当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> CGMO2015

CGMO2015


2015 中 国 女 子 数 学 奥 林 匹 克
第一天 2015 年 8 月 12 日 上午 8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学
1.如图,在锐角△ABC 中,AB > AC,O 为外心,D 为边 BC 的中点. 以 AD 为直径作圆与边 AB、AC 分别交于点 E、F.过 D 作 DM∥AO 交 EF 于点 M.求 证:EM = MF

. (郑焕供题)
A

E

O M F

B

D

C

2.设 a ? (0,1) ,且

f ( x) ? ax3 ? (1 ? 4a) x 2 ? (5a ? 1) x ? (3 ? 5a), g ( x) ? (1 ? a) x3 ? x 2 ? (2 ? a) x ? (3a ? 1). 求证:对于任意实数 x , f ( x) 和 g ( x) 中都至少有一个不小于 1 ? a . (李胜宏供题)
3. 把 12×12 的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色,使得由方格线围成的任意 一个 3×4 或 4×3 的长方形内都至少有一个黑色单位方格. 试求黑色单位方格个数的最 小值. (梁应德供题) 4.对每个正整数 n ,记 g ( n) 为 n 与 2015 的最大公约数,求满足下列条件的有序 三元数组 (a, b, c) 的个数: 1) a, b, c ?{1, 2,?, 2015} ; 2) g (a), g (b), g (c), g (a ? b), g (b ? c), g (c ? a), g (a ? b ? c) 这 七个 数 两 两 不 同. (王彬供题)

中国女子数学奥林匹克
第二天 2015 年 8 月 13 日 上午 8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学
1

5. 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形, 其面积值是周长值的 999 倍? (全 等的两个三角形看作相同的) (林常供题) 6.如图,两圆 ?1 , ?2 外离,它们的一条外公切线与 ?1 , ?2 分别切于点 A, B ,一条 内公切线与 ?1 , ?2 分别切于点 C , D .设 E 是直线 AC , BD 的交点, F 是 ?1 上一点, 过 F 作 ?1 的切线与线段 EF 的中垂线交于点 M ,过 M 作 MG 切 ?2 于点 G .求证:

MF ? MG . (付云皓供题)
Γ1

F C M G Γ2 E D B A

7.设 x1 , x2 ,?, xn ? (0,1) , n ? 2 .求证:

1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2 n ?1 . (王新茂供题) ? ??? ? x1 x2 xn x1 x2 ? xn
8.给定整数 n ? 2 .黑板上写着 n 个集合,然后进行如下操作:选取黑板上两个 互相不包含的集合 A, B ,擦掉它们,然后写上 A ? B 和 A ? B .这称为一次操作.如 此操作下去, 直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止.对所有的初始状态和操作 方式,求操作次数的最大可能值. (朱华伟供题)

试题解答
1.如图,在锐角△ABC 中,AB > AC,O 为外心,D 为边 BC 的中点.以 AD 为直 径作圆与边 AB、AC 分别交于点 E、F. 过 D 作 DM∥AO 交 EF 于点 M. 求证:EM = MF.
A

N E O M F B D 图1
2

C

证明 如图,连接 DE、DF,过 O 作 ON⊥AB 交 AB 于点 N. 由题意可知,DE⊥ AB,DF⊥AC. 因此,ON∥DE. 又因为 DM∥AO,所以∠EDM =∠AON. 因为 O 为△ABC 外心,所以∠AON = ∠ACB. 从而∠EDM =∠ACB. 同理可得,∠FDM = ∠ABC. 在△EDF 中,有
EM DE ? sin ?EDM DE ? sin ?ACB DB ? sin ?ABC ? sin ?ACB ? ? ? ? 1, MF DF ? sin ?FDM DF ? sin ?ABC DC ? sin ?ACB ? sin ?ABC

即 EM = MF. 2.设 a ? (0,1) ,且

f ( x) ? ax3 ? (1 ? 4a) x 2 ? (5a ? 1) x ? (3 ? 5a), g ( x) ? (1 ? a) x3 ? x 2 ? (2 ? a) x ? (3a ? 1). 求证:对于任意实数 x , f ( x) 和 g( x) 中都至少有一个不小于 1 ? a .

