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福建师大附中2013届高三上学期期中考试数学理试题


福建师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1. 分) (5 (2013?泰安一模)已知集合 A={﹣1,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于( A.{﹣1,0,1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{0,1}<

br />x



考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数的性质求出集合 B 中不等式的解集,确定出集合 B,找出 A 与 B 的公 共元素,即可求出两集合的交集. 0 x 2 解答: 解:由集合 B 中的不等式变形得:2 ≤2 <2 , 解得:0≤x<2, ∴B=[0,2) ,又 A={﹣1,1}, 则 A∩B={1}. 故选 B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
.

2. 分) (5 (2010?泰安一模)若复数 ( ) A.﹣2

是纯虚数(i 是虚数单位) ,则 a 的值为

B.2

C.1

D.﹣1

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由复数的运算,化简可得复数为
.

,由纯虚数的定义可得答案. = ,

解答: 解:∵

=

因为为纯虚数,故 2﹣a=0 且 a+2≠0,解得 a=2, 故选 B 点评: 本题考查纯虚数的概念,涉及复数代数形式的乘除运算,属基础题. 3. 分) (5 (2012?厦门模拟)“2<x<3”是“x(x﹣5)<0”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 应用题. 分析: 2<x<3 可得 x(x﹣5)<0;由 x(x﹣5)<0 可得 0<x<5,从而可判断 由 解答: 解:由 2<x<3 可得 x(x﹣5)<0 由 x(x﹣5)<0 可得 0<x<5
.

∴“2<x<3”是“x(x﹣5)<0”的充分不必要条件 故选 A 点评: 本题主要考查了充分条件与必要条件的判断,属于基础试题

4. 分)已知向量 (5 A. B. C.

,则向量

的夹角为( D.



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 由向量的夹角公式可得 cosθ= 解答: 解:设向量

.

,代入可求向量的夹角

的夹角为 θ

由向量的夹角公式可得 cosθ= ∵0≤θ≤π ∴

=

=

故选 C 点评: 本题主要考查了向量的夹角公式的坐标表示,属于基础试题

5. 分)给出命题:已知 a、b 为实数,若 a+b=1,则 ab≤ .在它的逆命题、否命题、逆 (5 否命三个命题中,真命题的个数是( A.3 B.2 ) C.1 D.0

考点: 四种命题的真假关系. 专题: 计算题;证明题. 分析: 首先根据基本不等式判断原命题是正确的,则原命题的逆否命题就是正确的,再判断 原命题的逆命题的真假, 用特例判断是一个假命题, 则原命题的否命题是一个假命题. 解答: 解:∵a、b 为实数,a+b=1,
.

∴ab≤

=

∴原命题是正确的, ∴逆否命题是正确的, 原命题的逆命题是:已知 a、b 为实数,若 ab≤ ,则 a+b=1 这个命题只要举出 a=b= ,

就可以说明这个命题是假命题, ∴原命题的否命题也是一个假命题, ∴它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中,真命题的个数是 1, 故选 C. 点评: 本题考查圆命题的三个命题的真假,这种题目只要判断其中两个命题的真假就可以, 因为原命题与它的逆否命题具有相同的真假,否命题与逆命题具有相同的真假.

6. 分)下列函数中,周期为 π,且在 (5 A. B. C.

上单调递增的奇函数是( D.



考点: 正弦函数的单调性;正弦函数的奇偶性. 专题: 综合题;三角函数的图像与性质. 分析: 将三角函数的化简,确定函数的奇偶性、周期性、单调性,即可得到结论. 解答: 解:对于 A,函数的周期为 2π,故不符合题意;
.

对于 B, 数,故不符合题意; 对于 C, 对于 D,

=sin2x,周期为 π,且在

上单调递减的奇函

=cos2x,函数为偶函数,故不符合题意; =﹣sin2x,周期为 π,且在 上单调递增的奇函

数,故符合题意, 故选 D. 点评: 本题考查三角函数的性质,考查三角函数的化简,周期运用三角函数的性质是关键.

