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新课标高三数学总复习课本重难考点大全(第二章:函数、导数及其应用)


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第二章:函数、导数及其应用
Ⅰ 函数及其表示 (一) 函数的概念: (了解) 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使得对于集合 A 中的任意一 个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与它对应,那么就称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作: y=f

(x),x∈A,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域; 2、 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域; 3、 定义域和对应关系为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应关系相同时,这两个函数才是同 一函数; 4、 区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间; 5、 函数的常用表示方法:解析法、列表法、图像法; 6、 若函数的定义域被分成了若干子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数就称为分段函数; (二) 映射的概念(熟记,易考) 1、 一般地,设 A、B 为两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使得 集合 A 中 的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射,记作:f: A ? B ; 2、 集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,则从集合 A 到集合 B 的映射有 n m 个; 3、 若 y=f(u),u=g(x),x∈(a,b) ,u∈(m,n)那么 f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是 g(x) 的值域; (三) 求函数定义域的基本依据(熟记,易考) 1、 分式的分母不等于零; 2、 偶次方根的被开方数不小于零; 3、 对数式的真数必须大于零; 4、 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 5、 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值 组成的集合. 6、 指数为零的指数式子,底不可以等于零; 7、 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 8、 y ? 0 x 的定义域为 x>0;

(四) 常用函数的值域(熟记,易考内容) 1、 一次函数 y ? kx ? b ( k ? 0) 值域为 R; 2、 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) ,
4ac ? b 4a
2

a>0 时,值域为 [ 3、 反比例函数 y ?

, ? ? ) ;a<0 时,值域为 ( ? ? ,

4ac ? b 4a

2

]

k x

( k ? 0 ) ,值域为{y|y∈R 且 y≠0};

4、 指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) ,值域为{y|y>0};
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5、 对数函数 y ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1) ,值域为 R; 6、 正余弦函数的值域为[-1,1]; 7、 正切函数 y=tanx,值域为 R; 8、 双钩函数 y ? x ?
ax ? b cx ? d a x ( a ? 0 ) ,值域为 - ? , ? 2 (

a ] ? [2 a , ? ? ) ;
a c

9、 函数 y ?

( c ? 0 ) 的值域和定义域具有一一对应的关系,其值域为{y|y∈R 且 y≠

}

10、函数 y ?

x 值 域 为{ y ? 0} ;

(五) 求函数解析式及值域的基本方法(参见专题讲解) (理解) 1、求函数解析式: (出现概率极大,容易出现在大题的第一问及填空) 1)待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。如已知 f(f(x))=...,其中 f(x)是一次函数或二次函数或 者其他函数,可以相应地设 f ( x ) ? ax ? b 或 f ( x ) ? a x 2 ? b x ? c 等,将其带入求出含有字母的表达式,最后再依 次比较已知式子和含有字母式子的系数,令各对应项的系数相等,建立方程组来求解未知数即可。 如设 f ( x ) 是一次函数,且 f [ f ( x )] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x ) 2)配凑法:已知复合函数 f [ g ( x )] 的表达式,求 f ( x ) 的解析式, f [ g ( x )] 的表达式容易配成 g ( x ) 的运算形式时, 常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x ) 的值域。 如已知 f ( x ?
1 x ) ? x
2

?

1 x
2

( x ? 0 ) ,求 f ( x ) 的解析式

3)换元法:已知复合函数 f [ g ( x )] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x ) 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元 的定义域的变化; 如已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 。 4)代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,用代入法;先根据对称关系求出相应的点然后代入; 已知:函数 y ? x 2 ? x 与 y ? g ( x ) 的图象关于点 ( ? 2 , 3 ) 对称,求 g ( x ) 的解析式 5)构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函 数解析式。一般形式为已知 a f ( x ) ? b f ( ) ? ...或 a f ( x ) ? b ( f ( ? x ) ? ... 等形式,用 x 去替换
x 1 1 1 x

或 ? x ,组成方程组求

解 f(x);如设 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x , 求 f ( x )
x

6)赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题 具体化、简单化,从而求得解析式。 如已知: f ( 0 ) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y ( 2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x ) ; 7)递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运 算 求 得 函 数 解 析 式 。 如 设 f ( x ) 是 定 义 在 N ? 上 的 函 数 , 满 足 f (1) ? 1 , 对 任 意 的 自 然 数 a , b
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都有

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f ( a ) ? f ( b ) ? f ( a ? b ) ? ab ,求 f ( x )

