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江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学试卷


江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2014 届高三联合考试

y ? 4 s i n x2 ? π 的图象,则 f π 的值为 ▲ . 3 4
【答案】4 6. 右图是一个算法的伪代码,则输出的 i 的值为 ▲ . 【答案】5
b ? (2, 7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a ? (1, 0), 1). 若向量

a + 3b

?

?

??

数学Ⅰ参考答案及评分建议
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对于解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,该逻辑链的后续部分就不再给分,但 与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 抛物线 y 2 ? x 的焦点到准线的距离为 ▲ . 【答案】 1 2 2. 设全集 U ? ?x x ? 1? ,集合 A ? U .若 ?U A ? ?x x ? 9? ,则集合 A ? 【答案】 ?x 1 ? x≤9? 3. 已知复数 z ? a ? 3i ( i 为虚数单位, a ? 0 ) ,若 z 是纯虚数,则 a 的值为 ▲ .
2

与 ka ? 21b 共线,则实数 k 的值为 ▲ . 【答案】 ?7

S←9 i←1 While S≥0 S←S ? i i←i ? 1 End While Print i
(第 6 题)

8. 有 5 条线段,其长度分别为 1,3,5,7,9.现从中任取 3 条,恰能构成三角形的概率 为 ▲ .

【答案】 3 10 ▲ . 9. 设数列{lnan}是公差为 1 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 S11 ? 55,则 a2 的值为 ▲ . 【答案】e 10.在△ABC 中,已知 AB ? 5 , BC ? 3 , ?B ? 2?A ,则边 AC 的长为 ▲ . 【答案】 2 6 11.设一次函数 f ( x) 为函数 F ( x) 的导数.若存在实数 x0 ? (1,2),使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ? 0 , 则不等式 F(2x ? 1)< F(x)的解集为 ▲ . 【答案】 1 , 1 3

【答案】3 4. 从某校高三年级随机抽取一个班, 对该班 45 名学生的高校招生体检表中视力情况 进行统计, 其结果的频率分布直方图如右 图. 若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业的人数 为 ▲ .
1.75 1.00 0.75 0.50 0.25

频率 组距

? ?
? ?
2

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : x ? a
0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 视力 (第 4 题)

? ? y ? a ? ? 1 (a≥0) 上存在一点 P 到直
2

线 l : y ? 2 x ? 6 的距离等于 5 ? 1 ,则实数 a 的值为 ▲ . 【答案】1 13.设正实数 x , y 满足 xy ?

【答案】18 5. 将函数 f(x)的图象向右平移 π 个单位后得到函数 6

x? y ,则实数 x 的最小值为 ▲ . x? y

数学 I 试卷

(共 2 页)

1

【答案】 2 ? 1 14.在等腰三角形 ABC 中,已知 AC ? BC ? 5 ,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,CA 上, 且 AD ? DB ? EF ? 1.若 DE ? DF≤ 25 ,则 EF ? BA 的取值范围是 ▲ . 16 【答案】 ? 4 , 2? ?3 ? ? ?

16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x ? π sin x ? π , π ≤x≤ 5π . 6 12 6 3 (1)求函数 f ( x) 的值域;

? ? ?

?

? ? 解: (1)依题意, f ( x) ? 2 ? 3 sin x ? 1 cos x ?? 1 sin x ? 3 cos x ? 2 2 2 2
(2)若 f ( x) ? 2 2 ,求 f x ? π 的值. 2 4 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题 卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 .. ..... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, O 为菱形 ABCD 对角线的交点,M 为棱 PD 的中点,MA ? MC. (1)求证:PB // 平面 AMC; (2)求证:平面 PBD ? 平面 AMC. 证明: (1)连结 OM , 因为 O 为菱形 ABCD 对角线的交点, 所以 O 为 BD 的中点, 又 M 为棱 PD 的中点, 所以 OM // PB , 又 OM ? 平面 AMC, PB ? 平面 AMC, 所以 PB // 平面 AMC; (2)在菱形 ABCD 中,AC ? BD,且 O 为 AC 的中点, 又 MA ? MC,故 AC ? OM, 而 OM BD ? O ,OM,BD ? 平面 PBD, ?? 11 分 ?? 8 分 ?? 6 分 A M O D O
(第 15 题)

