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3.2号均值不等式(第二课时)


3.2 均值不等式(2) 一、教材分析: 1、 内容与地位: 本节课选自人教 B 版高中数学必修五第三章 3.2 节 (第二课时) , 主要内容是用均值不等式求函数最大、最小值.均值不等式是第三章“不等式” 的重要内容, 它起着承上启下的作用,学生在初中学习了不等式的概念以及简单 的不等式的解法,对不等式有了感性的认识,通过均值定理的学习,学生对不等 式的性质产生了理性的认识,并

将初步了解证明不等式的方法,为后续学习《选 修 2-2》中的推理证明、《选修 4-5》不等式选讲时得到加强. 2、教学目标 知识与技能: 理解均值不等式; 能用均值不等式解决简单的函数最大、最小值问题; 理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件; 过程与方法: 通过典型例题的探究增强探索能力及创新精神; 通过一题多解与一题多变提高学生发散思维能力; 渗透转化化归的数学思想. 情感与价值观: 培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力; 体现数学知识的相关性、严谨性、逻辑性. 由均值不等式体会数学知识的简洁美与和诣美. 3、重点与难点 重点:应用均值不等式求函数最值; 难点:理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件. 二、教法与学法 教法:本课采用讲授法与启发式相结合的教学方法,运用变式教学,使学生感受 知识的产生和发展过程,体会知识之间的联系与区别. 学法:选取合适习题,让学生自主探究,变被动接受知识为主动探索知识. 手段:多媒体演示教学. 1 三、教学过程 (一)复习回顾 在进行习题课教学前首先回顾均值不等式的内容,即: 如果 ,那么 ,当且仅当 时,式中等号成立.文字表述: 两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 均值不等式的其它等价形式:重要不等式: a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时,取 ? ) 变形: (1) a ? b ? 2 ab a?b 2 a?b 2 ) (3) ab ? ( 2 设计意图:通过对公式的复习使学生对习题课做好知识上的准备,能达到对公式 的灵活运用. (二)利用均值不等式求最小值、最大值 (2) ab ? 例 1 已知 x ? 0 ,求 y ? x ? 师生双边活动: 解:? x ? 0, 1 ?0 x 1 的最小值. x y ? x? 1 1 ? 2 x? ? 2 x x 1 时,取 ? x 当且仅当 x ? 即 x ? 1 时, ymin ? 2 . 学生在第一堂课会接触到均值不等式的证明以及在实际应用问题中的应用, 而通过例 1 可让学生在上一节课的基础上, 进一步感受均值不等式的另一个重要 作用, 即求函数的值域和最值问题,但由于用均值不等式求最值有严格的条件限 制,为了完善学生的思维,设计变式如下: 1 变式 1:已知 x ? 0 ,求 y ? x ? 的最大值. x 师生双边活动: 1 分析: x ? ? 1 x 2 能直接 y ? x ? 解:? x ? 0 1 1 ? 2 x ? ? 2 这么做吗? x x 1 ?0 x ? ? x ? 0,? y ? x? 1 x 1 ? ?( ? x ? ) x 1 1 ? (? x) ? ( ? ) ? 2 (? x) ? (? ) ? 2 x x ? y ? ?2 . 1 当且仅当 ? x ? ? 时,取 ? x 即 x ? ?1 时, ymax ? ?2 . 设计意图:突出均值不等式成立的等一个要素,即“正” :两项必须为正.为了 让学生进一步理解“正”这个条件,进一步设计变式如下:

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