证明 由于 a ? (0,1) , a 与 1 ? a 皆为正数,因此对任意实数 x ,

max ? f ( x) , g ( x) ? ? (1 ? a) ? max ? f ( x) , g ( x) ? ? a ? max ? f ( x) , g ( x) ? ? (1 ? a) f ( x) ? a g ( x) ? (1 ? a) ? f ( x) ? a ? g ( x)



(1 ? a) ? f ( x) ? a ? g ( x) ? [(1 ? a)(1 ? 4a) ? a]x 2 ? [(1 ? a)(5a ? 1) ? a(2 ? a)]x ? [(1 ? a)(3 ? 5a) ? a(3a ? 1)] ? (2a ? 1)2 ? ( x 2 ? x ? 2) ? 1 ? a 1 7 又 x 2 ? x ? 2 ? ( x ? ) 2 ? ? 0 ,故 max ? f ( x) , g ( x) ? ? 1 ? a .问题得证. 2 4
3.把 12× 12 的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色,使得由方格线围成的任何 3× 4 和 4× 3 长方形内都至少有一个黑格.试求黑格个数的最小值. 解 所求黑格个数的最小值 n ? 12 .先证明 n ? 12 .由于 12×12 单位方格纸可划分 12 ?12 ? 12 个(除边界外)互不相交的 3×4 方格长方形.由题设可知这些长方形各 为 3? 4 至少有一个黑色方格,故至少要涂 12 个黑色方格. 要证明 n ? 12 ,只需构作一个可行的例子,见下图.

3

4.对每个正整数 n ,记 g (n) 为 n 与 2015 的最大公约数,求满足下列条件的有序三 元数组 (a, b, c) 的个数: 1) a, b, c ?{1, 2,?, 2015} ; 2) g (a), g (b), g (c), g (a ? b), g (b ? c), g (c ? a), g (a ? b ? c) 这七个数两两不同.

g (n) 是 2015 的约数, 解 分解质因数 2015 ? 5 ?13? 31 ? p1 ? p2 ? p3 . 只有 8 种情况. 我 们把满足 g (n) ? 1 的 n 叫做零型数,把满足 g (n) 取 p1 或 p2 或 p3 的 n 叫做一型数,把满足 g (n) 取 p1 p2 或 p1 p3 或 p2 p3 的 n 叫做二型数.
我们使用下面两个简单的事实: 对任意整数 x , g ( x) ? g (? x) ? g (2015 ? x) ? g (2015 ? x) ,因此本题可以看做在模 2015 意义下讨论,即模 2015 同余的两个数看成相同. | x? y. 对素数 p ,若 p | x , p | y 两者都成立则 p | x ? y ,若恰有一个成立则 p ? 把满足条件三元组 (a, b, c) 对应为七元组 A ? (a, b, c, a ? b, a ? c, b ? c, a ? b ? c) , 我们考 虑 A 的七个位置上的数的 g 值的分布.首先这七个 g 值不能有 2015,否则,若某个位 置上的数 x 是 2015 的倍数,则 A 中存在另外两个位置上的数 y, z 满足 x ? y ? z 或 x ? y? z, 这样就有 g ( y) ? g ( z ) , 矛盾. 所以七个 g 值必须是 1, p1 , p2 , p3 , p1 p2 , p1 p3 , p2 p3 各一个.这样 A 的七个位置必须是 3 个二型数、3 个一型数、一个零型数.我们关心三 个二型数在哪三个位置上. 设 p1 , p2 , p3 是 5,13,31 的 任 意 排 列 , 若 x, y, z 满 足 g ( x) ? p1 p2 , g ( y) ? p1 p3 ,

