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2.2等差数列(1)导学案


2.2 等差数列(1)导学案
【学习目标】理解等差数列的概念,了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件, 能根据定义判断一个数列是等差数列;探索并掌握等差数列的通项公式;正确认识使用等差 数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 【学习过程】 问题:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征? ①已知数列 ?a n ?满足 a n ? a n ?1 ? 1, n ? N , n ? 2 , a1 ? 3, 数列的前 5 项
?

?

?

② 0,5,10,15,20,25,? ③ 48,53,58,63 ④18,15.5,13,10.5,8,5.5 ⑤ 10072,10144,10216,10288,10366 问题:这些数列的共同点是 1. 等差数列: 一 般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 一项的 等于同一个常数,这个 数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的 , 常用字母 表示. 问题:等差数列概念的理解 (1)如何用数学符号来描述等差数列?定义式:_____________________ (2)若把等差数列概念中的“同一个”去掉,则这个数列等差数列吗? (3)设 d 为等差数列{an}的公差,则当 d>0 时,{an}为______数列; 当 d<0 时,{an}为______数列;当 d=0 时,{an}为_____数列. 练习:观察下列数列是否是等差数列: ① 1,2,4,6,8,10,?? ② 0,1,2,3,4,5,6,?? ③ 3,3,3,3,3,3,3,?? ④ 2,4,7,11,16,?? ⑤ -8,-6,-4,0,2,4,?? ⑥ 3,0,-3,-6,-9,?? 结合等差数列的概念,再举出几个生活中等差数列的例子。 思考:在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列: (1)-12,( ),-6 (2)8,( ),20, (3)a,( ),b 2.等差中项:由三个数 a,A, b 组成的等差数列, 这时数 叫做数 和 的等差中项,用等式表示为 A= 问题:开头 5 个数列①、②、③、④、⑤的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 探究:已知等差数列 ?a n ?的首项为 a1 ,公差为 d ,试推导其通项公式 方法 1: (迭代法)? ?a n ?是等差数列,? a 2 ? a1 ? d , a3 ? a 2 ? d ? a1 ? __ d

a 4 ? a3 ? d ? a1 ? __ d , ??, an ? a1 ? ________d ,

?a 2 ? a1 ? ?a ? a ? 3 2 ? ? 方法 2: (叠加法)根据等差数列的定义: ?a 4 ? a3 ? ?..... ? ? ?a n ? a n ?1 ?
将这 个等式左右两边分别相加可得 ,即 a n ?

当 n ? 1时,等式两边均为 结论:等差数列 ?a n ?的通项公式是

,则对一切 n ? N , a n ?

?

※ 典型例题 例 1、 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项; ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项?

练习: (1)求等差数列 3,7,11,??的第 10 项.
[来源:Zxxk.Com]

(2)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.

例 2、已知数列的通项 公式为 an ? 6n ? 1 ,问这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与 公差分别是什么?

变式:已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定是 等差数列?若是,首项与公差分别是多少?

【规律方法总结】 判断数列{an}是等差数列的方法: (1)定义法: ; (2)等差中项: (n≥2,n∈N*); (3)解析式: . ※ 动手试试 1. 等差数列 1,-1,-3,?,-89 的项数是 A. 92 B. 47 C. 46 D. 45 2. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 5 ,则此数列是

( (

) )

A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 5 的等差数列 C.首项为 2 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列 3. 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则∠B= . 4. 等差数列的相邻 4 项是 a+1,a+3,b,a+b,那么 a= ,b= . 5. 在等差数列 ?an ? 中,
[来源:学|科|网]

⑴已知 a1 ? 2 ,d=3,n=10,求 an ; ⑵已知 a1 ? 3 , an ? 21 ,d=2,求 n;

⑶已知 a1 ? 12 , a6 ? 27 ,求 d;

1 ⑷已知 d =- , a7 ? 8 ,求 a1 . 3

※ 学习小结:1. 等差数列定义: an ? an ?1 ? d (n≥2); 2. 等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1). 3.要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an ?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关的常数.


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