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江西省宜春市上高二中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析


江西省宜春市上 2014-2015 学年高二中 2014-2015 学年高二下学 期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(12×5 分) 1.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的种序框图计算该数列的第 10 项, 则判断框内的条件是()

A.n≤8?

B . n≤ 9?

C.n≤10?

D.n≤11?

2.下面程序运行后,输出的值是()

A.42

B.43

C.44

D.45

3.给定数列,1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…则这个数列的通项公式 是() 2 2 A.an=2n +3n﹣1 B. an=n +5n﹣5 3 2 3 2 C. an=2n ﹣3n +3n﹣1 D.an=2n ﹣n +n﹣2 4.过 x +y =10x 内一点(5,3)有 n 条弦,它们的长度构成等差数列,最小弦长为数列首 项 a1,最长的弦长为数列的末项 an,若公差 d∈ A.n=4 B.5≤n≤7 C.n>7 ,则 n 的取值范围是() D.n∈{正实数}
2 2

5.设 x>0,则方程 x+ =2sinx 的根的情况是()

A.有实根

B.无实根
n n

C.恰有一实根
*

D.无法确定

6.用数归纳法证明当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除,k∈N 第二步是() A.设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 正确 B. 设 n=2k﹣1 时正确,再推 n=2k+1 时正确 C. 设 n=k 时正确,再推 n=k+2 时正确 D.设 n≤k(k≥1)正确,再推 n=k+2 时正确 7.设 f(x)存在导函数且满足 的点(1,f(1) )处的切线的斜率为() A.﹣1 B.﹣2
3

=﹣1,则曲线 y=f(x)上

C. 1

D.2

8.若对任意 x∈R,f′(x)=4x ,f(1)=﹣1,则 f(x)是() 4 3 4 A.f(x)=x B.f(x)=4x ﹣5 C.f(x)=x +2
2x

D.f(x)=x ﹣2

4

9.若函数 f(x)=e cosx,则此函数图象在点(1,f(1) )处的切线的倾斜角为() A.直角 B. 0 C.锐角 D.钝角 10.如果△ A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△ A2B2C2 的三个内角的正弦值,则() A.△ A1B1C1 和△ A2B2C2 都是锐角三角形 B. △ A1B1C1 和△ A2B2C2 都是钝角三角形 C. △ A1B1C1 是钝角三角形,△ A2B2C2 是锐角三角形 D.△ A1B1C1 是锐角三角形,△ A2B2C2 是钝角三角形 11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=() A.﹣e B.﹣1 C. 1 D.e 12.对任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1) (b+1)﹣1,给出以下结论: ①对于任意实数 a,b,c 有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c) ②对于任意实数 a,b,c 有 a*(b*c)=(a*b)*c ③对于任意实数 a 有 a*0=a,则正确的是() A.① B. ③ C.①② D.②③

二、填空题 13.若有以程序: 根据如图程序,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且只有两个零点,则实数 m 的取值范 围.

14.平面几何里有设:直角三角形 ABC 的两直角边分别为 a,b,斜边上的高为 h,则 + = 拓展到空间:设三棱锥 A﹣BCD 的三个侧棱两两垂直,其长分别为 a,b,c,

面 BCD 上的高为 h,则有.

15.若函数 f(x)= =.

,f

(2)

(x)=f[f(x)],f

(3)

(x)=f(f(f(x) ) ) ,则 f

(99)

(1)

16.平面上有 k 个圆,每两个圆都交于两点,且无三个圆交于一点,设 k 个圆把平面分成 f (k)个区域,那么 k+1 个圆把平面分成 f(k)+个区域.

三、解答题 17.求 y=e
﹣2x

sin3x 的导数.

18.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的正整数 n,an 与 2 的等差 中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列的前三项; (2)猜出通项公式,用数列归纳加以证明. 19.已知数列 a0=1,an=nan﹣1+1,用框图和语句表示算法,输出使 an≤50 的最大的正整数 n. 20.求过点(1,1)且与 y=x 相切的直线方程. 21.△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,求证: .
3

22.已知函数 f(x)=|log2(x+1)|,实数 m、n 在其定义域内,且 m<n,f(m)=f(n) .求 证: (1)m+n>0; 2 2 (2)f(m )<f(m+n)<f(n ) .