2、求函数值域(每年必考,各种题型都可能出现) 1)直接观察法:牢记常见函数的值域。 2)配方法:主要应用于二次函数; 3)判别式法:主要应用于可化为关于 x 的一元二次方程的函数,方法是令判别式大于等于 0,解不等式求得 y 的范 围,最后根据实际情况对 y 进行进一步约束求得最终值域; 4)反函数法:直接求原函数的值域较为困难的时候,可以考虑求反函数的定义域。主要依据是:原函数的值域就 是反函数的定义域。原函数的定义域就是反函数的值域。 5)函数有界性法:直接求值域较为困难的时候,可以将函数解析式进行变形,变成等式的一边为一个有界函数, 等式另一边为关于 y 的式子, 利用有界函数的值域令关于 y 的式子也在这个值域的范围内通过求解不等式得出 y 的 范 围 。 我 们 所 学 的 函 数 中 主 要 的 有 界 函 数 有 :
y?s i x n ? y 、? , [ y 1? , 、x 1 ]? y
x

? c

o y? s

a, 、 ? a [

1a , ?

1? y ] 、

?

? ( y 等; ? 0

x,

y?

6)函数单调性法; 7)利用导数的性质; (重点掌握,容易在大题中出现) 8)换元法:通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 9)数形结合法:其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运 用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 10)利用基本不等式法: 常用的基本不等式如下: (易考内容) A、 a ? b ? 2 ab ( a ? 0, b ? 0) (ab 乘积为常数时使用) a 2 ? b 2 ? 2 ab ( a , b ? R ) (ab 乘积为常数时使用) ; ;
ab ? ( a?b 2 a?b?c 3 ) ( a ? 0 , b ? 0 ) (a+b 为常数时使用)
2

B、 a ? b ? c ? 3 3 abc ( a , b , c ? R ) (abc 乘积为常数时使用)可变形为 a b c ? (

) (a+b+c 为常数时使用)

3

C、 (

a?b 2

) ?
2

a ?b
2

2

( a , b ? R ) (a+b 为常数时使用) ;

2

D、两个重要结论: (易考结论,易出现在选择填空) a、两个数和一定,积有最大值;若 x ? y ? s 和为定值,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值
s
2



4

b、两个数积为定值,则和有最小值;若 xy ? p ( p ? 0) 积为定值,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2

p ;

Ⅱ 函数的基本性质(必考内容,常奇偶性、对称性、周期性结合考查,选择填空大题皆可涉及) (一) 函数的单调性(熟记) 1、 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则称函数是区间 I 上的单调递增函数,反之为单调递减函数,该区间 I 就叫做函数的单调递增 区间或单调递减区间;
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2、设函数 y=f(x) 的定义域为 A,如果存在定值 x0∈A 使得对于任意的 x∈A 都有
f ( x ) ? f ( x 0 ) 恒 成 立 ,那么称 f(x0)为函数的最大值,反之为最小值;

3、利用单调性定义判断函数 f(x)在给定区间 D 上的单调性的步骤为: 1) 取 x1,x2∈D,令 x2>x1; 2) 作差: f(x2)-f(x1); 3) 变形(通常是进行因式分解) ; 4) 定号(即判断 f(x2)-f(x1)的正负) (该步骤是许多同学无法逾越的障碍,必须熟记) 对于不能符号不唯一的因式,我们的处理办法是:令 x1=x2=m,并令该因式=0,解方程求出 m 的值,用 m 的 值将区间分成几段来进行讨论,对于不便直接看出正负关系的可在分段后的区间内取特殊值代入判断; 5) 下结论(指出函数的单调性) 。 4、 判断函数单调性的常用方法: 1) 利用单调性的定义; 2) 具有单调性的函数的运算关系: 增+增=增;减+减=减;增-减=增;减-增=减; 3) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性; 4) 奇函数在对称的两个区间内具有相同的单调性; 偶函数在对称的两个区间内具有相反的单调性; 5) 利用导数:在某区间内 f’(x)>0 恒成立,在该区间内函数为增函数;反之为减函数。 5、复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. (二) 函数的奇偶性(熟记) 1、偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 2、奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)叫做奇函数. 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 这两个条件是函数具有奇偶性的充要条件。 4、利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1)首先看函数定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. 2)若对称:再根据定义: f(-x)-f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=1,函数为偶函数; f(-x)+f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=-1,函数为奇函数; 5、 熟记以下性质可以给解题带来极大的方便: 1) 设 f(x) 、g(x)的定义域分别为 D1、D2,那么在他们的公共定义域上,有下列关系式成立: 奇+奇=奇;奇*奇=偶;偶+偶=偶;偶*偶=偶;奇*偶=奇数;奇+偶=非奇非偶; 2) 任意一个定义域关于原点对称的函数 f(x)均可以写成一个奇函数 g(x)与一个偶函数 h(x)和的形式, 即:
f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ), 其 中 g ( x ) = f ( x) ? f (? x) 2 ( 奇 )h ( x ) ? , f ( x) ? f (? x) (偶) 2

