当前位置:首页 >> 数学 >> 高考数学重点难点复习(12):等差数列与等比数列的性质应用

高考数学重点难点复习(12):等差数列与等比数列的性质应用


七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

难点 12

等差数列、等比数列的性质运用

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前 n 项和公式的引申.应用等差等比数列 的性质解题, 往往可以回避求其首项和公差或公比, 使问题得到整体地解决, 能够在运算时达到运算灵活, 方便快捷的目的,故一

直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容. ● 难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30, 2m 项的和为 100, 前 求它的前 3m 项的和为_________. ● 案例探究 [例 1]已知函数 f(x)=
1 x ?4
2


(x<-2).

(1) 求 f(x)的反函数 f- 1(x); (2) 设 a1=1,

1 a n ?1

=-f

--1

(an)(n∈N*),求 an;

(3) 设 Sn=a12+a22+?+an2,bn=Sn+1-Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< 在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

m 成立?若存 25

命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属★★★★★级 题目. 知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉, 结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题. 错解分析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,(2) 问以数列{ 为桥梁求 an,不易突破. 技巧与方法:(2) 问由式子 1 ?
a n ?1 1 an
2

1 an
2

}

?4 得

1 a n ?1
2

?

1 =4, 构造等差数列{ 1 }, 从而求得 a ,即“借鸡 n 2 2 an an

生蛋”是求数列通项的常用技巧; 解:(1) 设 y= 即 y=f
--1

(3) 问运用了函数的思想.
y

1 x2 ? 4

,

∵x<-2, ∴x=- 4 ? 1 , 2 (x>0)

(x)=- 4 ? 1 2
y

(2) ∵ 1 ? 4 ? 1 ,? 1 2
an ?1 an

an ?1

2

?

1 an
2

?4,

∴{ 1 }是公差为 4 的等差数列,
an
2

∵a1=1,

an

1 = 1 +4(n-1)=4n-3, 2 2 a1

∵an>0,

∴an=

1 4n ? 3

.

(3) bn=Sn+1-Sn=an+12= 设 g(n)=
25 , 4n ? 1

1 , 由 bn< m , 得 m> 25 , 4n ? 1 25 4n ? 1

1

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

∵ g(n)=

25 在 n∈N*上是减函数, 4n ? 1

∴ g(n)的最大值是 g(1)=5, ∴ m>5, 存在最小正整数 m=6, 使对任意 n∈N*有 bn< m 成立.
25

[例 2]设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍,且第二项 与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3, lg3=0.4) 命题意图: 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则, 等差数列与等比数列之间的联系以及运算、 分析能力.属★★★★★级题目. 知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前 n 项和公式合理转化条件,求出 an;进而利用对数的运算性质 明确数列{lgan}为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解. 错解分析:题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易出错;而对数的运 算性质也是易混淆的地方. 技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前 n 项和有最大 值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列 Sn 是 n 的二次函数,也可由函数解析式求最值. 解法一:设公比为 q, 项数为 2m, m∈N*, 依题意有
? a1 ? ( q 2 m ? 1) a1q ? ( q 2 m ? 1) ? ? q ?1 q2 ?1 ? ? 3 2 3 ?(a1q) ? (a1q ) ? 9(a1q ? a1q )

化简得 ? q ? 1 ? 1

? 4q

? ?a q 2 ? 9(1 ? q), ? 1

1 ? ?q ? . 解得? 3 ?a1 ? 108 ?

设数列{lgan}前 n 项和为 Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+?+lga1qn 1=lga1n·q1+2+ =nlga1+
- ?+(n-1)

1 1 n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)- n(n-1)lg3 2 2
2
2 lg 2 ? 7 lg 3 时,Sn 最大. 2 lg 3

=(- lg 3 )·n2+(2lg2+ 7 lg3)·n
2

可见,当 n=



2 lg 2 ?

7 lg 3 4 ? 0.3 ? 7 ? 0.4 2 ? lg 3 2 ? 0.4

=5, 故{lgan}的前 5 项和最大.

解法二:接前, ? ?

? a1 ? 108 , 1 ?q ? 3 ?