江西省宜春市上 2014-2015 学年高二中 2014-2015 学年高 二下学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(12×5 分)

1.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的种序框图计算该数列的第 10 项, 则判断框内的条件是()

A.n≤8?

B . n≤ 9?

C.n≤10?

D.n≤11?

考点: 循环结构. 专题: 阅读型. 分析: n=1,满足条件,执行循环体,S=2,依此类推,当 n=10,不满足条件,退出循环 体,从而得到循环满足的条件. 解答: 解:n=1,满足条件,执行循环体,S=1+1=2 n=2,满足条件,执行循环体,S=1+1+2=4 n=3,满足条件,执行循环体,S=1+1+2+3=7 n=10,不满足条件,退出循环体,循环满足的条件为 n≤9, 故选 B. 点评: 本题主要考查了当型循环结构, 算法和程序框图是新课标新增的内容, 在近两年的 新课标地区 2015 届高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于基础题. 2.下面程序运行后,输出的值是()

A.42

B.43

C.44

D.45

考点: 循环语句. 专题: 图表型. 分析: 分析已知条件中,退出循环的条件是 i*i≥2000,循环的后继语句为 i=i﹣1,故程序 2 的功能是利用循环计算满足 i <2000(i∈N)的最大 i 值,验证题目中的四个答案,即可得 到结论. 解答: 解:由已知可得程序的功能是 2 利用循环计算满足 i <2000(i∈N)的最大 i 值

∵44 <2000,45 >2000, 故选 C 点评: 本题考查的知识点是循环语句, 其中根据已知中的程序语句, 分析出程序的功能是 解答本题的关键,本题易忽略循环的后继语句为 i=i﹣1,而错选 D. 3.给定数列,1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…则这个数列的通项公式 是() A.an=2n +3n﹣1 3 2 C. an=2n ﹣3n +3n﹣1
2

2

2

B. an=n +5n﹣5 3 2 D.an=2n ﹣n +n﹣2

2

考点: 数列的函数特性. 专题: 探究型. 分析: 判断第 n 项的项数和第 n 项的最后一个数,利用第 n 项等于第 n 项与第 n﹣1 项最 后一个数之差求数列的通项公式. 解答: 解:由数列知,第 n 项的共有 2n﹣1 项,且第 n 项的最后一个数为 1+3+5+…+(2n ﹣1)= ×n=n ,
2 2 2 2 2

∴数列的通项公式 an= (1+2+3+…+n ) ﹣[1+2+3+…+ (n﹣1) ]= (n﹣1) +1+ (n﹣1) +2+…+ 2 (n﹣1) +(2n﹣1) =(n﹣1) ×(2n﹣1)+
2

×(2n﹣1)=2n ﹣3n +3n﹣1.

3

2

故选:C. 点评: 本题考查了数列的函数特性, 判断第 n 项的项数即第 n 项的最后一个数是解题的关 键. 4.过 x +y =10x 内一点(5,3)有 n 条弦,它们的长度构成等差数列,最小弦长为数列首 项 a1,最长的弦长为数列的末项 an,若公差 d∈ A.n=4 B.5≤n≤7 C.n>7 ,则 n 的取值范围是() D.n∈{正实数}
2 2

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意可知,最短弦为垂直 OA 的弦,a1=8,最长弦为直径:an=10,由等差数 列的性质可以求出公差 d 的取值范围. 解答: 解:设 A(5,3) ,圆心 O(5,0) , 最短弦为垂直 OA 的弦,a1=8,最长弦为直径:an=10, 公差 d= ∴ ≤ , ≤ ,

∴5≤n≤7, 故选 B. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活选用.