3)如果 f(x)为奇函数,假如 f(x)在其定义域内存在最大值 M,那么必然存在最小值 m=-M,即最大值与最小值之
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和互为相反数,和为 0;2012 年高考第 16 题作为难题考查 如果 f(x)为偶函数,假如 f(x)在定义域内存在最大值和最小值,那么最大值和最小值点至少有两个; (三) 函数的周期性(熟记,易结合三角函数考查) 1、对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把 函数 y=f(x)叫做周期函数,T 叫做函数的周期. 2、如果 T 为函数的一个周期,那么 T 的整数倍 nT 也是函数的周期;如果在所有的周期中存在着一个最小的正数, 就把这个最小的正数叫做最小正周期. 3、注意: 1)周期函数不一定有最小正周期;
对 于 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ), 除 f ( x ? T ) ? f ( x ) 外 ,

2)

f ( x ? T ) ? ? f ( x ), 1 f (x)

f (x ? T ) ?

1 f (x)

f (x ? T ) ? ?

...( T ? 0 ) 等 关 系 , 也 是 周 期 性 的

主 要 特 征 , 且 2 T 是 f ( x )的 一 个 周 期 .

4、若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f (? T )(? ? 0) 是周期函数,且周期为

T |? |



(四) 函数的对称性(熟记) 1、一个函数自身的对称性(掌握,易出选择题) 1)①函数关于 x 轴对称,若点(x,y)在图像上,则点(x,-y)也在图像上,根据函数定义我们知道这样的情况是 不存在的,任何一个函数图像都不可能关于 x 轴对称,因为一个自变量只能对应一个函数值; ②函数关于 y 轴对称,若点(x,y)在图像上,则点(-x,y)也在图像上,偶函数关于 y 轴对称; ③函数关于原点(0,0)对称,若点(x,y)在图像上,则点(-x,-y)也在图像上,奇函数关于原点对称; ④函数关于 y=x 对称,若点(x,y)在图像上,则点(y,x)也在图像上。 2)拓展: (理解记忆,易考考点,常选择填空) ①函数 y ? f ( x ) 关于 x ? a 对称必有:
f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) 或 f (? x) ? f (2a ? x)

思考如何证明? 若 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ,则函数 y ? f ( x ) 关于直线 x ?
( a ? x ) ? (b ? x ) 2 ? a?b 2

对称

②函数 y ? f ( x ) 关于点 ( a , b ) 对称必有:
f (a ? x ) ? f (a ? x ) ? 2b 或 f (2 a ? x ) ? f (? x ) ? 2b 或 f (2 a ? x ) ? f ( x ) ? 2b

思考如何证明? 若 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ? c ,则函数 y ? f ( x ) 关于点 (
a ?b c , ) 对称; 2 2

③函数 y ? f ( x ) 不可能关于直线 y ? b 对称:

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假设函数关于 y ? b 对称,即关于任一个 x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身 不可能关于 y ? b 对称。但在曲线 c(x,y)=0,则有可能会出现关于 y ? b 对称; 2、 两个函数间的对称性(理解记忆) (易考考点,一般选择填空) 1) y ? f ( x ) 与 y ? ? f ( x ) 关于 X 轴对称。 换种说法: y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 若满足 f ( x ) ? ? g ( x ) ,即它们关于 y ? 0 对称。 2) y ? f ( x ) 与 y ? f ( ? x ) 关于 Y 轴对称。 换种说法: y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 若满足 f ( x ) ? g ( ? x ) ,即它们关于 x ? 0 对称。 3) y ? f ( x ) 与 y ? f ( 2 a ? x ) 关于直线 x ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 若满足 f ( x ) ? g ( 2 a ? x ) ,即它们关于 x ? a 对称。 4) y ? f ( x ) 与 y ? 2 a ? f ( x ) 关于直线 y ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 若满足 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 a ,即它们关于 y ? a 对称; 5) y ? f ( x )与 y ? 2 b ? f ( 2 a ? x ) 关于点(a,b)对称。 换种说法: y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 若满足 f ( x ) ? g ( 2 a ? x ) ? 2 b ,即它们关于点(a,b)对称。 6) y ? f ( a ? x ) 与 y ? ( x ? b ) 关于直线 x ? 思考以上结论如何证明?
a ?b 2

对称。

(五)函数奇偶性、周期性、对称性三者间的重要结论: (思考如何证明??) (熟记,了解推导过程,易出选择填空) 1、 若函数 y=f(x)既关于直线 x=a 对称,又关于直线 x=b 对称,那么函数 y=f(x)是周期函数,周期为 2|a-b|; 2、 若函数 y=f(x)既关于直线 x=a 对称,又关于点 A(b,c)对称,那么函数 y=f(x)是 周期函数,周期为 4|a-b|; (六)反函数的求法及其性质(熟记) 1、求函数反函数的步骤: 1)求原函数的值域; 2)反解 x; 3)x 与 y 互换; 4)写出反函数 f
?1

