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2012年全国高中数学联合竞赛江苏省预赛试题 Word版含答案


2012 高中数学联赛江 苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ? [ ?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为__18___. 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____. 3 、从集合 ?3,4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3

个数可以构成等差数列的概率为 _____

3 _______. 10

4、已知 a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位 ) ,则 | a ? bi | 的值为_____ 2 2 ___. 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾 12 4

斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交 于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 ___

3 ,则直线的斜率为

1 ____. 2
? alg a 的 取值范围是___ [1, ??) _____.
AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的体

6、已知 a 是正实数, k

7 、在四面体 ABCD 中, AB ? 积为_____ 5 8 、 已

3


_______. 等

[来源:学+科+网]







?an?











?bn?





: ___.

a1 ? b1 3 ? , a2 ?
( n? N )
*

b a 7 ? ? , b3 1 ? 5 , a4 ? 23

? ___ 3n?1 ? 2n b4则 ?a 3n ? 5bn ,

75 9、将 27,37,47,48,55 71 ,



这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则

这样的排列有___144_____种. 10 、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组

(a, b, c) 的个数为__24___.
二、 解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中 ,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明:
[来源:学科网]

(1) b cos C

? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

a f ( x) ? | lx n ? x

? |b x ? (.

若0

)

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a, b ; (2)求函数 (3)若实数

e ? ln 2 ? 1 . 2

f ( x) 的单调区间;

c, d 满足 c ? d , cd ? 1,求证: f (c) ? f (d )

[来源:Z#xx#k.Com]

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线

OM

上有一动点 B ,

AB ? 1, OB ? 1. 线段 AB 交圆 O 于另一点
[来源:学科网 ZXXK]

C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

[来源:学科网]

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 是整数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明 :存在边长

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