5.设 x>0,则方程 x+ =2sinx 的根的情况是() A.有实根 B.无实根 C.恰有一实根 D.无法确定

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: “=”的左边当 x=1 时,取得最小值 2,而此时“=”右边小于 2,得到方程无解. 解答: 解:当 x>0 时,x+ ≥2,当且仅当 x=1 时“=”成立, 当 x=1 时,2sin1<2sin =2,

∴方程无实根, 故选:B. 点评: 本题考查了函数的零点问题,考查基本不等式的性质,是一道基础题. 6.用数归纳法证明当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除,k∈N 第二步是() A.设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 正确 B. 设 n=2k﹣1 时正确,再推 n=2k+1 时正确 C. 设 n=k 时正确,再推 n=k+2 时正确 D.设 n≤k(k≥1)正确,再推 n=k+2 时正确 考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. * 分析: 根据 n 为正奇数,故第二步的假设应写成:假设 n=2k﹣1,k∈N 时命题正确,再推 n=2k+1 时正确. 解答: 解:根据证明的结论,n 为正奇数,故第二步的假设应写成:假设 n=2k﹣1,k∈N * 2k﹣1 2k﹣1 时命题正确,即当 n=2k﹣1,k∈N 时,x +y 能被 x+y 整除,再推 n=2k+1 时正确. 故选:B. 点评: 本题考查数学归纳法,考查数学归纳法的证题步骤,属于基础题. 7.设 f(x)存在导函数且满足 的点(1,f(1) )处的切线的斜率为() A.﹣1 B.﹣2 考点: 专题: 分析: 解答: =
* n n *

=﹣1,则曲线 y=f(x)上

C. 1

D.2

导数的几何意义;变化的快慢与变化率. 导数的概念及应用. 根据极限的运算法则的应用,曲线在某处切线斜率的意义即可求出. 解:y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 f′(1) =﹣1,

故选:A. 点评: 本题考查极限的定义的应用,曲线在某处切线斜率的意义,属于基础题.

8.若对任意 x∈R,f′(x)=4x ,f(1)=﹣1,则 f(x)是() 4 3 4 A.f(x)=x B.f(x)=4x ﹣5 C.f(x)=x +2

3

D.f(x)=x ﹣2

4

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 4 分析: 根据导函数,设出原函数为 f(x)=x +a,代入求参数 a 的值,问题即求. 3 解答: 解:∵f′(x)=4x , 4 设 f(x)=x +a, 又 f(1)=﹣1, 4 ∴(﹣1) +a=﹣1 解得 a=﹣2, ∴f(x)=x ﹣2, 故选 D. 点评: 本题主要考查了基本的导数公式,关键是设出原函数,属于基础题. 9.若函数 f(x)=e cosx,则此函数图象在点(1,f(1) )处的切线的倾斜角为() A.直角 B. 0 C.锐角 D.钝角 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先求函数 f(x)=e cosx 的导数,因为函数图象在点(1,f(1) )处的切线的斜率 为函数在 x=1 处的导数,就可求出切线的斜率,再根据切线的斜率是倾斜角的正切值,就 可根据斜率的正负判断倾斜角是锐角还是钝角. 2x 2x 解答: 解:∵f′(x)=2e cosx﹣e sinx,∴f′(1)=2ecos1﹣esin1 ∴函数图象在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 e(2cos1﹣sin1) ∵e(2cos1﹣sin1)>0,∴函数图象在点(1,f(1) )处的切线的倾斜角为锐角 故选 C. 点评: 本题考查了导数的运算及导数的几何意义, 以及直线的倾斜角与斜率的关系, 属于 综合题. 10.如果△ A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△ A2B2C2 的三个内角的正弦值,则() A.△ A1B1C1 和△ A2B2C2 都是锐角三角形 B. △ A1B1C1 和△ A2B2C2 都是钝角三角形 C. △ A1B1C1 是钝角三角形,△ A2B2C2 是锐角三角形 D.△ A1B1C1 是锐角三角形,△ A2B2C2 是钝角三角形 考点: 诱导公式的作用. 专题: 压轴题;反证法. 分析: 首先根据正弦、余弦在(0,π)内的符号特征,确定△ A1B1C1 是锐角三角形; 然后假设△ A2B2C2 是锐角三角形,则由 cosα=sin( )推导出矛盾;
2x 2x 4

再假设△ A2B2C2 是直角三角形,易于推出矛盾; 最后得出△ A2B2C2 是钝角三角形的结论. 解答: 解:因为△ A2B2C2 的三个内角的正弦值均大于 0,

所以△ A1B1C1 的三个内角的余弦值也均大于 0,则△ A1B1C1 是锐角三角形.