? sin x cos x ? 3 ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 ? 1s i n x? 2 3 2 2 ?sin x 2? π , 3
因为 π ≤x≤ 5π ,所以 0≤2 x ? π ≤ π ,从而 0≤sin 2 x ? π ≤ 1, 6 12 3 2 3 所以函数 f ( x) 的值域为 ? 0, 1? ; (2)依题意, sin 2x ? π ? 2 2 , π ≤x≤ 5π , 6 12 3 3 C 令 ? ? 2 x ? π ,则 x ? ? ? π , 3 2 6 从而 sin ? ? 2 2 ,且 0≤? ≤ π , 2 3 所以 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 , 3 又 cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 , 0≤ ? ≤ π , 2 2 2 4 故 sin ? ? 3 , cos ? ? 6 , 2 3 2 3

?? 3 分

c xo s 2
?? 5 分

?

?

P

?

?

?? 7 分

?

?

B ?? 2 分

?? 9 分

?? 11 分

从而 f x ? π ? sin x ? π ? sin ? ? π ? 1 sin ? ? 3 cos ? ? 3 ? 2 2 . 6 2 4 6 2 3 2 2 2 2 ?? 14 分

?

? ? ? ?

?

所以 AC ? 平面 PBD, 又 AC ? 平面 AMC, 所以平面 PBD ? 平面 AMC.

?? 14 分

17.(本小题满分 14 分) 某公司销售一种液态工业产品,每升产品的成本为 30 元,且每卖出一升产品需向税务

数学 I 试卷

(共 2 页)

2

部门交税 a 元(常数 a ? N* ,且 2≤a≤5).设每升产品的售价为 x 元 (35≤x≤41),根 据市场调查,日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例.已知当每升产品的售价为 40 元时,日销售量为 10 升. (1)求该公司的日利润 y 与每升产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每升产品的售价为多少元时,该公司的日利润 y 最大?并求出最大值(参考数 据:取 e 4 ? 55, e 5 ? 148). 解: (1)设日销售量 p ? kx (k 为比例系数), e 因为当 x ? 40 时,p ? 10,所以 k ? 10e40 , 从而 y ? ?? 2 分 ?? 6 分

18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A(-1,0),B(1,0), C(m,n),且△ABC 的周长为 2 2 ? 2 . (1)求证:点 C 在一个椭圆上运动,并求该椭圆的标准方程; (2)设直线 l: mx ? 2ny ? 2 ? 0 . ①判断直线 l 与(1)中的椭圆的位置关系,并说明理由; ②过点 A 作直线 l 的垂线,垂足为 H.证明:点 H 在定圆上,并求出定圆的方程. (1)证明:依题意,CA ? CB ? 2 2 ? AB ? 2 , 根据椭圆的定义知,点 C 的轨迹是以 A(-1,0),B(1,0)为焦点, 2 2 为 长轴的椭圆(不含长轴的两个端点),即证,
2 y2 不妨设该椭圆的方程为 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b

10e40 ( x ? 30 ? a) 41? ; ,x ? ?35, ex

(2)设 x ? 30 ? t , t ? ?5, 11? ,

?? 2 分

10e40 ( x ? 30 ? a) 10e10 (t ? a) , t ? ?5, 11? = ex et ?10e10 ?t ? (a ? 1) ? ? 0 ,得 t ? a ? 1, 由 y? ? ex
则y? 因为 5≤t≤11,2≤a≤5, a ? N* ,所以 a+1 ? 3,4,5,6, 若 a+1 ? 3,4,5,则 y ?≤0 ,函数在[5,11]上单调递减, 所以当 t ? 5 即 x ? 35 时, ymax ? 10(5 ? a)e ? 1480(5 ? a) ;
5

依题意知, a ? 2 , c ? 1 ,从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ?? 9 分 故该椭圆的标准方程为 x ? y 2 ? 1 ; 2 (2)① 解:直线 l 与(1)中的椭圆相切,下证之: ?? 11 分 因为 C(m,n)在椭圆 x ? y 2 ? 1 上,所以 m ? n2 ? 1 , 2 2 由
?mx ? 2ny ? 2 ? 0, ? ? x2 ? y2 ? 1 ? ?2
2 2 2

?? 4 分

若 a+1 ? 6,列表:





t
y?

(5,6)

6 0 极大值 10e 4

( 6,11)
?

?


?m

2

?2

?

n2

?? 4 ?x

2



6分 ??? 4 m

2 1? x

?0

n

y



判别式 ? ? 16m2 ? 16 m2 ? 2n2 1 ? n2
? 16m2 ? 16 ? m2 ? 2 ? m2 ? m 2
?0,
2

?