? | y ? p | ?, x p2 | x y , p2 ? | y ? p2 ? | ?x ? y , g ( z) ? p2 p3 , 则 有 p1 | x, 1 p 1 p3 ? | x, p3 | y ? p3 ? | ? x ? y ,可得 g (? x ? y) ? p1,同理有 g (? x ? z) ? p2 , g (? y ? z) ? p3 , g (? x ? y ? z ) ? 1 .因此当确定 A 中的三个二型数 x, y, z 的位置后,如果其它四个位置可 以分别表示为 x, y, z 的 3 个两两线性组合与 x, y, z 三个数的线性组合(要求线性组合系数 是 ?1 ),我们就可断定 A 中的七个位置的 g 值互不相同,我们把这种可以线性组合成功 表示的三个二型数的一组位置叫做合理位置.在一组合理位置上,当我们确定 x, y, z 的 取值(模 2015 意义下)后, 七元组 A 也被唯一决定了. 在模 2015 意义下, 满足 g (n) ? p1 p2 的 n 恰好有 p3 ?1 个,满足 g (n) ? p1 p3 的 n 恰好有 p2 ?1 个,满足 g (n) ? p2 p3 的 n 恰好有 p1 ? 1 个,此外 x, y, z 的顺序或者说 p1 , p2 , p3 的顺序可以调换,因此每组合理位置下, x, y, z 的取值有 3!? ( p3 ?1)( p2 ?1)( p1 ?1) ? 6 ?1440 ? 8640 种可能,也就恰好对应 8640 个 满足条件的三元组. 我们关心哪组位置可能是合理的.对素数 p ? 5,13,31 ,七元组 A 中恰好有 3 个位置 是 p 的 倍 数 , 若 a ? b, a ? c, b ? c 这 三 个 位 置 至 少 有 两 个 p 的 倍 数 , 不 妨 设 p | a? b , p| ? a c , 则 在 此 前 提 下 p | a ? p |b ? p | c ? p | a ?b?c 并 且 p| ? b ? c | p( ? a ) ?b ( ? a ) ?c ( ? b ) ? c , | p2A ? a | p 3 a个位置是 p 的 这时 中不能恰有

4

倍数.所以 g (a ? b) , g (a ? c) , g (b ? c) 的素因子个数总共不超过 3, a ? b, a ? c, b ? c 这三 个位置上至多有一个二型数,也就是 a, b, c, a ? b ? c 这四个位置上有 2 或 3 个二型数. 若 a, b, c, a ? b ? c 中有三个二型数,二型数的位置有 4 种可能情况: 若 x ? a, y ? b, z ? c 是三个二型数,则 a ? b ? x ? y , a ? c ? x ? z , b ? c ? y ? z 是三个一 型数, a ? b ? c ? x ? y ? z 是零型数,位置合理. 若 x ? a, y ? b, z ? a ? b ? c 是 二 型 数 , 则 a ? b ? x ? y, b ? c ? z ? x, a ? c ? z ? y , c ? ? x ? y ? z ,位置合理.同理其他两种位置也是合理的. 若 a, b, c, a ? b ? c 中恰有两个二型数,我们分两类考虑: 第一类考虑两个二型数都在 a, b, c 中,不妨设 a 和 b 是二型数,则 a ? b 不可能是二 型数, a ? c , b ? c 之一是二型数,不妨设 a ? c 是二型数.这时 x ? a, y ? b, z ? a ? c 是三 个二型数, a ? b ? x ? y, c ? ? x ? z, a ? b ? c ? y ? z , b ? c ? ? x ? y ? z ,位置合理.这一 类由对称性共有 6 种情况是合理位置. 第二类考虑 a ? b ? c 是二型数且 a, b, c 之一是二型数,不妨设 a 和 a ? b ? c 是二型数, 则 b ? c 不可能是二型数, a ? b , a ? c 之一是二型数,不妨设 a ? b 是二型数.这时 x ? a, y ? a ? b ? c, z ? a ? b 是 二 型 数 , 则 b ? c ? ? x ? y, b ? ? x ? z, c ? y ? z , a ? c ? x ? y ? z ,位置合理.这一类由对称性共有 6 种情况是合理位置. 综上,三个二型数的合理位置共有 16 种,(其他不合理位置都不可能使三元组满足 条件).所以满足条件的三元组共有 16 ? 8640 ? 138240 . 5. 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形, 其面积值是周长值的 999 倍? (全 等的两个三角形看作相同的) 解法一 设内切圆半径为 r , S ? 故r ?
1 r ( a ? b ? c ) ? m( a ? b ? c ) . 2

a?b?c ? 2m , c ? a ? b ? 4m .代入 a 2 ? b2 ? c2 得 ab ? 4ma ? 4mb ? 8m2 ? 0 , 2 (a ? 4m)(b ? 4m) ? 8m2 .不同的无序解 (a, b) 给出不同的三角形,故所求三角形个数为 1 1 d (8m 2 ) .本题 m ? 999 , 8m2 ? 23 ? 36 ? 372 , (3 ? 1)(6 ? 1)(2 ? 1) ? 42 . 2 2