若△ A2B2C2 是锐角三角形,由







那么,

,这与三角形内角和是 π 相矛盾; ,

若△ A2B2C2 是直角三角形,不妨设 A2=

则 sinA2=1=cosA1,所以 A1 在(0,π)范围内无值. 所以△ A2B2C2 是钝角三角形. 故选 D. 点评: 本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式,同时考查反证法思想. 11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=() A.﹣e B.﹣1 C. 1 D.e 考点: 导数的乘法与除法法则;导数的加法与减法法则. 专题: 计算题. 分析: 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,利用求导公式对 f(x)进行求导,再把 x=1 代入,即可求解; 解答: 解:∵函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, (x>0) ∴f′(x)=2f′(1)+ ,把 x=1 代入 f′(x)可得 f′(1)=2f′(1)+1, 解得 f′(1)=﹣1, 故选 B; 点评: 此题主要考查导数的加法与减法的法则,解决此题的关键是对 f(x)进行正确求 导,把 f′(1)看成一个常数,就比较简单了; 12.对任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1) (b+1)﹣1,给出以下结论: ①对于任意实数 a,b,c 有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c) ②对于任意实数 a,b,c 有 a*(b*c)=(a*b)*c ③对于任意实数 a 有 a*0=a,则正确的是() A.① B. ③ C.①② D.②③ 考点: 命题的真假判断与应用.

专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用新定义化简去判断即可. 解答: 解:对任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1) (b+1)﹣1,给出以下结论: ①对于任意实数 a,b,c 有 a*(b+c)=(a+1) (b+c+1)﹣1=ab+ac+a+b+c, (a*b)+(a*c)=(a+1) (b+1)﹣1+(a+1) (c+1)﹣1=ab+a+b+ac+a+c, 所以①不正确; ②对于任意实数 a,b,c 有 a*(b*c)=a*( (b+1) (c+1)﹣1)=(a+1) (bc+b+c+1)﹣ 1=abc+ab+ac+a+bc+b+c. (a*b) *c= ( (a+1) (b+1) ﹣1) *c= (ab+a+b) *c= (ab+a+b+1) (c+1) ﹣1=abc+ab+ac+a+bc+b+c. 所以 a*(b*c)=(a*b)*c.②正确. ③对于任意实数 a 有 a*0=(a+1) (0+1)﹣1=a,所以③正确; 故答案为:②③. 点评: 本题考查命题的真假的判断与应用,考查计算能力. 二、填空题 13.若有以程序: 根据如图程序,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且只有两个零点,则实数 m 的取值范 围(﹣∞,0)∪{1}. 考点: 伪代码. 专题: 图表型;函数的性质及应用;算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算分段函数 f(x)= 的函数值;函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R

上有且只有两个零点,则我们可以在同一平面直角坐标系中画出 y=f(x)与 y=m 的图象进 行分析. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算分段函数 f(x)= 的函数值;

其函数图象如图所示: 又∵函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且只有两个零点, 则由图可得 m<0 或 m=1, 故答案为: (﹣∞,0)∪{1}. 点评: 本题考查程序框图以及函数的零点,通过对程序框图的理解,转化为函数图象,然 后把函数零点转化为交点个数问题,属于中档题.

14.平面几何里有设:直角三角形 ABC 的两直角边分别为 a,b,斜边上的高为 h,则 + = 拓展到空间:设三棱锥 A﹣BCD 的三个侧棱两两垂直,其长分别为 a,b,c, = .

面 BCD 上的高为 h,则有

考点: 类比推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比:平面?空间,点?点或直线, 直线?直线或平面,平面图形?平面图形或立体图形,故本题由平面上的直角三角形中的 边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可. 解答: 解:∵A﹣BCD 的三个侧棱两两垂直, ∴AB⊥平面 BCD. 由已知有:CD 上的高 AE= ,h=AO= ,

∴h = 故答案为: =

2

,即

=





点评: 类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移 到另一类数学对象上去.其思维过程大致是:观察、比较 联想、类推猜测新的结论.

