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2012-2013育才等五校联考高一期末数学试题及其答案


2012-2013 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷 参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本题解答不同,可根据试题的主要 ........ 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 ................... 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度,

可视影响的程度决定后继部分的给分;如果后继部分的解答有较重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

ADCDA
2 2

CDBBA

AD

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案直接写在横线上.) 13. x ? ( y ? 1) ? 5 ;14. [2, ??) ;15. 14? ;16. [6,72] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 解 (1) m ? 1 时

f ( x) ? ln

A? B { ?

|x ? 1 ?……………………………………………………5 分 x 2 } 1? m ? x (2)由 ? 0 且 m ? 0 ,得 [ x ? (1 ? m)][ x ? (1 ? m)] ? 0 x ?1 ? m 从而 1 ? m ? x ? 1 ? m .又 A ? B ,故 1 ? m ? 1且 1 ? m ? 4 解得 m ? 3 ……………………………………………………………10 分

?x ?x , 令 ?0 , 得 0? x?2 , 从 而 x?2 x?2

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:?三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直,且 BB1 ? BC

?四边形 BCC1 B1 是正方形. ? BC1 ? B1C .
? AB ? BC ? 2, AC ? 2 2 ? AB ? BC ? A1 B1 ? B1C1 ,又 A1B1 ? BB1 , BB1 ? B1C1 ? B1

? A1 B1 ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C ? A1 B1 ? BC1 又 BC1 ? B1C , A1B1 ? B1C ? B1 ? BC1 ? 平面 A1 B1C ………………6 分
(2)由(1)同理可知, BC ? 平面 ABB1 A1 故三棱锥 C ? A1 B1 N 的高为 BC ? 2 又 Rt ?A1B1 N 的面积为 S ? 从而

1 1 A1B1 ? B1 N ? ? 2 ?1 ? 1 2 2

1 1 2 VC ? A1B1N ? ? S?NB1 A1 ? BC ? ?1? 2 ? ………………………………12 分 3 3 3

19. (本小题满分 12 分) 解(1)当 t ? 5 , f (5) ? 100a10 ? 60 ? 140 ,解得 a ? 4 ………………4 分 (2) f (5) ? 140, f (35) ? 115 所以,上课开始后第 5 分钟学生的注意力比下课前 5 分钟时注意力更集中……………………………………………………8 分 (3) 0 ? t ? 10 时, 当 函数 y ? 100 ? 410 ? 60 为增函数, f (5) ? 140 , 且 所以 5 ? t ? 10 时满足题意;当 20 ? t ? 40 时,令 f (t ) ? ?15t ? 640 ? 140 解得
t
5

20 ? t ?

100 ……………………………………………………………………10 分 3 100 85 ? 5 ? 分钟……………………12 分 3 3

则学生注意力在 180 以上所持续的时间 20.(本小题满分 12 分)

6 7 ??1 解(1) k AH ? 23 2 1? 7 所以 BC : y ? 1 ? 2( x ? 4) ,即 y ? 2 x ? 7 ……………………2 分 6 1? 7 ?1 k BH ? 23 5 4? 7 所以 AC : y ? 2 ? ?5( x ? 1) ,即 y ? ?5 x ? 7 ……………………4 分 ?x ? 2 ? y ? 2x ? 7 联立 ? ,解得 ? ,即 C (2, ?3) ……………………6 分 ? y ? ?3 ? y ? ?5 x ? 7 (2)记点 A, B, C 到 l 的距离的平方和为 2?

? | k ? 2 | ? ? | 4k ? 1| ? ? | 2k ? 3 | ? 21k 2 ? 14 7 M= ? …………10 分 ? 21 ? ? ?? ? ?? ? ? 2 2 2 2 1? k 1? k 2 ? 1? k ? ? 1? k ? ? 1? k ? 7 2 因为 1 ? k ? 1 ,故 0 ? ? 7 ,从而 M 的取值范围为 [14, 21) ……………… 12 分 1? k 2
21. (本小题满分 12 分) 解: (1)设 g ( x) ?

2

2

2

得 b ? 1…………………………………………………………………………2 分

f ( x) ? x c ? ax ? ? b ? 1 ,又 g (? x) ? ? g ( x) 恒成立, x x

2 ? 2x 2 ? 2x 3 ? ?1 ? ? (0, 2) ……………………………4 分 ,设 u ? x x 1? 2 1? 2 1 ? 2x 所以函数值域为 (??,lg 2) ………………………………………………………………6 分
从而 y ? lg (2)由题意, f ( x) ? 2 x ? bx ? c ? 2( x ? ) ?
2 2

b 4

b2 ? c ,设 f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值最小 8

值分别为 M , m . ①当

|b| ? 1 即 | b |? 4 时, M ? m ?| f (1) ? f (?1) |?| 2b |? 8 与题意不符;…………8 分 4

b2 |b| 而 ? ? 1 即 | b |? 4 时, 必为 f (1), f (?1) 中最大者, M ? 2? | b | ?c , m ? c ? , M 8 4 2 2 b b 从而 M ? m ? 2? | b | ?c ? (c ? ) ? 2? | b | ? ?6 8 8 解得 | b |? 4 3 ? 4 ………………………………………………………………………10 分
②当 综上 4 ? 4 3 ? b ? 4 3 ? 4 ………………………………………………………………12 分 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)设 M ( x, y ) ,由题意,得
2 2 2 2

x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 x 2 ? ( y ? 1)2
2 2

??,

从而得 (1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? (4 ? 2? ) y ? 3 ? ? ? 0 ……………………2 分

1 ;………………………………………………4 分 3 4 2 2 ②当 ? ? 10 时,轨迹方程为 x ? ( y ? ) ? 1 ……………………………………6 分 3 4 2 4 (2)由题意, C2 : x 2 ? ( y ? ) ? 1 表示半径为 1 的圆,记圆心 C2 (0, ? ) 3 3 1 设点 P(a, b) , l1 : y ? b ? k ( x ? a) ,则 l2 : y ? b ? ? ( x ? a) k 因为当 l1 , l2 分别与曲线 C1 , C2 相交时,恒有 l1 被曲线 C1 截得的弦长与 l 2 被曲线 C2 截得的弦
①当 ? ? 1 时,轨迹方程为 y ? 长相等,而两圆半径相等,从而等价于 C1 到 l1 的距离与 C2 到 l 2 的距离恒相等.即

a 4 4 ? ? b | | ( ? b) k ? a | ? k 3 ? 3 2 2 1? k 1? k 1? k 2 4 亦即 | ak ? 2 ? b |?| ( ? b)k ? a | ………………………………………………8 分 3 | ak ? 2 ? b | |
从而有

4 4 ? ? ? a ? ? b ?a ? ? ? b 或? , 3 3 ? ? 2 ? b ? a ?2 ? b ? ?a ? ?
解得

5 ? 5 ? a? a?? ? 5 1 5 1 ? ? 3 ? 3 或? 故 P 点坐标为 ( , ) 或 ( ? , ) …………………………12 分 ? 3 3 3 3 ?b ? 1 ?b ? 1 ? ? 3 ? 3 ?


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