7. 分)把函数 (5

的图象向左平移

个单位,再把所得函数图象上所 )

有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到图象的解析式为( A.y=5sinx B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 第一次变换可得得到函数 y=5sin[2(x+ )﹣ ]= 的图象,再经
.

过第二次变换可得 解答: 解:把函数 (x+ )﹣ ]=

的图象,从而得出结论. 的图象向左平移 的图象, 个单位,得到函数 y=5sin[2

再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到图象的

解析式为



故选 B. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题. 8. 分) (5 (2013?日照二模)在同一个坐标系中画出函数 y=a ,y=sinax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给图象中可能正确的是( ) A B C D . . . .
x

考点: 指数函数的图像与性质;正弦函数的图象. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 本题是选择题,采用逐一排除法进行判定,再根据指对数函数和三角函数的图象的特 征进行判定. 解答: 解:正弦函数的周期公式 T= ,∴y=sinax 的最小正周期 T= ;
.

对于 A:T>2π,故 a<1,因为 y=a 的图象是增函数,故错; x 对于 B:T<2π,故 a>1,而函数 y=a 是减函数,故错; x 对于 C:T=2π,故 a=1,∴y=a =1,故错; x 对于 D:T>2π,故 a<1,∴y=a 是减函数,故对; 故选 D 点评: 本题主要考查了指数函数的图象,以及对三角函数的图象,属于基础题.

x

9. 分)已知 (5 A.

, B.2



, C.

,则

的最大值为( D.



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可知四边形 ABCD 为圆内接四边形, 由圆的最长的弦为其直径, 只需由勾股定 理求的 AC 的长即可. 解答: 解:由题意可知:AB⊥BC,CD⊥AD, 故四边形 ABCD 为圆内接四边形,
.

且圆的直径为 AC,由勾股定理可得 AC= 因为 BD 为上述圆的弦,而圆的最长的弦为其直径, 故 故选 C 的最大值为:

=



点评: 本题为模长的最值的求解,划归为圆内接四边形是解决问题的关键,属中档题 10. 分)如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在△ ABC 中用余弦定理解得 (5 , 乙同学在 Rt△ ACH 中解得 区间为( ) , 据此可得 cos72°的值所在

A.(0.1,0.2)

B.(0.2,0.3)

C.(0.3,0.4)

D.(0.4,0.5)

考点: 解三角形;余弦函数的定义域和值域. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据题意,建立方程,再构造函数.利用零点存在定理,确定零点所在区间. 解答: 解:根据题意可得
.

∴ 构造函数 ﹣1 ∵ , ∴x 所在区间为(0.3,0.4) 即 cos72°的值所在区间为(0.3,0.4) 故选 C. 点评: 本题考查解三角形,考查函数思想,考查函数零点的判断,属于中档题. 二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 分)已知数列{an}为等差数列,若 a3+a4+a5=9,则 S7= 21 . (5 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由数列{an}为等差数列,且 a3+a4+a5=9,能够得到 a4=3,再由等差数列的通项公式和 前 n 项和公式能够求出 S7. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列,且 a3+a4+a5=9,
.

∴a4=3, ∴S7= (a1+a7)=7a4=21. 故答案为:21. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用, 是基础题. 解题时要认真审题, 仔细解答. 12. 分) (5 (2013?泰安二模) 在△ ABC 中, A, C 的对边分别是 a, c, sinB=2sinC, 角 B, b, 若 ,则 A= .

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由正弦定理知 sinB=
.

,故由 sinB=2sinC,得到 b=2c,再由

,得

到 a= ,由此利用余弦定理能够求出 cosA,进而能够求出 A. 解答: 解:∵在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, ∴ ,∴sinB= ,

∵sinB=2sinC,∴ ∵
2 2 2

,即 b=2c,

, , = . . =﹣ ,

∴a ﹣4c =3c ,∴a= ∴cosA= ∴A=

故答案为:

点评: 本题考查三角形中内角大小的求法,解题时要认真审题,注意正弦定理和余弦定理的 合理运用.
2

13. 分) (5 函数 f x) ( =

cos x+sinxcosx



) 的取值范围是 [ , 1] .

考点: 复合三角函数的单调性;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 sin(
.