解法二 由勾股数公式, a ? k ? 2uv, b ? k (u 2 ? v2 ), c ? k (u 2 ? v2 ) ,其中 k (三边长的最大公因数)为任意正整数, u 与 v 互素, u ? v 且 u 与 v 一奇一偶. 1 ab ? 999 ? (a ? b ? c) ? k 2uv(u 2 ? v 2 ) ? 999 ? 2u (u ? v) 2 ? kv (u ? v ) ? 1998 ? 2 ? 33 ? 37 u ? v 为奇数,因数 2 只能分给 k 或 v ,有两种方式. v 与 u ? v 互素,奇素因子 p? 分给 k , v, u ? v 只能是 (? ,0,0) 或 (i, ? ? i, 0) , (i, 0, ? ? i) ( 1 ? i ? ? ) ,有 2? ? 1 种方式.故由乘 法原理,素因子的分配共有 2 ? (2 ? 3 ? 1)(2 ?1 ? 1) ? 42 种方式,每种分配方式给出唯一的三 角形.因此共有 42 个所求三角形. ?n 评注 一般地,若倍数为 m ? 2? ? p1?1 ? pn ( p1 ,?, pn 为不同的奇素数) ,则所求三 角形个数为 (? ? 2) ? (2?1 ? 1)?(2?n ? 1) .

5

6. 如图,两圆 ?1 , ?2 外离,它们的一条外公切线与 ?1 , ?2 分别切于点 A, B ,一条内 F 是 ?1 上一点, 公切线与 ?1 , ?2 分别切于点 C , D . 设 E 是直线 AC , BD 的交点, 过 F 作 ?1 的切线与线段 EF 的中垂线交于点 M ,过 M 作 MG 切 ?2 于点 G . 求证: MF ? MG .

F Γ1 C M G Γ2

H ,连 HO1 , HO2 . 设 J , K 证法一 设 ?1 , ?2 的圆心分别为 O1 , O2 ,直线 AB, CD 交于点 B

E

D

分别是线段 AB, CD 的中点,连 JE, KE . A 由于 HA, HC 是 ?1 的切线,故 HO1 平分 ?AHC ,且 AC ? HO 1 . 同理, HO2 平分 ?BHD ,且 BD ? HO2 . 由于 HO1 , HO2 分别是 ?AHC 的内角平分线和外角平分线,故它 们互相垂直,结合 AC ? HO1 及 BD ? HO2 知 AC ? BD .
, KE? KC? KD 由于直角三角形斜边中线等于斜边一半,故 JE ? JA ? JB . 考虑 ?1, ?2 及以 E 为圆心, 0 为半径的圆,由 JE ? JA ? JB 知 J 到这三个圆的幂相等,由 KE ? KC ? KD 知 K 到这三个圆的幂也相等. 显然 J , K 是两个不同的点,因此这三个圆 必然有一条公共的根轴 . 由于 M 在 EF 的中垂线上,所以 MF ? ME ,结合 MF 是 ?1 的 切线知 M 在这三个圆的公共根轴上,又 MG 是 ?2 的切线,故 MF ? MG ,证毕.
F Γ1 C M K O1 E D H B G O2 Γ2