??

?

所以当 t ? 6 即 x ? 36 时, ymax ? 10e4 ? 550 , 答:若 a ? 2,3,4,则当每升售价为 35 元时,日利润最大为 10(5 ? a)e 元;
5

所以直线 l 与(1)中的椭圆相切; ② 猜想:若点 H 在定圆 P 上,

?? 8 分

若 a ? 5,则当每升售价为 36 元时,日利润最大为 550 元. ?? 14 分
数学 I 试卷 (共 2 页) 3

则当点 C(0,1)时,H( ? 1,1);当点 C(0, ? 1)时,H( ? 1, ? 1);

故圆心 P 必在 x 轴上; 当点 C 1, 2 时,H(0, 2 );当点 C 1,? 2 时,H(0, ? 2 ); 2 2 故圆心 P 必在 y 轴上, 综上,圆心 P 必为坐标原点 O,且半径为 2 , 从而定圆 P 的方程为: x2 ? y 2 ? 2 , ?? 10 分

?

?

?

?

设 n ? N* ,函数 fn ( x) ? xn x ? a ( x ? a) ,其中常数 a ? 0 . (1)求函数 f 2 ( x) 的极值; (2)设一直线与函数 f3 ( x) 的图象切于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1 ? x2 ? a . ①求 x12 ? x2 2 的值; ②求证: y1 ? y2 .

证明:过 A(-1,0) 与直线 l: mx ? 2ny ? 2 ? 0 的垂直的直线 l ? 方程为:
y ? 2n ( x ? 1) , m

? x3 ? ax2, x ? a, ? 解: (1)依题意, f 2 ( x) ? ? 2 3 x ? a, ? ?ax ? x ,

? 2(m ? 2n2 ) x ? , ? ? H m 2 ? 4n 2 联立直线 l 与直线 l ? 的方程解得, ? ? y ? 2(m ? 2)n , ? H m 2 ? 4n 2 ?
2

?? 12 分

? x ? a, ? x ? 3x ? 2a ?, 则 f 2? ( x) ? ? x ? a, ? ? x ? 2a ? 3x ?,
由 f 2? ( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? 2 a ? a , 3 当 x ? (a,? ?) 时, f 2?( x) ? 0 ,所以 f 2 ( x) 无极值;
a) 时,列表: 当 x ? (??,

? 2 ? m ? 2n2 ? ? ? 2(m ? 2)n ? 2 ? +? 2 从而 OH ? ? 2 ,其中 2n2 ? 2 ? m2 , 2 2 ? m ? 4 n m ? 4 n ? ? ? ? ? ?
2

?? 3 分

?

4 ? m ? 2n

2 2 2

?m
2

?

? 4 ? m ? 2? n
2

2

? 4n
2

2 2

?

x
f 2?( x) f 2 ( x)

(- ? ,0)
?

0 0 极小值 0

a ? 0,2 3 ?

2a 3

a, a? ?2 3

?

4 ? m ? m ? 2 ? ? 2 ? m ? 2 ? (2 ? m )
2 2

?


0 极大值

?

?m

2

? 4 ? 2m 2 ?

2





?

4(m ? 1)2 (m ? 2)2 ? 2 ? m ? 2 ? (2 ? m2 )
2

? m ? 2? ? m ? 2?
2

2

所以函数 f 2 ( x) 的极小值为 f 2 (0) ? 0 ,极大值为 f 2 2 a ? ? 4 a3 ; ?? 6 分 3 27 (2)①当 x ? a 时, f3 ( x) ? ax3 ? x4 , f3? ( x) ? 3ax2 ? 4x3 , 直线 AB 的方程为 y ? ax13 ? x14 ? 3ax12 ? 4x13 ( x ? x1 ) , 或 y ? ax23 ? x24 ? 3ax22 ? 4x23 ( x ? x2 ) ,
2 3 2 3 ? ?3ax ? 4 x ? 3ax2 ? 4 x2 , 于是 ? 1 3 1 4 3 4 ? ??2ax1 ? 3x1 ? ?2ax2 ? 3x2 ,

? ?

?

2 ? m ? 2 ? ? m2 ? 4m ? 4 ?
2

? m ? 2? ? m ? 2?
2

2

? 2,
所以点 H 在定圆 x ? y ? 2 上.
2 2

?

?

?? 16 分

?

?

