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2.1.1离散型随机变量


2.1.1
离散型随机变量

复习回顾:
1、随机事件与基本事件:在一定条件下可能发生也可能不
发生的事件,叫做随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本 事件。

2、随机试验是指满足下列三个条件的试验:
(1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)每次试验的所有可能结果都是明确可知的,并且不止 一个; (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次 试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

3、概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生 的可能性大小的度量。

问 题 探 究:
问题1:某人在射击训练中,射击一次,命中的环数.
试验的结果 用数字表示 试验结果

命中0环

命中1环

命中2环

... ...

命中10环

0

1

2

10

问题2:掷一枚骰子一次,向上的点数.
试验的结果 出现1点 用数字表示 试验结果

出现2点

出现3点

出现4点

出现5点 出现6点

1

2

3

4

5

6

思考:从上述两个问题中你发现它们有无共同的特征? 每一个实验结果都可以用一个确定的数字来表示

问题3:掷一枚硬币,可能会出现哪几种结果?能否用 数字来刻画这种随机试验的结果呢?
试验的结果 用数字表示 试验结果

正面向上 反面向上 1 0

还可不可以用其它的数字 来刻画??

问题4:从装有黑色,白色,黄色,红色四个球的箱子中 摸出一个球,可能会出现哪几种结果?能否用数字来刻 画这种随机试验的结果呢?
试验的结果
用数字表示试 验结果

黑色

白色

黄色

红色
4

1

2

3

还可不可以用其它的数字来刻画??

观 察 总结:

随机试验结果

实数

①每一个试验的结果可以用一个确定的数字来表示; 每一个确定的数字都表示一种试验结果. ②同一个随机试验的结果,可以赋不同的数字; ③数字随着试验结果的变化而变化,是一个变量;

1、随 机 变 量 定 义:
在随机试验中,确定了一个对应关系,使得每一个试验 结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随 着试验结果变化而变化,像这样随着试验结果变化而变化 的变量称为随机变量.

随机变量常用字母X,Y,ξ、η...等表示.

例1. 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机 变量,并说明理由。
(1)某天我校校办室接到的电话的个数.

(2)标准大气压下,水沸腾的温度.
(3)在一次比赛中,设一二三等奖,你的作品获得的奖次. (4)体积64立方米的正方体的棱长. (5)抛掷两次骰子,两次结果的和. (6)袋中装有6个红球,4个白球,从中任取5个球,其中所 含白球的个数.

解:是随机变量的有(1)(3)(5)(6)

1. 写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取 的值表示的随机试验的结果:
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含 白球的个数ξ; (2)一个袋中装有5个同样大小的球,编号为1,2,3,4,5, 现从中随机取出3个球,被取出的球的最大号码数ξ. 解:(1)ξ=0,表示取出0个白球三个黑球; ξ=1,表示取出1个白球两个黑球; ξ=2,表示取出2个白球一个黑球; (2)ξ=3,表示取出123号球; ξ=4,表示取出124,134,234号球; ξ=5,表示取出125, 135, 145,235, 245,345号球;

课堂练习:

思考:
随机变量和函数有什么区别和联系呢? 联系:随机变量和函数都是一种映射; 区别:随机变量把随机试验的结果映射为实数, 函数把实数映射为实数。 试验结果的范围相当于函数的定义域, 随机变量的取值范围相当于函数的值域。 例如:掷一枚骰子一次,向上的点数X是一个随机变量, 其值域是{1,2,3,4,5,6} 又如:在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件, 可能含有的次品件数X是一个随机变量, 其值域是{0,1,2,3,4}

2、随 机 变 量 的分类: 问题1:下列随机试验的结果能否用随机变量表示?若能, 请写出各随机变量可能的取值.
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张,

被取出的卡片的号数; (x=1、2、3、···、10) 离 散 (2)某射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目 型 标得0分,该射手在一次射击中的得分; (Y=0、1) (3)某城市1天之中发生的火警次数; (X=0、1、2、3、···) 想一想:以上3题的随机变量能不能一一列举出来?

离散型随机变量定义:
所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.

问题2:下列两个问题中的X是离散型随机变量吗?
(1)某品牌的电灯泡的寿命Y; [0,+∞) 连 (2)某林场树木最高达30米,最低是0.5米,则此林场 续 任意一棵树木的高度X. [0.5,30] 型 (3)任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与 规定量之差X. [0,2500] 若随机变量可以取某个区间内的一切值,那么这样的随机变量叫 做连续型随机变量。

注意:

它只取两个值0和1,是一个 ; (1)随机变量不止两种,高中阶段我们只研究离散型随机变量 离散型随机变量 (2)变量离散与否与变量的选取有关;比如:如果我们只关心电 灯泡的使用寿命是否不少于1000小时,那么我们可以这样来定义 随机变量? 寿命 < 1000小时 小结:我们可以根据关 ?0 , Y=? 寿命 ? 1000小时 心的问题恰当的定义随 ?1 , 机变量.

1.将一颗均匀骰子掷两次,不能作为随机变量的是( D )
A.两次出现的点数之和 B.两次掷出的最大点数 C.第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的点数值 D.抛掷的次数

强化检测:

2.如果记上述C选项中的值为ξ,试问: (1)“ξ>4”表示的试验结果是什么? (2)P(ξ>4)=?
答: (1)因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种 结果之一,由已知得 ?5 ≤ ? ≤ 5 ,也就是说“? >4”就是 “ ? =5”.所以,“ ? >4”表示第一枚为6点,第二枚为1点.

3.袋中有大小相同的5个小球,分别标有1、2、3、4、5 五个号码,现在在有放回的条件下取出两个小球,设两 9 个小球号码之和为ξ,则ξ所有可能值的个数是____ 个;“ ? ? 4 ”表示 .

“第一次抽1号、第二次抽3号, 或者第一次抽3号、第二次抽1号, 或者第一次、第二次都抽2号.

小结:
一、知识
1.(1)随机变量是随机事件的结果的数量化. (2)随机变量ξ 的取值对应于随机试验的某一随机事件. (3)随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应 关系,这种对应关系是人为建立起来的. 2.离散型随机变量是所有取值可以一一列出的随机变量

二、思想
1. 将随机试验的结果(基本事件)进行数字化,实现了从定 性到定量的飞跃; 2. 从数字表示想到字母表示,引入了随机变量的概念,实现 了从静态到动态的飞跃.


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