( x ) 及它的定义域;

2、反函数的性质: (熟记) 1)函数 y=f(x)的图象和它的反函数 y=f -1(x)的图象关于直线 y=x 对称; 2)互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性。 3)如果两个函数的图像关于直线 y=x 对称,那么这两个函数互为反函数. 4)如果一个函数的图像关于直线 y=x 对称,那么这个函数的反函数就是它本身.反之也成立。 5)点 P(a,b)关于直线 y=x 对称的点是 P1(b,a) 6) f
?1

( a ) ? b ? f (b ) ? a
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7) f [f(x)]=x; 8) 证明 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,只需证得 y=f(x)反函数和 y=f(x)相同;

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(七)函数的图像变换(必考考点,选择填空或大题中的中间步骤) 1、对称变换(几种常用对应点的对称变换) (理解记忆) 1)关于 x 轴对称: ( x , y ) ? ( x , ? y ) 2)关于 y 轴对称: ( x , y ) ? ( ? x , y ) 3)关于原点对称: ( x , y ) ? ( ? x , ? y ) 4)关于 y ? x 对称: ( x , y ) ? ( y , x ) 5)关于 y ? ? x 对称: ( x , y ) ? ( ? y , ? x ) 6)关于直线 x ? a 对称: ( x , y ) ? (2 a ? x , y ) (轴对称) 7)关于 y ? x ? b 对称: ( x , y ) ? ( y ? b , x ? b ) 8)关于 y ? ? x ? b 对称: ( x , y ) ? ( b ? y , ? x ? b ) 9)关于点 P ( a , b ) 对称: ( x , y ) ? (2 a ? x , 2 b ? y ) (点对称) 2、对折变换(结合图像理解记忆) ①关于形如 y ? f ( x ) 的图像画法: 当 x ? 0 时, y ? f ( x ) ;当 x ? 0 时, y ? f ( ? x )
y ? f ( x ) 为偶函数,关于 y 轴对称,即把 x ? 0 时 y ? f ( x ) 的图像画出,然后 x ? 0 时的图像与 x ? 0 的图像关于
y 轴对称即可得到所求图像.

②关于形如 y ? f ( x ) 的图像画法 当 f ( x ) ? 0 时, y ? f ( x ) ;当 f ( x ) ? 0 时, y ? ? f ( x ) 先画出 y ? f ( x ) 的全部图像,然后把 y ? f ( x ) 的图像 x 轴下方全部关于 x 轴翻折上去,原 x 轴上方的图像保 持不变, x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像. 3、平移及伸缩变换(结合图像理解记忆) ①水平平移 把 函 数 y ? f ( x ) 的 全 部图 像 沿 x 轴方 向 向左 ( a ? 0 ) 或 向 右( a ? 0 ) 平 移 a 个 单 位 即 可 得到函 数
y ? f ( x ? a ) 的图像
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②垂直平移 把 函数 y ? f ( x ) 的 全部 图像沿 y 轴 方 向向 上( a ? 0 ) 或向下 ( a ? 0 ) 平移 a 个 单位 即可得 到函 数
y ? f ( x ) ? a 的图像

③伸缩变换 Ⅰ.将函数 y ? f ( x ) 的全部图像中的每一点横坐标不变, 纵坐标伸长 ( a ? 1) 或缩短 (0 ? a ? 1) 为原来的 a 倍得到函 数 y ? af ( x )( a ? 0) 的图像. Ⅱ. 将函数 y ? f ( x ) 的全部图像中的每一点纵坐标不变,横坐标伸长 ( a ? 1) 或缩短 (0 ? a ? 1) 为原来的 函数 y ? f ( ax )( a ? 0) 的图像. 4、三角函数 y
? A sin( ? x ? ? ), x ? R
y ? s i nx , x ? R

1 a

倍得到

的图像变换(结合图像理解记忆,考选择题的概率极大)
所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长1) 或 缩 短 ? A ? 1) 到 原 来 的 倍 (A ? (0 A

(1)振幅变换 (2)周期变换 (3)相位变换 (4)复合变换

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 所 有 点 的 横 坐 标 缩?短 1) 或 伸 长 ? ? ? 1) 到 原 来 的 倍 ( ? (0

y ? A s i nx , x ? R

y ? s i nx , x ? R y ? s i nx , x ? R y ? s i nx , x ? R

y ? s i n? x , x ? R y ? s i n x ? ? ), x ? R ( y ? s i n x ? ? ), x ? R (

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
所有点的横坐标缩短 ( ? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的 1
所有点向左 ( ? ? 0) 或向右 ( ? ? 0) 平移 |? |个 单 位 长 度