J A

证法二 同证法一可得 AC ? BD . 设 ?1 , ?2 的半径分别为 r1 , r2 ,则由勾股定理可知

JO12 ? JE 2 ? r12 ? JA2 ? JE 2 ? r12 , 同 理 有 KO12 ? KE 2 ? r12 , MO12 ? ME 2 ? r12 . 因 此
2 2 2 2 2 2 JK ? O1P , KM ? O1P . 由于过 JO K ? K ? E 1M ? O ,由平方差原理知 ME 1 ? J E? 1 O 平面上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直,所以 J , K , M 三点共线. 2 2 2 2 2 由 于 J O , 理 由 此 可 得 J 2E ? 2 2? r J ? B 2J ? E同 r KO2 ? KE 2 ? r2 , 2 ? 2 2 2 由 平 方 差 原 理 知 JK ? O2 E , 故 J M? 2 ,因此 O E JO2 ? JE 2 ? KO2 ?2KE , 2 2 2 2 ,结合 MO M2 E? 2 J2 O ? J ? E r MO2 ? MG2 ? r22 得 MG ? ME ,故 MG ? MF ,证毕. 2 ? 2 评注 事实上,点 E 在直线 O1O2 上,两个证法均证明了这一点,但这个结论在本题 中作用不大.

7.设 x1 , x2 ,?, xn ? (0,1) , n ? 2 .求证:

6

1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2 n ?1 . ? ??? ? x1 x2 xn x1 x2 ? xn
证法一:对 n 应用数学归纳法.当 n ? 2 时,由 Cauchy 不等式可得
2 1 ? x1 1 ? x2 x2 1 ? x1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 ? x12 1 ? x2 ? x2 1 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

当 n ? 3 时,由归纳假设和 Cauchy 不等式,得 1 ? xn 1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2 n?2 ? ?? ? ? ? x1 x2 xn x1 x2 ? xn ?1 xn

?

2 n ? 2 ? xn ? x1 x2 ? xn ?1 1 ? xn n ? 2 ? ( x1 x2 ? xn ?1 ) 2 1 ? xn ? xn n ?1 ? ? x1 x2 ? xn x1 x2 ? xn x1 x2 ? xn

?1 ?1 证法二:设 A ? x1x2 ? xn ( x1?1 ? x2 ??? xn ) , B ? x1x2 ? xn .两边同乘以 B,只需证



1 ? x1 x2 ? xn ? 1 ? x2 x3 x4 ? xn x1 ? ? ? 1 ? xn x1 x2 ? xn?1 ? n ? 1 .
由 Cauchy 不等式,左边 ? x2 ? xn ? x3 x4 ? xn x1 ? ? ? x1 x2 ? xn?1 ?

(1 ? x1 ) x2 ? xn ? (1 ? x2 ) x3 x4 ? xn x1 ? ? ? (1 ? xn ) x1x2 ? xn?1 ? A( A ? nB) .
故只需证明 A( A ? nB) ? n ? 1 .我们先证明 A ? 1 ? (n ? 1) B .事实上, 1 ? (n ? 1) B ? A ? (1 ? x1 )(1 ? x2 x3 ? xn ) ? x1 (1 ? x2 )(1 ? x3 x4 ? xn ) ?

x1 x2 (1 ? x3 )(1 ? x4 x5 ? xn ) ? ? ? x1 x2 ? xn?2 (1 ? xn?1 )(1 ? xn ) ? 0 (这也可以用调整法或一次函数极值来证明) .故 A( A ? nB) ? ?1 ? (n ? 1) B ??1 ? (n ? 1) B ? nB ? ? ?1 ? (n ? 1) B ? (1 ? B)
? n ? 2 ? ? (n ? 2) 2 ? ? ?(n ? 1) B ? (n ? 2) B ? 1 ? ?(n ? 1) ? B ? ? ? ? ?1 ? 2(n ? 1) ? ? 4(n ? 1) ? ? (n ? 2) 2 ? 1? ? 1 ? (n ? 2) ? n ? 1 4(n ? 1)
2 2

证毕. 8.给定整数 n ? 2 .黑板上写着 n 个集合,然后进行如下操作:选取黑板上两个互 相不包含的集合 A, B ,擦掉它们,然后写上 A ? B 和 A ? B .这称为一次操作.如此操 作下去, 直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止. 对所有的初始状态和操作方式, 求操作次数的最大可能值. n(n ? 1) 2 ? 解 首先我们证明操作次数不可能超过 Cn . 2 当黑板上写着 n 个集合时,考虑成包含关系的集合对的数量,我们证明,每次操作 后, 这个数量至少增加 1. 假设我们将 A, B 变成 A ? B 和 A ? B . 首先 A, B 不是包含关系, 而 A ? B 和 A ? B 是包含关系,故这里至少增加了一对成包含关系的集合对.对于另一 集合 C ,若 C 与 A, B 之一成包含关系,由对称性不妨设 A ? C ,则 A ? B ? C ,即 C 至
7

