 的例子加以说明 . 设有一个菱形 , 它的顶角为 2α, 且内切圆半径 为 1. 易算出它的边长为 s = tan α + cot α, 且切点把
图 5

知 ci = bi + 1 , 所 以 , c i = ai + 1 ci + 1 . 从而 , c1 = a2 - c2

边长分成两条线段的长恰好是 tan α和 cot α. 设 s 为 大于 2 的有理数 ,则可求得
tan α=
s+ s - 4
2

= a2 - ( a3 - c3 ) = a2 - a3 + c3 = a2 - a3 + ( a4 - c4 ) = a2 - a3 + a4 - c4 = …= a2 - a3 + a4 - a5 + …+ a1 - c1 .

2

, α= cot

s-

s - 4

2

2

.



s - 4 是无理数 ,则 tan α和 cot α都是无理
2

故 c1 =

1 ( a - a3 + a4 - a5 + …+ a n - 1 - a n + a1 ) , 2 2

) 数 . ( 如 s = 3 ,4 ,5 ,6 ,7 , … ( 田正平 杭州师范学院数学系 ,310036)

即 c1 为有理数 . 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

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