所有点向左

( ? ? 0) 或向右 ( ? ? 0) 平移 |? |个 单 位 长 度

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Ⅲ 初等函数的图像及性质 一、指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) (结合图像理解记忆) 1、指数函数的图象和性质
y ? a
x

?



y ? sin( ? x ? ? ), x ? R

所有点的纵坐标伸长

(A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍

y ? A sin( ? x ? ? ), x ? R

0 < a < 1

a > 1





定义域 性 质 定点 值域

R
(0 , +∞) 过定点(0,1) ,即 x = 0 时,y = 1 (1)a > 1,当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1。
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单调性 对称性

在 R 上是减函数
y ? a 和y ? a
x ?x

在 R 上是增函数 关于 y 轴对称

2、第一象限:底数越大,图像越高? 二、对数函数 y ? log a x ( a>0 且 a≠1) (结合图像理解记忆)

1、对数函数的图象和性质
y ? log
a

x

0 < a < 1

a > 1

图 象 定义域 值域 性 质 (0 , +∞)

R (1)过定点(1,0) ,即 x = 1 时,y = 0 (2)在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 (3)同正异负,即 0 < a < 1 , 0 < x < 1 或 a > 1 , x > 1 时,log a x > 0;0 < a < 1 , x > 1 或 a > 1 , 0 < x < 1 时,log a x < 0。

2、当 a>1 时,a 越大,图像越靠近 x 轴; 当 0<a<1 时,a 越大,图像越远离 x 轴。 三、幂函数 y ? x a (结合图像理解记忆) 1、所有的幂函数图象都过点(1,1) 。除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四 象限. ;注:当α >0 时过定点(0,0)和(1,1) ;当α <0 时过定点(1,1) 2、α >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 3、α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 4、任何两个幂函数最多有三个公共点 5、图像性质:

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在第一象限幂函数图像表现为: α >0 时,α 越大,图像越陡; α <0 时,α 越大,图像越靠近 y 轴远离 x 轴。

四、三角函数:正弦、余弦、正切函数图象和性质(结合图像理解记忆)
函 数 正弦函数 y ? sin x , x ? R 余弦函数 y ? cos x , x ? R

正切函数 y ? ta n x , x ? k ? ?

?
2

图 象

定 义 域 值
[ ? 1,1] [ ? 1,1] ( ?? , ?? ) ( ?? , ?? )

? ? ? ,k ? Z ? ? x | x ? k? ? 2 ? ?
( ?? , ?? )

把生活变成梦想,把梦想变成现实! Where there is a will,there is a way!

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新课标高三数学总复习课本重难考点大全 域 当x ?
x ? ?

?
2

? 2 k ? ( k ? Z ) 时, y max ? 1 ? 2 k ? ( k ? Z ) 时, y min ? ? 1

当 x ? 2 k ? ( k ? Z ) 时, y max ? 1 当
x ? ? ? 2 k? (k ? Z )

?
2





y min ? ? 1

周 期 性 奇 偶 性 在[? 单 调 性
?
2 ? 2 k? ,

T ??
是周期函数,最小正周期 T ? 2 ? 奇函数,图象关于原点对称 是周期函数,最小正周期 T ? 2 ? 偶函数,图象关于 y 轴对称 奇函数,图象关于原点对称

?
2

? 2 k ? ], ( k ? Z )

在 [? ? 2 k ? , 2? ? 2 k ? ], ( k ? Z ) 上 是单调增函数 在 [ 2 k ? , ? ? 2 k ? ], ( k ? Z ) 上 是 单 调减函数

在 (?

?
2

? k? ,

?
2

? k ? ), ( k ? Z )

上是单调增函数 在 [
?
2 ? 2 k? , 3? 2 ? 2 k ? ], ( k ? Z ) 上

上是单调增函数

是单调减函数 对 称 轴 对 称 中 心
( k ? ,0 ) ( k ? Z )
(k? ? x ? k? ?

?
2

, (k ? Z )

x ? k? , (k ? Z )

?
2

(
,0 ) ( k ? Z )

k? 2

, 0)

(k ? Z )

Ⅳ 三个“二次”之间的关系(二次函数,一元二次方程,一元二次不等式) 1、三个二次之间的联系(理解) 二次函数 判别式 ? 的情况
y ? ax ? bx ? c ( a ? 0)
2

一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0
2

一元二次不等式
ax ? bx ? c ? 0
2

一元二次不等式
ax ? bx ? c ? 0
2

? ? b ? 4 ac
2

x1 ?

?b ? 2a
?b ? 2a

?

图 像 与 解

? >0
x2 ?

?

