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人大附中2010届5月适应性考试(文科答案)1


人大附中五月适应性考试

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人大附中 2010 届 5 月适应性考试数学试卷答案(文科)
一、ACACCADA 二、填空题: 9.四 13.3 ;
1 10。 ; 6

11。[ 1,3] 14.② ;0<t≤2 ③



>12。5

? 1 ? ; ? x ? x ? 2? ; ? 2 ?

三、解答题: 15. (本小题满分 13 分)
解:(Ⅰ f ( x) ? ? sin 2 x ? 2cos2 x )

? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 ? 2 ? 2? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 cos(2 x ? ) ? 1........................4? 4 2? ? ? ……………… 6 ? 所以,函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? (Ⅱ 由2k? ? ? ? 2 x ? ? 2k? , k ? Z , 得 ) 4 5? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

?

5? ?? ? 所以函数f ( x)的单调递增区间为 ?k? ? ,k? ? ? ,k ? Z ............13? 8 8? ?

A D
1

1

P C
1

B

1

A B D C

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16. (本小题满分 13 分)
证明: )证明:由 P 为 A1B1 的中点, (Ⅰ 有 PB1 // AB ,且 PB1 = 又∵DC // AB , DC =

1 AB . 2 1 AB , 2

∴DC ∥PB1 ,且 DC = PB1 ∴DCB1P 为平行四边形,……………………………………………………2 分 从而 CB1 ∥DP ………………………………………………………………3 分 又 CB1 ? 平面 ACB1 , DP ? 平面 ACB1 , ……………………………5 分

? DP ∥平面 BCB1 ……………………………………………………………6 分
(Ⅱ )直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 ⊥ 平面 ABCD ∵ AC ? 平面 ABCD ,∴ BB1 ⊥ AC ……………………………………8 分 又? ∠ BAD=∠ ADC=90° AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , , ∴AC ? 2 ,∠ CAB=45° ,∴BC ? 2 ,? BC ⊥ AC …………………10 分 又 BB1 ? BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C

? AC ⊥平面 BB1C1C ………………………………………………………12 分
又 AC ? 平面 ACB1 ,

? 平面 ACB1 ⊥平面 BB1C1C ………………………………13 分

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17. (本小题满分 14 分) 解 (Ⅰ )填表如下 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 4 6 10 16 14 50 频率 0.08 0.12 0.2 0.32 0.28 1.00 O 50 60 70 80 90 100 成绩(分) 0.008 0.032 0.028 0.02 0.012 频率 组距

………………………………………………………………………………………4 分 (表格中全对的给 4 分,错一个地方扣 1 分,扣完为止. ) (Ⅱ)估计该年级成绩在[70,90)段的有:

600? (0.2 ? 0.32) ? 312(人)
估计该年级的平均分为:

-------------------- -6 分

55 ? 0.04 ? 65 ? 0.16 ? 75 ? 0.2 ? 85 ? 0.32 ? 95 ? 0.28 ? 81.4(分)--- -8 分
(Ⅲ) 记[50,60)内的 4 人分别为 1、2、3、4,记[60,70)内的 6 人为 a,b,c,d,e,f, 其中 1 和 a,b,为女生 -------------------------------------------------------9 分 (1,c ) (2,c) (3,c) (4,c) (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) (1,e) (2,e) (3,e) (4,e) (1,f) (2,f) (3,f) (4,f) (2,a) (3,a) (4,a) 至少一名女生共有 12 种, 则选出二人中至少一名女生的概率为 (2,b) (3,b) (4,b) 从两组中各取一人 共有 24 种:(1,a) (1,b)

--------------------------------- --12 分 ----------------------------------------------13 分

12 1 ? ----------------------------------------14 分 24 2

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18. (本小题共 13 分) 解: )由已知, f (? x) ? ? f ( x) ,即 bx ? 0 恒成立,故 b ? 0 .………………1 分 (Ⅰ
2

所以 f ( x) ? ax3 ? cx, f ' ( x) ? 3ax 2 ? c .

? f (?1) ? 1 1 3 经检验, a ? , b ? 0, c ? ? 满足题意.…………………………………………4 分 2 2 1 3 3 3 2 3 3 ' (Ⅱ f ( x) ? x ? x, f ( x) ? x ? ? ( x ? 1)( x ? 1) , ) 2 2 2 2 2
当 x ? (?1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 单调减, 于是 f (1) ? f ( x) ? f (?1) , | f (?1) ? f (1) |? 2 , 所以

由?