19.(本小题满分 16 分)

数学 I 试卷

(共 2 页)

4

?3a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 2 ), ? 即? 2 2 2 2 ? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2a( x1 ? x2 )( x1 ? x1 x2 ? x2 ),
故 x12 ? x2 2 ? a (常数); 2
2

1 ? a1 ? b2 ? a1 ? 1 ? b22 ? a1 ? 2 ? b23 ? a1 ? 3 ? b24 ? a1 ? 4 ? b25 ? a1 ? 5 ?,
?? 2 分 ?? 11 分 从而 1 ? b2 ? 2 ? b2 2 ? 3 ? b23 ? 4 ? b2 4 ? 5 ? b25 ? 6 ? ?, 即 1 ? b2 ? 2 ①, 2 ? b2 ? 3 ②, 3 ? b2 ? 4 ③, 2 ? b2 ? 5 ④,
5 3 3 4

?a 2 ? 2( s 2 ? 2t ), ? ②证明:设 x1 ? x2 ? s , x1 x2 ? t ,则 ? 2 3as ? 4( a ? t ), ? ? 2
?s ? a , ? s ? a, ? ? 2 解得 ? 或 ? a 2 (舍去,否则 x1 ? x2 ), 2 t? ?t ? ? a , ? ? 4 8 ?
3 4 3 4 故 y2 ? y1 ? ax2 ? x2 ? ax1 ? x1

5 ? b2 ? 6 ⑤,?,由①②③④得, 3 ? b2 ? 5 ;因为 6 ? 3 ,所以由
5 3

5

3

4

①②③④⑤得, b2 不存在了,从而正整数 n 的最大值为 5; (2)依题意, am ? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1 , bm ? xn 1 ? 1 x

?? 6 分

?

? ?

?

? ?

m?1

,且 m ? 1 ,2,?, n ,
am ? am 1 ? 1 , x x

? a? x ? x
3 2

3 1

? ? ?x

4

2

?x

4 1

?

一方面,当 x ? N* 时, am ? xn ,因此, am?1 ? am ? xn?1 ? am ? 结合 a1 ? b2 ? 1 ? b2 及 ?bm ? 是公比为 1 ? 1 的等比数列可得, x

? ?

2 2 2 2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ?
2 2 2 ? ( x2 ? x1 ) ? a a ? a ? a ? a? ? 2 2? ? 2 8 ?

?

?

1 ? b 1 ? 1 ? b ,?, a2 ? a 1 1 ? 1 ? b 21 ? 1 ? b , 3 a3 ? a2 1 ? 3 4 x x x x
从而对任意的 m ? 1,2,?, n ? 1 ,都有 am ? bm?1 ; ?? 16 分 另一方面,因为 bm ? am ? xn 1 ? 1 x ?? 11 分

? ? ? ?

? ? ? ?

? ( x2 ? x1 ) a ? 0 , 8

3

即证 y1 ? y2 .

? ?

m?1

? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1

? xn?m?1 ?1 ? x ?
20.(本小题满分 16 分) (1)设 n 为不小于 3 的正整数,公差为 1 的等差数列 a1 , a 2 ,?, a n 和首项为 1 的 3 的正整数)

m?1

? xn ? mxn?1 ? 1 ( m ? 1,2,?, n ,其中 n 为给定的不小于

? x ?1 ? x ?

n ?1

? xn ? nxn?1 ? 1

? xn ? (n ? 1) xn?1 ?
等比数列 b1 , b2 ,?, bn 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? ? ? bn ? an ,求正整数 n 的最大值; (2)对任意给定的不小于 3 的正整数 n ,证明:存在正整数 x ,使得等差数列 ?am ? :
x ?x
n n ?1

n(n ? 1) n ? 2 x ? ? ? x ? x n ? nx n ?1 ? 1 2

?

n(n ? 1) n ? 2 x ? ? ? x ? 1 ? x n ?1 (*) 2

显然,(*)式左边是关于 x 的 n ? 2 次式,右边是关于 x 的 n ? 1 次式, 只要正整数 x 充分大,(*) 式即可成立,从而 m ? 1,2,?, n 时,都有 bm ? am . 综上,必存在正整数 x ,满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? ? ? bn ? an . ?? 16 分

? 1 , x ? 2x
n

n ?1

? 1 ,?, x ? nx
n

n ?1

? 1 和等比数列 ?bm ? : x , (1 ? x) x
n

n ?1

,?,

x(1 ? x)n ?1 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? ? ? bn ? an .
解: (1)设 an ? a1 ? n ? 1 , bn ? b2n?1 ,依题意得,
数学 I 试卷 (共 2 页) 5

B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)
? ? 已知点 P(a,b),先对它作矩阵 M ? ? ? ? ? 1 2 3 2 ? ? 3? ?2 0? 2 ? 对应的变换,再作 N ? ? ? 对应的 ?0 2? 1 ? 2 ? ?