不等式解集为: 大大,小小取并集 不等式解集为:
x ? ? b 2a

不等式解集为: 大小小大取交集

? =0

x1 ? x 2 ? x 0 ? ?

b 2a

不等式解集为: 无解

? <0

方程无解

不等式解集为: R

不等式解集为: 无解

2、一元二次方程根的分布条件(理解掌握)
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一元二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件 (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;
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(2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于

? ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 , ? b ? r? ?? ? r, ? 2a ?a ? f (r) ? 0 ?

(3)二次方程 f(x)=0

? ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 , ? ? p ? ? b ? q, ? 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ? a ? f ( q ) ? 0, ? ? a ? f ( p ) ? 0; ?

(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内 成立
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(5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ?

?a ? f ( p) ? 0 ?a ? f (q) ? 0

3、二次函数的极值探讨(掌握,常出现在应用题) (1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c; y=a(x-x1)(x-x2); (2)当 a>0,求 f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m。
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y=a(x-x0)2+n

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对称轴 x=-

b 2a

,顶点纵坐标为

4ac ? b 4a

2

情况 1:对称轴在区间[p,q]左侧之外时,即 x=最大值 M=f(q) ,最小值 m=f(p) ; 情况 2:对称轴在区间[p,q]右侧之外时,及 x=最大值 M=f(p) ,最小值 m=f(q) ; 情况 3:对称轴在区间[p,q]之间时,即 p≤x=-

b 2a

≤p,此时在[p,q]上函数单调递增:

b 2a

≥q,此时在[p,q]上函数单调递减:

b 2a

≤q,此时函数在[p,q]上无单调性:
4ac ? b 4a
2

最大值 M 为 f(p)和 f(q)之间的较大者,最小值 m=顶点纵坐标= (注意:如何确认 f(p)和 f(q)的大小???) a<0 时的情况和上面类似。 4、一元二次不等式转化策略(掌握,常在大题中考查一问) (1)二次不等式 f(x)=ax2+bx+c≤0 的解集是 (2)当 a>0 时,f(α )<f(β ) ? |α + 当 a<0 时,f(α )<f(β ) ? |α +
b 2a b 2a
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(-∞,α ] )∪[β ,+∞ ) ? a<0 且 f(α )=f(β )=0;
b 2a

|<|β +
b 2a

|,

|>|β +

|;

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b ? ? p, ?? 在[p,q]恒成立 ? ? 2 a ? f ( p ) ? 0, ?

(3)当 a>0 时,二次不等式 f(x)>0

b ? p ? ? ? q, ? ? 2a 或? 或 ? f ( ? b ) ? 0, ? 2a ?

b ? ? p; ?? ? 2a ? f ( q ) ? 0; ?

(4)f(x)>0 恒成立 ? ?

? a ? 0,

? a ? b ? 0, 或? f ( x ) ? 0 恒成立 ? ? ? 0, ? c ? 0;

? a ? 0, ?a ? b ? 0 ? ? 或? ? ? ? 0, ? c ? 0.

Ⅴ 含指数式、对数式方程及不等式的转化(理解掌握,易出现在选择题和填空) 查阅课本复习指数、对数的运算规律及相关公式。 1、 指数方程的基本类型 (1) a x ? c ( a ? 0, a ? 1, c ? 0) ,其解为 x ? lo g a c ; (2) a f ( x ) ? a g ( x ) ( a ? 0, a ? 1) ,转化为方程 f(x)=g(x)求解; (3) a f ( x ) ? b g ( x ) ( a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1) ,左右取对数转化为 f ( x ) lg a ? g ( x ) lg b 求解; (4) F ( a x ) ? 0( a ? 0, a ? 1) ,用还原法先求方程 F(y)=0 的解,再解指数方程 a x ? y ; 2、指数型不等式的基本类型 (1) a f ( x ) ? a g ( x ) ? 当 0 ? a ? 1时 , f ( x ) ? g ( x ); 当 a ? 1时 , f ( x ) ? g ( x ); (2) a f ( x ) ? b ( b ? 0) ? 当 0 ? a ? 1时 , f ( x ) ? log a b ; 当 a ? 1时 , f ( x ) ? log a b ; (3) a 2 x ? ba x ? c ? 0( ? 0) 的形式,可以令 t= a x 转化为一元二次不等式来求解; 3、含有对数式的方程 (1) log a x ? b ( a ? 0, a ? 1), 其 解 为 x=a b ;
? f (x) ? g (x) ? 求解 ; f ( x ) ? log a g ( x )( a ? 0, a ? 1), 转化为: ? f ( x ) ? 0 ? g (x) ? 0 ?