15.若函数 f(x)=

,f

(2)

(x)=f[f(x)],f

(3)

(x)=f(f(f(x) ) ) ,则 f

(99)

(1)

=



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中 f
(n)

(x)=f[f

(n﹣1)

(x)],函数 f(x)=

,逐项求出 f

(n)

(1)并

分析规律,可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,f
(2)

(x)=f[f(x)],f

(3)

(x)=f(f(f(x) ) ) ,…

∴函数 f(1)= f
(2)

, )= ,

(1)=f(

f f

(3)

(1)=f(

)= , ,

(4)

(1)=f( )=

… ∴f ∴f
(n)

(1)= (1)= .

, = ,

(99)

故答案为:

点评: 本题考查的知识点是函数的值,其中分析出 f 键.

(n)

(1)值的变化规律,是解答的关

16.平面上有 k 个圆,每两个圆都交于两点,且无三个圆交于一点,设 k 个圆把平面分成 f (k)个区域,那么 k+1 个圆把平面分成 f(k)+2k 个区域. 考点: 数学归纳法. 专题: 推理和证明. 分析: 我们由两个圆相交将平面分为 4 分, 三个圆相交将平面分为 8 分, 四个圆相交将平 面分为 14 部分,我们进行归纳推理,易得到结论. 解答: 解:∵一个圆将平面分为 2 份 两个圆相交将平面分为 4=2+2 份, 三个圆相交将平面分为 8=2+2+4 份, 四个圆相交将平面分为 14=2+2+4+6 份, … 平面内 k 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点, 则该 k 个圆分平面区域数 f(k)=2+(k﹣1)k=k ﹣k+2 ∴f(k+1)=f(k)+2k, 故答案为:2k. 点评: 本题主要考查了进行简单的合情推理.归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别 情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 三、解答题 17.求 y=e
﹣2x

2

sin3x 的导数.

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数饿运算法则和复合函数恩对求导法则求导即可. 解答: 解:y′=(e )′sin3x+e (sin3x)′=e (﹣2x)′sin3x+e cos3x(3x)′=e (﹣2sin3x+3cos3x) . 点评: 本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则,属于基础题.
﹣2x ﹣2x ﹣2x ﹣2x ﹣2x

18.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的正整数 n,an 与 2 的等差 中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列的前三项; (2)猜出通项公式,用数列归纳加以证明. 考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由题意 ,令 n=1,因为 s1=a1,可求出 a1 的值,再反复代入,分

别求出 a2,a3, (2)根据概率猜想通项公式 an,利用归纳法进行证明,假设 n=k 成立,然后利用已知条件 验证 n=k+1 是否成立,从而求证. 解答: 解: (1)由( ) =2Sn,得 Sn=
2

,可求得 a1=2, a2=6,a3=10,

(2)由此猜想{an}的通项公式 an=4n﹣2(n∈N+) . 证明:①当 n=1 时,a1=2,等式成立; ②假设当 n=k 时,等式成立,即 ak=4k﹣2, ∴ak+1=Sk+1﹣Sk= ,

∴(ak+1+ak) (ak+1﹣ak﹣4)=0,又 ak+1+ak≠0 ∴ak+1﹣ak﹣4=0, ∴ak+1=ak+4=4k﹣2+4=4(k+1)﹣2 ∴当 n=k+1 时,等式也成立. 由①②可得 an=4n﹣2(n∈N+)成立. 点评: 本题主要考查了递推关系,以及数学归纳法的应用,同时考查了运算求解的能力, 属于中档题. 19.已知数列 a0=1,an=nan﹣1+1,用框图和语句表示算法,输出使 an≤50 的最大的正整数 n. 考点: 设计程序框图解决实际问题. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由题目给出的数列递推式, 利用循环结构得程序框图, 结合算法及框图写出相应程 序语句即可. 解答: 解:程序框图如下: 语句如下: a0=1 Do n=0 n=n+1 an=nan﹣1+1 Loop While a≤50