少与 A ? B 和 A ? B 之一成包含关系;若 C 与 A, B 均成包含关系,则由 A, B 不成包含关 系知或者 A ? C, B ? C ,或者 A ? C, B ? C ,若为前者,则 A ? B ? C, A ? B ? C ,若为 后者,则 A ? B ? C, A ? B ? C .因此,在操作之后,其余成包含关系的集合对的数量不 会减少,因此每次操作后,这个数量至少增加 1 .由于此数量最少为 0 ,最多为 n(n ? 1) n( n ? 1) 2 Cn ? ,故操作至多进行 次. 2 2 n( n ? 1) 另一方面,我们给出操作次数达到 的例子. 2 定义集合 Ai ? {i, i ? 1,..., i ? n ? 2},i ? 1, 2,..., n ,我们证明由 A1 , A2 ,..., An 出发,可以进 n( n ? 1) 行 次操作. 2 2 ? (2 ? 1) ? 1 次操作. 使用数学归纳法,当 n ? 2 时, A1 ? {1}, A2 ? {2} ,可进行 2 若结论对 n 成立,考虑 n ? 1 的情况.先将 A1 ? {1, 2,...,n} 与 A2 ? {2,3,..., n ?1} 进行一 次操作,得到的交集 {2,3,..., n} 留下,并集继续与 A3 ? {3, 4,..., n ? 2} 进行操作,得到的交 集 {3, 4,..., n ? 1} 留下,并集继续与 A4 进行操作,依此类推.进行完 n 次操作后,得到原 来 所 有 集 合 的 并 集 {1, 2,..., 2n} 及 另 外 n 个 集 合 { 2 , 3, . n ..,, } {3, 4,..., n ? 1} , … … , {n ? 1, n ? 2,..., 2n ? 1} .下面仅考虑后 n 个集合之间的操作.由于将所有元素都减 1 并不 改 变 集 合 间 的 关 系 , 故 可 考 虑 集 合 { 1 , 2 ,n .? .., ,1 {2,3,..., } n} , … … , n(n ? 1) 2 ? 而由归纳假设, 这些集合之间可以操作 Cn 次, 故原来的 n ? 1 {n , n? 1 , . . n .?, 2 . 2} 2 n(n ? 1) n(n ? 1) 2 ?n? ? Cn 个集合可以操作 ?1 次,即此结论对 n ? 1 也成立. 2 2 n(n ? 1) 2 ? 综上所述,操作次数的最大可能值为 Cn . 2

8

9


更多相关文档:

CGMO2015_2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

CGMO2015_2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。CGMO2015_2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案(word版) ...

2015第十四届中国女子数学奥林匹克试题

2015第十四届中国女子数学奥林匹克试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015.7.14在深圳落幕的CGMO试题,来自中国数学奥林匹克委员会发布的纪念册。...

2014年中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题及其解答(扫描版)

2014年中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题及其解答(扫描版)_学科竞赛_初中教育_教育专区。中国女子数学奥林匹克今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...

奥林匹克

中国首届女子数学奥林匹克(CGMO)试题第一天 2002.8.16 (8:00~12:00) 1. ...文档贡献者 bddrm6 贡献于2015-10-11 专题推荐 2014下半年教师资格......

宜立特第二册答案

IBEJLFCGMO Passage 5 CBHCBDFIEA Unit 3 Passage 1 Ⅰ.CBAD Ⅱ.1.there ...2015 2. 1billion a year Passage 2 Ⅰ.FFTF Ⅱ.1.discover new ...
更多相关标签:
cgmoxingwang | vs2015 | visual studio 2015 | 房贷计算器2015 | 酷狗2015官方免费下载 | 学校2015 | 汽车用品lj2015 | suv2015销量排行榜 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com