(2) log a

(3) F (log a x ) ? 0( a ? 0, a ? 1) ,用还原法先求方程 F(y)=0 的解,再解对数方程 log a x ? y 。 4、含有对数式不等式的基本类型 (1) log a f ( x ) ? log a g ( x ) ? 当 0 ? a ? 1,0<f(x)<g(x); 当 a>1, f ( x)>g(x)>0; (2) log a f ( x ) ? b ? 当 0 ? a ? 1,f(x)<a b ; 当 a ? 1, f ( x)>a b ; Ⅵ 函数的应用(理解掌握) 一、函数与方程 (一)零点的意义及其判定(理解) 1、函数零点的定义:对于函数 y=f(x)(x∈D),我们把使得 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点。
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即函数 y=f(x)(x∈D)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也是函数 y=f(x)(x∈D)的图像与 x 轴交点的横坐标; 2、方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y=f(x)(x∈D)与 x 轴有交点 ? 函数 y=f(x)(x∈D)有零点; 3、函数零点存在定理: (易考考点) 一般地,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0,这个 c 就是 f(x)=0 的根,这一结论称为零点 存在定理; 4、二次函数的零点:由判别式决定,△>0,两个零点;△=0,一个零点;△<0 无零点; (二)二分法及其基本步骤(理解掌握) 1、 二分法的定义: 对于在区间[a,b]上连续不断的一条曲线, f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x), 且 通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在区间一分为二,使得区间的两个端点逐渐逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫二分法; 2、对于给定精度 ? ,用二分法求函数 y=f(x)的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度 ? ; (2)求区间的中点 c; (3)计算 f(c) : 1)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; 2)若 f(a)f(c)<0,则令 b=c,此时零点 x0∈(a,c); 3) 若 f(c)f(b)<0,则令 a=c,此时零点 x0 ∈(c,b); (4)判断是否达到精确度 ? ,即若|a-b|< ? ,则得到零点近似值 a 或 b,否则重复(2)~(4); 二、函数模型及其应用(必考应用题,可结合统计和概率考) 1、几类基本函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式
y ? ax ? b ( a , b为 常 数 , a ? 0)
y ? ax ? bx ? c ( a , b , c为 常 数 , a ? 0)
2

y ? a ( a 为 常 数 , a ? 0, a ? 1)
x

y ? log a x ( a 为 常 数 , a ? 0, a ? 1) y ? x ( a为 常 数 )
a

2、 重要结论: (理解掌握,容易在选择题中出比较大小的题目) 1) 一般地,对于指数函数 y ? a x ( a ? 1) 和幂函数 y ? x n ( n ? 0) ,通过探索可以发现: 在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内, a x 会小 x n ,但由于 a x 的增长快于 x n 的 增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 a x > x n ; 2) 一般地,对于指数函数 y ? log a x ( a ? 1) 和幂函数 y ? x n ( n ? 0) ,通过探索可以发现: 在区间(0,+∞)上,随着 x 的增大, log a x 增大得越来越慢,图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样。尽管在 x 的一定范围内, log a x 可能会小 x n ,但由于 log a x 的增长慢于 x n 的增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0
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时,就会有 log a x < x n . 3) 综上可知: ① 在区间(0,+∞)上, y ? a x ( a ? 1) 、 y ? x n ( n ? 0) 、 y ? log a x ( a ? 1) 都是增函数; ② 随着 x 的增大, y ? a x ( a ? 1) 的增长速度越来越快,会远远大于 y ? x n ( n ? 0) 的增长速度; ③ 随着 x 的增大, y ? log a x ( a ? 1) 的增长速度会越来越慢,会远远小于 y ? x n ( n ? 0) 的增长速度; ④ 在区间(0,+∞)上,总存在一个 x0,当 x>x0 时就有: log a x < x n < a x 3、 几种常见函数的增长情况: 一次函数 对数函数 指数函数
y ? N (1 ? p ) ;
x

y=kx+b; 当 k>0 时为增函数; k=0 时为 当 常数函数;当 k<0 时为减函数

y ? log a x ( a ? 0, a ? 1) ;

当 a >1 时为增函数,0 <a < 1 时为减函数 对数增长

N 为基础数值,p 为增长率,y 为经 过 x 次增长的数值,0 <p <1 时, 1+p >1 为增长问题。 <p <0 时, -1 0 <1+p <为减少问题 指数爆炸

直线上升

Ⅶ 导数及其应用(掌握) (考试分值:1 个大题(12 分)1 个选择或填空(4-5 分) ) 一、变化率与导数、导数运算 (一)变化率的概念(理解) 1、函数的平均变化率:一般地,已知函数 y=f(x), x0、x1 是定义域内不同的两点,记 ? x ? x1 ? x 0 ,
? y ? y ? y ? (f 1 0 x ? (f ) x ? ) (f 0?x? ) x?

1

0

商 ( , )x ? x ? 0 时, f0 则当

?y ?x

?