输出 n 点评: 本题考查了设计程序框图解决实际问题,由数列的递推公式求解数列的通项公式, 属于基础题. 20.求过点(1,1)且与 y=x 相切的直线方程. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 设切点为(x0,y0) ,根据解析式求出导数、y0,由导数的几何意义求出切线的斜 率,由点斜式方程求出切线方程,把点(1,1)代入切线方程通过因式分解求出 x,代入切 线方程化简即可. 解答: 解:设切点为(x0,y0) ,由题意得 y=3x ,y0=x0 , 2 则切线的斜率 k=3x0 , 3 2 ∴切线方程是:y﹣x0 =3x0 (x﹣x0) ,① 3 2 ∵切线过过点(1,1) ,∴1﹣x0 =3x0 (1﹣x0) , 3 2 化简得,2x0 ﹣3x0 +1=0, 3 2 2(x0 ﹣1)﹣3(x0 ﹣1)=0, 2 则(x0﹣1) (2x0 ﹣x0﹣1)=0, 解得 x0=1 或 x0= ,代入①得:3x﹣y﹣2=0 或 3x﹣4y+1=0, ∴切线方程为 3x﹣y﹣2=0 或 3x﹣4y+1=0. 点评: 本题考查了导数的几何意义,即点 P 处的切线的斜率是该点出的导数值,以及切 点在曲线上和切线上的应用,注意在某点处的切线和过某点的切线的区别,考查化简、计算 能力. 21.△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,求证:
2 3 3



考点: 综合法与分析法(选修) . 专题: 证明题. 分析: △ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列?B=60°,利用余弦定理可知 b =a +c ﹣ ac,利用分析法证明,要使原结论成立,只需证 ﹣ac,代入,再整理即可. 解答: 证明:要证原式,只要证 + =3,即 + =1, + =1,左端通分整理后将 b =a +c
2 2 2 2 2 2

即只要证 而 A+C=2B,B=60°, 2 2 2 ∴b =a +c ﹣ac, ∴ =

=1,

=

=1 成立.

故原结论成立. 点评: 本题考查分析法,着重考查推理证明,考查余弦定理与整体代换,属于中档题. 22.已知函数 f(x)=|log2(x+1)|,实数 m、n 在其定义域内,且 m<n,f(m)=f(n) .求 证: (1)m+n>0; (2)f(m )<f(m+n)<f(n ) . 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 证明题. 分析: (1)由 f(m)=f(n) ,得 log2(m+1)=±log2(n+1) ,由此入手能够证明出 m+n= ﹣mn>0. (2)当 x>0 时,f(x)=|log2(x+1)|=log2(x+1)在(0,+∞)上为增函数.由题设条件 2 2 2 能够导出 m(m+n)<0.所以 f(m )<f(m+n) .同理, (m+n)﹣n =﹣mn﹣n =﹣n(m+n) 2 2 <0,由此能够证明 f(m )<f(m+n)<f(n ) . 解答: (1)证明:由 f(m)=f(n) ,得|log2(m+1)|=|log2(n+1)|,即 log2(m+1)=±log2 (n+1) , log2(m+1)=log2(n+1) ,① 或 log2(m+1)=log2 .②
2 2

由①得 m+1=n+1,与 m<n 矛盾,舍去. 由②得 m+1= ,即(m+1) (n+1)=1.③

∴m+1<1<n+1.∴m<0<n.∴mn<0. 由③得 mn+m+n=0,m+n=﹣mn>0. (2)证明:当 x>0 时,f(x)=|log2(x+1)|=log2(x+1)在(0,+∞)上为增函数. 2 2 由(1)知 m ﹣(m+n)=m +mn=m(m+n) ,且 m<0,m+n>0,∴m(m+n)<0. 2 2 ∴m ﹣(m+n)<0,0<m <m+n. 2 ∴f(m )<f(m+n) . 2 2 同理, (m+n)﹣n =﹣mn﹣n =﹣n(m+n)<0, 2 2 ∴0<m+n<n .∴f(m+n)<f(n ) . 2 2 ∴f(m )<f(m+n)<f(n ) . 点评: 本题考查对数函数的性质和综合应用,解题时要认真审题,注意积累证明方法,提 高解题能力.


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