+2x) ,根据 x 的范围求

得函数 f(x)的值域. 解答: 2 解:∵函数 f(x)= cos x+sinxcosx

=

?

+ sin2x﹣

= ∴

cos2x+ sin2x=sin( ≤x≤ ,∴ ≤sin(

+2x) ,0≤x≤ +2x)≤1.



故函数 f(x)的值域为[ ,1], 故答案为[ ,1]. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,求正弦函数的定义域和值域,属于中 档题. 14. 分)偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) (5 ,且当 x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1,则关于 x 的方程 上解的个数是 3 个.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 讨论函数 y=f(x)奇偶性、周期性和 x∈[0,1]时的表达式,可得函数 y=f(x)在区
.

间[﹣1,3]上的图象,由此作出函数 y=f(x)与 g(x)=

在同一坐标系内区

间[0,3]上的图象,结合函数零点存在性定理加以讨论,可得本题答案. 解答: 解:∵当 x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1, ∴函数 y=f(x)在[0,1]上的图象是以(0,1)和(1,0) 为端点的线段 ∵函数 y=f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称 ∴当 x∈[﹣1,0]时,函数图象是以(0,1)和(﹣1,0) 为端点的线段 又∵函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) , ∴将函数图象在区间[﹣1,1]上的图象向右平移 2 个单位, 可得区间[1,3]上的图象 因此,作出函数 y=f(x)与 g(x)= 显然它们有一个公共点 A(0,1) ∵f(1)=0<g(1)= ,f(2)=1>g(2)= , ∴两个图象在(1,2)上有一个公共点 B. 同理可得:两个图象在(2,3)上有一个公共点 C. 所以函数 y=f(x)与 g(x)= 故答案为:3 在区间[0,3]上的图象总共有 3 个不同的交点 在区间[0,3]上的图象如图所示

点评: 本题给出有周期的偶函数 f(x) ,讨论方程

在指定区间上零点的个

数,着重考查了函数的奇偶性、周期性和函数零点存在性定理等知识,属于中档题. 15. 分)已知数列{an}的通项公式为 (5 项. 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先求出 的表达式,进而利用函数的单调性即可求出.
.

,则数列

中数值最大的项是第 6

解答: 解:∵ = = =1 ,

可知:当 n≤5 时, 当 n≥6 时, 又 n≥6 时, ∴当 n=6 时, >1,



单调递减, 取得最大值.

故最大项为第 6 项. 故答案为 6. 点评: 熟练掌握函数的单调性是解题的关键.

16. 分) (5 如图△ ABC 中, AD=2DB, 2AE=EC, BE∩CD=P 若 则 x+y= .



考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由梅涅劳斯定理, 知: =1, 由△ ABC 中, AD=2DB, 2AE=EC, BE∩CD=P,
.



, 所以

=

, 再由



能求出结果. 解答: 解:如图,由梅涅劳斯定理,知: =1, ∵△ABC 中,AD=2DB,2AE=EC,BE∩CD=P, ∴ ∴ ∴ = = = = ∵ ∴x+y= . 故答案为: . , , , ,

点评: 本题考查向量的线性运算和几何意义,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注 意梅涅劳斯定理的合理运用. 17. 分)将方程 x+tanx=0 的正根从小到大地依次排列为 a1,a2,…,an,…,给出以下不 (5 等式:① ;② ;③2an+1>an+2+an;④2an+1<

an+2+an;其中,正确的判断是 ②④ . (请写出正确的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 在同一坐标系中分别画出直线 y1=﹣x 及正切曲线 y2=tanx 的图象, 借助图象分析方程 x+tanx=0 的正根的分布情况及变化规律,进而可得答案. 解答: 解:分别作直线 y1=﹣x 及正切曲线 y2=tanx 的图象如图所示: 则两者的交点即为 x+tanx=0 的根 则在正切函数的每一个周期 π 内,y1 与 y2 都有一个交点, 由图可得两个交点横坐标之间的差大于正切函数的半个周期, 但不超过正切函数的一个周期
.



<an+1﹣an<π,故②对①错.

从原点向右距离越来越大 ∴an+2﹣an+1>an+1﹣an,即:2an+1<an+2+an; 故④对③错. 故答案为:②④.