数学Ⅱ参考答案及评分建议
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对于解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,该逻辑链的后续部分就不再给分,但 与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或 . 演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,已知△ABC 的内角 A 的平分线交 BC 于点 D, 交其外接圆于点 E. 求证:AB ? AC ? AD ? AE. 证明:连结 EC,易得∠B ? ∠E, 由题意,∠BAD ? ∠CAE, 所以△ABD∽△AEC, 从而 AB ? AD , AE AC 所以 AB ? AC ? AD ? AE. ?? 10 分 B D E
(第 21—A 题)

变换,得到的点的坐标为 (8, 4 3 ),求实数 a,b 的值.
? 1 ?2 0? ? 2 解:依题意,NM ? ? ? ? ?0 2? ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? ? 1 ? 3? 2 ?, ? ?? 1 ? 1 ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? 1 ? 4 ?? ?? 3 ? ? 4 3? 4 ? ?, 1 ? 4 ? ?

?? 4 分

由逆矩阵公式得, (NM)

?1

?? 8 分

? 1 ? 4 所以 ? ?? 3 ? 4 ?

3? 4 ?? 8 ? ? 5 ? ?? ??? ? ,即有 a ? 5 , b ? ? 3 . 1 ? ?4 3 ? ?? 3 ? ? 4 ?

?? 10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 A (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,设直线 l 过点 A

?

? ? ,且直线 l 与曲线 C : ? ? a cos ? (a ? 0) 3,? , B ? 3, ?

?

有且只有一个公共点,求实数 a 的值. C ?? 2 分 解:依题意, A

?

? ? 的直角坐标为 A 3 , ? , B ? 3, ?? , 3,? , B ? 3, ? 2 ?

?

?

?

从而直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 , ?? 6 分 曲线 C : ? ? a cos ? (a ? 0) 的普通方程为 x ? a 2 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点,

?? 4 分
2

? ?

? y 2 ? a (a ? 0) , 4

2

?? 8 分

a ?3 所以 2 ? a (a ? 0) ,解得 a ? 2 (负值已舍). 2 2
6

?? 10 分

数学 I 试卷

(共 2 页)

所以 ? 的分布列为: D.选修 4—4:不等式证明选讲 (本小题满分 10 分) 已知 a,b>0,且 a ? b ? 1,求证: 2a ? 1 ? 2b ? 1≤2 2 . 证明:因为

?

0

? ?

? ? 3 14

P
?? 8 分 ?? 10 分

1 14

5 7

?

2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤ (2a ? 1 ? 2b ? 1)(12 ? 12) ? 8,

?

2

所以 2a ? 1 ? 2b ? 1≤2 2 .

数学期望 E( ? ) ? 0 ? 1 ? ? ? 5 ? ? ? 3 ? 29 π . 14 ? 7 ? 14 84

?? 10 分

23. (本小题满分 10 分) 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从侧面均是等边三角形的正四棱锥的 8 条棱中任选两条, ? 为这两条 棱所成的角. (1)求概率 P ? ? ? ; ? (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E( ? ).
2 解: (1)从正四棱锥的 8 条棱中任选两条,共有 C8 种不同方法,

设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满 足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an. 解: (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 , C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

?

?

其中“ ? ? ? ”包含了两类情形: ? ①从底面正方形的 4 条棱中任选两条相邻的棱,共有 4 种不同方法; ②从 4 条侧棱中选两条,共有 2 种不同方法, 所以 P ? ? ? ? 4 ?2 2 ? 3 ; ? 14 C8 (2)依题意, ? 的所有可能取值为 0, ? , ? , ? ? “ ? ? ? ”包含了从底面正方形的 4 条棱中任选两条对棱,共 2 种不同方法; 所以 P ?? ? ?? ? 22 ? 1 ; C8 14 ?? 6 分

?? 3 分

?

?

?? 5 分

?? 4 分

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,k 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

?? 7 分

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

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从而 P ? ? ? ? 1 ? P ?? ? ? ? ? P ? ? ? ? 5 , ? ? 7
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?? 10 分

?? 8 分

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