于是 lgan=lg[108(

1 n-1 1 ) ]=lg108+(n-1)lg , 3 3

∴ 数列{lgan}是以 lg108 为首项,以 lg 1 为公差的等差数列,
3

令 lgan≥0, 得 2lg2-(n-4)lg3≥0, 由于 n∈N ,
*

∴n≤ 2 lg 2 ? 4 lg 3 ? 2 ? 0.3 ? 4 ? 0.4 =5.5.
lg 3 0.4

可见数列{lgan}的前 5 项和最大.
2

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

● 锦囊妙计 1. 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题的既快捷又方 便的工具,应有意识去应用. 2. 在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标 意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能 取得与“巧用性质”解题相同的效果. ● 歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若

S10 31 ? ,则 lim Sn 等于( S 5 32 n ??
D.-2

)

A.

2 3

B.?

2 3

C.2

二、填空题 2.(★★★★)已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logm(ab)<1, 则 m 的取值范围是 _________. 3.(★★★★)等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项为 _________. 4.(★★★★)已知 a、b、c 成等比数列,如果 a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,则 三、解答题 5.(★★★★★)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1) 求公差 d 的取值范围; (2) 指出 S1、S2、?、S12 中哪一个值最大,并说明理由. 6.(★★★★★)已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0, 由{an}中的部分项组成的数列 a b1 ,a b2 ,?,a bn ,?为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17. (1) 求数列{bn}的通项公式; (2) 记 Tn=C 1 b1+C 2 b2+C 3 b3+?+C n bn,求 lim n n n n
n ??

a c ? =_________. x y

Tn . 4 ? bn
n

7.(★★★★)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3, 分别求出{an}及{bn}的 前 n 项和 S10 及 T10. 8.(★★★★★){an}为等差数列,公差 d≠0, an≠0, (n∈N*), 且 akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1) 求证:当 k 取不同自然数时,此方程有公共根; (2) 若方程不同的根依次为 x1,x2,?,xn,?, 求证:数列

1 1 1 , ,?, 为等差数列. x1 ? 1 x2 ? 1 xn ? 1

3

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

难点 12
难点磁场

等差数列、等比数列的性质运用

参考答案

解法一:将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na1+ n(n ? 1) d,得:
2

m(m ? 1) ? d ? 30 ?ma1 ? ? 2 ? ?2ma ? 2m(2m ? 1) d ? 100 1 ? 2 ?
解得d ? 40 10 20 3m(3m ? 1) , a1 ? ? 2 ,? S 3m ? 3ma1 ? d ? 210 2 m 2 m m

① ②

解法二:由 S3m ? 3ma1 ? 3m(3m ? 1) d ? 3m[a1 ? (3m ? 1)d ]知,
2 2

要求 S3m 只需求 m[a1+ (3m ? 1)d ],
2

将②-①得 ma1+

m(3m ? 1) 2

d=70,

∴S3m=210.

解法三:由等差数列{an}的前 n 项和公式知,Sn 是关于 n 的二次函数, 即 Sn=An2+Bn(A、B 是常数). 将 Sm=30,S2m=100 代入,得
20 ? ? A ? m2 ? Am 2 ? Bm ? 30 ? ? ,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 ?? ? ? A(2m) 2 ? B ? 2m ? 100 ? B ? 10 ? ? m ?

解法四:S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+?+a3m =S2m+(a1+2md)+?+(am+2md) =S2m+(a1+?+am)+m·2md =S2m+Sm+2m2d. 由解法一知 d=

40 , m2

代入得 S3m=210.

解法五:根据等差数列性质知:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列, 从而有:2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m) ∴S3m=3(S2m-Sm)=210 解法六:∵Sn=na1+ n(n ? 1) d,
2

Sn n(n ? 1) =a1+ d n 2 S ( x ? 1)d ∴ 点(n, n )是直线 y= +a1 上的一串点, 2 n S S S 由三点(m, m ), (2m, 2m ), (3m, 3m )共线,易得 S3m=3(S2m-Sm)=210. m 3m 2m
∴ 解法七:令 m=1 得 S1=30,S2=100,得 a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70 ∴a3=70+(70-30)=110 ∴S3=a1+a2+a3=210 答案:210 歼灭难点训练
4

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

一、1. 解析:利用等比数列和的性质. 依题意, ∴ S10 ? S 5 ? 31 ? 32 ? ? 1 ,
S5 32 32

S10 31 ? ,而 a1=-1,故 q≠1, S 5 32

根据等比数列性质知 S5,S10-S5,S15-S10,?,也成等比数列, 且它的公比为 q5, ∴q5=-

1 , 32
1? q

即 q=-

1 . 2
答案:B 答案:(-∞,8) 答案:第 11 项 a11=29

∴ lim S n ? a1 ? ? 2 .
n ??