点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了正切函数的图象和性质, 方程根与函数零点的关

系,画出两个函数的图象,借助图象直观分析是解答的关键. 三、解答题:本大题有 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)已知数列{an}的通项公式为 an=2n﹣1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 Tn=1 ﹣bn (1)求{bn}的通项公式; (2)在{an}中是否存在使得 是{bn}中的项,若存在,请写出满足题意的一项(不要

求写出所有的项) ;若不存在,请说明理由. 考点: 数列的应用. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意可知 b1= ,bn=bn﹣1﹣bn,故{bn}为首项和公比均为 的等比数列,由此
.

能够求出{bn}的通项公式; (2)设{an}中第 m 项 am 满足题意,即 此可得结论. 解答: 解: (1)当 n=1 时,∵b1=T1=1﹣b1,∴b1= …(2 分) 当 n≥2 时,∵Tn=1﹣bn,∴Tn﹣1=1﹣bn﹣1, 两式相减得:bn=bn﹣1﹣bn,即:bn= bn﹣1…(6 分) 故{bn}为首项和公比均为 的等比数列, ∴bn= …(8 分) ,即 2m﹣1+25=2
n﹣1 n *

,从而可得 m=2

n﹣1

﹣12,由

(2)设{an}中第 m 项 am 满足题意,即
n﹣1 * *

所以 m=2 ﹣12 m∈N , ( n∈N ) 取 n=5, m=4,4=7 其它形如 m=2 ﹣12 m∈N , , 则 a ( ( * n∈N )的数均可)…(12 分) 点评: 本题考查数列的递推式的应用, 考查等比数列的判定, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 19. (12 分) (2007?山东)如图,甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行,乙船按 固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°的方向 B1 处, 此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方 向的 B2 处,此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 连接 A1B2,依题意可知 A2B2,求得 A1A2 的值,推断出△ A1A2B2 是等边三角形,进 而求得∠B1A1B2,在△ A1B2B1 中,利用余弦定理求得 B1B2 的值,进而求得乙船的速 度. 解答: 解:如图,连接 A1B2, , ,
.

△ A1A2B2 是等边三角形,∠B1A1B2=105°﹣60°=45°, 在△ A1B2B1 中,由余弦定理得 2 2 2 B1B2 =A1B1 +A1B2 ﹣2A1B1?A1B2cos45° = , . .

因此乙船的速度的大小为

答:乙船每小时航行 海里. 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用. 要能综合运用余弦定理, 正弦定理等基础知识, 考查了综合分析问题和解决实际问题的能力. 20. (13 分)如图,9 个正数排列成 3 行 3 列,其中每一行的数成等差数列,每一列的数成 等比数列,且所有的公比都是 q,已知 a12=1, ,又设第一行数列的公差为

d1. (Ⅰ)求出 a11,d1 及 q; (Ⅱ)若保持这 9 个数的位置不动,按照上述规律,补成一个 n 行 n 列的数表如下,试写出 数表第 n 行第 n 列 ann 的表达式,并求 Sn=a11+a22+a33+…+ann 的值.

考 数列与函数的综合. 点 : 专 综合题;等差数列与等比数列. 题 : 分 析 :
.

(Ⅰ)仔细观察图表,由题设条件知

,由此能求出求

出 a11,d1 及 q. (Ⅱ)由图表中的规律,知 由此利用错位相减法能求出 Sn=a11+a22+a33+…+ann 的值. 解 (本题满分 13 分) 答 解: (Ⅰ)∵9 个正数排列成 3 行 3 列,其中每一行的数成等差数列, : 每一列的数成等比数列,且所有的公比都是 q, a12=1, ,设第一行数列的公差为 d1. = ,





解得



(Ⅱ)因为 ∴

= ① ②



由①﹣②,得







点 本题考查数列与函数的综合应用,考查推理论证能力,考查等价转化思想,考查计算能 评 力,考查等差数列和等比数列的性质,解题时要注意错位相减法的合理运用. :

21. (13 分) (2012?厦门模拟) 已知函数 f (x) =Asin (2x+θ) 其中 A≠0, , 试分别解答下列两小题. (I)若函数 f(x)的图象过点 E



,求函数 y=f(x)的解

析式; (Ⅱ)如图,点 M,N 分别是函数 y=f(x)的图象在 y 轴两侧与 x 轴的两个相邻交点,函 数图象上的一点 P(t, )满足 ,求函数 f(x)的最大值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用; 平面向量数量积的坐标表示、 夹角; y=Asin ωx+φ) 模、 由 ( 的部分图象确定其解析式;三角函数的最值. 专题: 综合题. 分析: (I)根据函数 f(x)的图象过点 E ,建立方程,可
.