? f ' (?1) ? 0

得?

?3a ? c ? 0 1 3 ,解得 a ? , c ? ? . 2 2 ? ?a ? c ? 1

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (?1) ? f (1) |? 2 .…………………………………7 分

(Ⅲ )由题意可知 g ( x) ?

m 2 3m x ? ? ln x , ( x ? 0) ……………………………8 分 2 2 1 ' 所以, g ( x) ? mx ? , … ……………………………………………………9 分 x
当 m ? 0 时,由于 x ? 0 ,所以, g ' ( x) ? 0 恒成立,故 g ( x) 在定义域 (0, ??) 上单调 递减; …… …………………………………………………10 分

当 m ? 0 时,令 g ' ? x ? ? 0 ,解得 x ? 当0 ? x ? 当x?

1 1 , 或x ? ? (舍) , m m

1 ' 时, g ( x) ? 0, g ( x)递减, m

1 ' 时, g ( x) ? 0, g ( x)递增 , ……………………12 分 m
? ? ? ? 1 ? 1 ? , ?? ? . ? ,单调递增区间为 ? ? m ? m? ? ? ?

综上所述,当 m ? 0 时, g ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, ??? ; 当 m ? 0 时, g ? x ? 的单调递减区间为 ? 0,

…………………………………………………………………………13 分

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19. (本小题满分 14 分) 解: )设动圆 E 的半径为 r ,则 r ? EA ,由题知 | EC |? 4 ? r , (Ⅰ

? | EA | ? | EC |? 4 ………………………………2 分
又? AC |? 2 ? 4 |

? 点 E 的轨迹是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,
x2 y 2 ? ? 1 …………………4 分 4 3 (Ⅱ (1)以 QC 为直径的圆恰过点 P,即 PQ ? PC . )

? 点 E 的轨迹方程为

y P

由于 k ?

4 3 ,所以, k PC ? ? . 3 4

Q A O C x

所以, PC : y ? ? 代入

3 ? x ? 1? , 4

x2 y 2 3? ? ? 13 9 ? ? ? 1 ,解得: P ? ?1, ? 或 P ? , ? ? 4 3 2? ? ? 7 14 ?

当 P ? ?1, ? 时,直线 l 的方程为: y ? 当 P?

? ?

3? 2?

4 17 x? ; 3 6

? 13 9 ? , ? ? 时,直线 l 在 y 轴上的截距 m ? 0 ,不满足题意,舍去. ? 7 14 ? 4 17 所以,直线 l 的方程为 y ? x ? . …………………………………………9 分 3 6
(2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,PQ 的中点为 ( x0 , y0 ) ,

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 48(4k 2 ? 3 ? m2 ) ? 0 ,即 4k 2 ? 3 ? m2 .
又 x0 ?



x1 ? x2 y ? y2 ?4km 3m ? , y0 ? 1 ? . 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 1? y0 ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? ? 1 ,整理得 m ? 4k ? 3 . 依题意有 4 x0 ? 0 k
由① 可得 k ? ②
2



13 , 4

? k ? 0,

?

13 13 ?k ? , 且 k ? 0 .…………………………………14 分 2 2

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20. (本小题满分 13 分) 解:(I) a8,5 ? 62 ……………………………………………………2分 (Ⅱ 因为第一行数组成的数列{ a1, j }( j =1,2, ) …)是以 a1,1 ? 1 为首项, 公差为3 的等差数列, 所以 a1, j =1+(j-1)× 3=3 j-2, 第二行数组成的数列{ a2, j }( j=1,2,…)是以 a2,1 为首项,公差为4 的等差数列,所 以 a2, j =4+(j-1)× 4=4 j. 所以 a2, j ? a1, j =4 j-(3 j-2)=j+2, 所以 ai , j =3 j-2+(i-1) × (j+2) =ij+2i+2j-4=(i+2) (j+2) -8.…………8分
2 (Ⅲ )(反证法)假设存在k、m ? N ,1?? ?? k m,使得 b1 , bk , bm 成等比数列,即 bk ? b1bm ,
*

∵ bn ? an,n = (n ? 2) ? 8
2

∴1?[(m ? 2) ? 8] ?[(k ? 2) ? 8]
2 2

2

得 (m ? 2) ? [(k ? 2) ? 8] =8
2 2 2

…………………………………………………………………………13 分

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