3

二、2. 解析:解出 a、b,解对数不等式即可. 3. 解析:利用 S 奇/S 偶= 4. 解法一:赋值法. 解法二: b=aq, c=aq2,
1

n ?1 得解. n

x=

1 1 (a+b)= a(1+q), 2 2
1

y=

1 1 (b+c)= aq(1+q), 2 2
答案:2

a 2 q (1 ? q ) ? a 2 q 2 (1 ? q ) a c ay ? cx 2 2 ? = =2. ? x y 1 2 xy 2 4 a q (1 ? q )
? ?a 3 ? a1 ? 2d ? 12, 三、5. (1) 解:依题意有: ? 12 ? 11 ? d ?0 ? S12 ? 12a1 ? 2 ? 13 ? 12 ? d ?0 ? S13 ? 13a1 ? 2 ?

解之得公差 d 的取值范围为- 24 <d<-3.
7

(2) 解法一:由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13, 因此,在 S1,S2,?,S12 中 Sk 为最大值的条件为: ak≥0 且 ak+1<0, ∵a3=12, ∵- 即 ?a3 ? (k ? 3)d ? 0 ?
?a3 ? (k ? 2)d ? 0

∴ ?kd ? 3d ? 12 ,∵d<0, ?
?kd ? 2d ? 12

∴2- 12 <k≤3- 12
d d

24 <d<-3, 7



7 12 <- <4, 2 d

得 5.5<k<7.

因为 k 是正整数,所以 k=6, 解法二:由 d<0 得 a1>a2>?>a12>a13,

即在 S1,S2,?,S12 中,S6 最大.

因此,若在 1≤k≤12 中有自然数 k, 使得 ak≥0, 且 ak+1<0, 则 Sk 是 S1,S2,?,S12 中的最大值. 由等差数列性质得,当 m、n、p、q∈N*, 且 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq. 所以有:2a7=a1+a13=

2 S13<0, 13
5

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

∴ a7<0,a7+a6=a1+a12= ∴ a6≥-a7>0,

1 S12>0, 6

故在 S1,S2,?,S12 中 S6 最大.

解法三:依题意得: Sn ? na1 ?

n d (n ? 1)d ? n(12 ? 2d ) ? (n2 ? n) 2 2 d 1 24 d 24 1 24 ? [n ? (5 ? )]2 ? (5 ? ) 2 ,? d ? 0,?[n ? (5 ? )]2 2 2 d 8 d 2 d

最小时, Sn 最大;

24 <d<-3, 7 1 24 ∴ 6< (5- )<6.5. 2 d
∵- 从而,在正整数中,当 n=6 时,[n-

1 24 2 (5- )] 最小,所以 S6 最大. 2 d

点评:该题的第(1) 问通过建立不等式组求解属基本要求,难度不高,入手容易. 第(2)问难度较高,为求{Sn}中的最大值 Sk,1≤k≤12, 思路之一是知道 Sk 为最大值的充要条件是 ak≥0 且 ak+1<0, 思路之三是可视 Sn 为 n 的二次函数,借助配方法可求解. 它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力,较好地体现高考试题注重能力考查的特点. 思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律,找出“分水岭”,从而得解. 6. 解:(1) 由题意知 a52=a1·a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d) ? a1d=2d2, ∵ d≠0, ∴a1=2d, 数列{ abn }的公比 q= ∴ abn =a1·3n
-1

a5 a1 ? 4d ? =3, a1 a1
① ②

bn ? 1 a1 2 b ?1 - 由①②得 a1·3n 1= n ·a1. 2
又 abn =a1+(bn-1)d= ∵a1=2d≠0, ∴bn=2·3n 1-1.