求 θ 的值,利用

,可求 A 的值,从而可得函数解析式;

(Ⅱ)利用 ,利用 P(t,

,可求|NC|=

,从而|MC|=|MN|﹣|NC|=

,由此可得

θ+2t=

)在图象上,即可求得函数 f(x)的最大值. , ,

解答: 解: (I)∵函数 f(x)的图象过点 E ∴Asin(﹣ ∴sin( +θ)=1,Asin( sin(﹣ θ=sinθ ,∴ +θ)=

+θ)=

+θ) ,

展开化简可得 ∴tanθ= ∵

∴函数 f(x)=Asin(2x+ ∵ ,∴A=2 ) ;

) ,

∴f(x)=2sin(2x+

(Ⅱ)设 P 在 x 轴上的射影为 C,∵ ∴|NC|= ∴|MC|=|MN|﹣|NC|= ∴t﹣(﹣ ∴θ+2t= ∵P(t, )在图象上 )﹣( +t)=

=

=

|NC|=

∴Asin(θ+2t)= ∴A= ∴函数 f(x)的最大值为 点评: 本题考查三角函数的解析式,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 22. (15 分) (2012?厦门模拟)已知函数 f(x)=21nx+ax ﹣1 (a∈R) (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=l,试解答下列两小题. (i)若不等式 f(1+x)+f(1﹣x)<m 对任意的 0<x<l 恒成立,求实数 m 的取值范围; (ii)若 x1,x2 是两个不相等的正数,且以 f(x1)+f(x2)=0,求证:x1+x2>2. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: (I)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,求导函数,令 f′(x)>0,分类讨论可得 函数的单调区间; 2 (Ⅱ) (i)构造函数 F(x)=f(1+x)+f(1﹣x)=2ln(1+x)+2ln(1﹣x)+2x ,求 导函数,确定 F(x)在(0,1)上为减函数,从而可求实数 m 的取值范围; 2 (ii)由 f(x1)+f(x2)=0,可得(x1+x2) =2x1x2﹣2lnx1x2+2 设 t=x1x2,则 t>0,g (t)=2t﹣2lnt+2,求出 g(t)min,即可证得结论. 解答: (I)解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=
.

2

令 f′(x)>0,∵x>0,∴2ax +2>0

2

①当 a≥0 时,f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)递增区间是(0,+∞) ; ②当 a<0 时,由 2ax +2>0 可得
2

<x<

x>0,∴f(x)递增区间是(0,

) ,递减区间为


2

(Ⅱ) (i)解:设 F(x)=f(1+x)+f(1﹣x)=2ln(1+x)+2ln(1﹣x)+2x ,则 F′ (x)= ∵0<x<l,∴F′(x)<0 在(0,1)上恒成立,∴F(x)在(0,1)上为减函数 ∴F(x)<F(0)=0,∴m≥0,∴实数 m 的取值范围为[0,+∞) ; (ii)证明:∵f(x1)+f(x2)=0, 2 2 ∴21nx1+x1 ﹣1+21nx2+x2 ﹣1=0 2 ∴2lnx1x2+(x1+x2) ﹣2x1x2﹣2=0 2 ∴(x1+x2) =2x1x2﹣2lnx1x2+2 设 t=x1x2,则 t>0,g(t)=2t﹣2lnt+2,∴g′(t)= 令 g′(t)>0,得 t>1,∴g(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增 ∴g(t)min=g(1)=4,∴(x1+x2) >4,∴x1+x2>2. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,解题的关键是构造 函数,正确运用导数.
2

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