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

称作函数

y=f(x)在区间 [ x 0 , x 0 ? ? x ] (或 [ x 0 ? ? x , x 0 ] )内的平均变化率; 2、瞬时变化率 如果当 ? x 趋近于 0 时,平均变化率
?y ?x ? f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

趋近于一个常数 c,那么称 c 为函数 f(x)在

点 x0 的瞬时变化率; (二)导数的意义 1、y=f(x)在 x0 处的导数及导函数的概念: (理解,易考) (1)函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变化率称为 y=f(x)在 x0 处的导数,即 f '( x 0 ) ? lim
f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

? x? 0



(2)如果函数 f(x)在开区间(a,b)内可导,对于开区间内的每一个 x 都对应着一个导数 f '( x ) ,这样在开 区间(a,b)内构成一个新的函数,这个函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作:

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f '( x ) ? y ' ? lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

? x? 0

2、导数的几何意义(熟记,必考内容,一般出现在填空题) 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率,即该处切 线的斜率为 f '( x 0 ) ,相应的切线方程为: y ? f '( x 0 ) ? f '( x 0 )( x ? x 0 ) ; (三)常用的导数公式(熟记,必考内容,大题中的中间步骤出现) ⑴ C ' ? 0 (C 为常数); ⑶ (sin x )' ? cos x ; ⑸* (tan x )' ? ⑺ ( e x )' ? e x ; ⑼ (ln x )' ?
1 x 1 cos
2

⑵ ( x n )' ? nx

n ?1

( n ? Q );

⑷ (cos x )' ? ? sin x ; ; (了解) ⑹* (cot x )' ?
sin 1
2

; (了解)
x

x

⑻ ( a x )' ? a x ln a ; ⑽ (log
x )' ? 1 x ln a



a

(四)导数的运算法则(熟记,易考) ⑴两个函数四则运算的导数: ① ( u ? v )' ? u '? v ' ; ② ( uv )' ? u ' v ? uv ' ; ⑵复合函数的导数: y ' x ? y ' u · ' x . u 二、导数在研究函数中的应用(必考大题,必须掌握) 1、单调性与导数 若函数在 y ? f ? x ? 某个区间内可导,则: ①
f ?? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数;② f ? ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? 为减函数.③ f ? ? x ? ? 0 。则 f ? x ? 为常数.

③?

u ' v ? uv ' ?u ? ? ? 2 v ?v ?

'

(v ? 0 ) .

2、求可导函数单调区间的一般步骤和方法. 1)确定函数 f ? x ? 的定义区间. 2)求 f ?? x ? ,令 f ?? x ? ? 0 解此方程,求出它在定义区间内的一切实根. 3)函数 f ? x ? 的间断点(即包括 f ? x ? 的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起 来,然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间. 4)确定 f ?? x ? 在各小开区间内符号,根据 f ?? x ? 的符号判定函数 f ? x ? 在每个相应小开区间内的增减性. 3、极值与导数
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1)求可导函数 f ? x ? 极值的步骤: 求导数 f ?? x ? ? 求方程 f ?? x ? ? 0 的根 ? 检验 f ?? x ? 在方程 f ?? x ? ? 0 的根的左右的符号,如果在根的左正 右负,那么函数 y ? f ? x ? 在这个根处取得极大值;如果在根的左负右正,那么函数 y ? f ? x ? 在这个根处取 得极小值.如果在某点左右不改变符号,那么该点无极值。 (可将单调性列表来考虑更为直观) 2)求可导函数 f ? x ? 在 ?a , b ? 上的最值的步骤: 求 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的极值 ? 求 f ? a ? , f ?b ? 的值 ? 比较 f ? a ? , f ?b ? 、极值的大小.最大的为最大值,最 小的为最小值。

累了,休息一下~~~~

英语课上,某同学睡着了,老师叫醒他,让他回答问题: 老师:How are you?是什么意思? 学生:怎么是你? 老师:How old are you? 学生:怎么老是你? 。。。 。。。

一次语文考试,诗句填空是白居易的《题大林寺桃花》中的一句不知转入此中来,正确答案应是常 恨春归无觅处,我前排一个同学愣是填了常恨村姑无觅处。 高中时候也是填诗词下句。上句是:洛阳亲友如相问;我一个同学填:就说我在岳阳楼。 高中一次语文考试,也是填下一句:蚍蜉撼大树,()。我有一同学填:一动也不动。很符合事实。 高中语文考试,写古诗下句。上句是:待到山花烂漫时,我们班一人居然填了:我便奋力把花采。 老师曰:西塞山前白鹭飞,一同学憋半天憋不出,于是答:东村河边黑龟爬! 考试诗句填空:穷则独善其身,填下一句。一同学填:富则妻妾成群!

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