(2) Tn=C 1 b1+C 2 b2+?+C n bn n n n =C 1 (2·30-1)+C 2 ·(2·31-1)+?+C n (2·3n 1-1) n n n


2 1 (C n +C 2 ·32+?+C n ·3n)-(C 1 +C 2 +?+C n ) n n n n n 3 2 = [(1+3)n-1]-(2n-1) 3 2 1 = ·4n-2n+ , 3 3
=

2 n 1 2 1 n 1 1 n ? 4 ? 2n ? ?( ) ? ( ) Tn 2 3? 3 2 3 4 ? lim n ? lim 3n ? . lim n ?1 n?? 4 ? bn n?? 4 ? 2 ? 3 ? 1 n?? 1 ? 1 ? ( 3 ) n?1 ? ( 1 ) n 3 2 4 4
7. 解:∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴a2+a4=2a3,
6

b2·b4=b32,

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

已知 a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32, 得 b3=2b32, ∵ b3≠0, ∴ b3= 由 a1=1,a3=

1 1 , a3= . 2 4

1 3 ,知{an}的公差 d=- , 4 8 10? 9 55 ∴ S10=10a1+ d=- . 2 8 2 2 1 由 b1=1, b3= , 知{bn}的公比 q= 或 q=- , 2 2 2
当q ? b (1 ? q10 ) 31 2 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ); 2 1? q 32 b (1 ? q10 ) 31 2 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ). 2 1? q 32
∴2ak+1=ak+ak+2,

当q ? ?

8.证明:(1)∵{an}是等差数列,

故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为(akx+ak+2)(x+1)=0, ∴当 k 取不同自然数时,原方程有一个公共根-1. (2)原方程不同的根为 xk= ?

ak ? 2 a ? 2d 2d ?? k ? ?1 ? ak ak ak

? ?

a 1 ?? k , xk ? 1 2d a a a ? ak ?1 ? d 1 1 1 ? ? ? k ?1 ? (? k ) ? k ? ? ? (常数) xk ?1 ? 1 xk ? 1 2d 2d 2d 2d 2 1 1 }是以 ? 为公差的等差数列 . xk ? 1 2

?{

7


更多相关文档:

高考数学重点难点复习(12):等差数列与等比数列的性质应用

高考数学重点难点复习(12):等差数列与等比数列的性质应用 隐藏>> 七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 难点 12 等差数列、等比数列的性质运用 等差、等比数列的性...

高考数学重点难点复习(12):等差数列与等比数列的性质应用

高考数学重点难点复习(12):等差数列与等比数列的性质应用 高考数学重点难点复习高考数学重点难点复习隐藏>> 等差数列与等比数列的性质应 等差数列与等比数列的性质应用...

高中数学新体系难点12__等差数列、等比数列的性质运用

高考数学高考数学隐藏>> 难点12:等差数列等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前 n 项公式的引 申.应用等差等比数列的...

高考数学难点突破 难点12 等差数列、等比数列的性质运用

高考数学难点突破 难点12 等差数列等比数列的性质运用。高考数学难点突破等差...2.在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 3."巧用性质,...

2011年高考数学重点难点讲解十二:等差数列、等比数列的性质运用(学生版)

高考数学重点难点复习(12)... 7页 2财富值 高考...2011年高考数学重点难点讲解十二:等差数列、等比数列的...应用等差等比数列的性质 解题,往往可以回避求其首项...

难点12 等差数列、等比数列的性质运用

黄冈中学高考数学典型例... 10页 免费 数列习题2(等差与等比数... 12页 免费 数列性质的综合应用 3页 1下载券 等比数列的性质应用 4页 免费 等差数列、等...

黄冈中学高考数学典型例题12---等差数列、等比数列的性质运用

黄冈中学高考数学典型例题12---等差数列等比数列的性质运用。黄冈中学 高考 高中 数学 知识点 难点 典型例题 分类 详解 黄冈中学高考数学典型例题详解等比数列 ...

高中数学复习专题讲座(第12讲)等差数列、等比数列性质的灵活运用

高中数学复习专题讲座(第12)等差数列、等比数列性质的灵活运用 高中数学复习专题...高考中也一直重点考查这部分内容 重难点归纳 1 等差、等比数列的性质是两种数列...

四川德阳五中2012高考数学难点解析12 等差数列、等比数列的性质运用

四川德阳五中2012高考数学难点解析12 等差数列等比数列的性质运用_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。难点 12 等差数列等比数列的性质运用 等差、等比数列的...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com