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2011年全国高中数学联赛江苏赛区复赛word版


2011 年全国数学联赛江苏赛区复赛试卷

一试部分
一.填空题(本题满分 64 分,每题 8 分) 1 1. 已知集合 M ? {x |??| x ? 1|? 3} ,N ? {x |?? ) x ? 1, x ? Z } , 则 M ? N 的子集的个数是 2 x 2.已知函数 f ( x) ? ,则 f ( x) 的值域为 . 2 x ? 2x

? 4 3.在△ABC 中,已知 AB ? 2 3, BC ? 7 ?1, AC ? 7 ?1 ,则 AB 边上高的长度为 .



4.设 ai ?{0,1, 2,...,9} ,其中 i ? 1, 2,3, 4 ,则排列 a1 , a2 , a3 , a4 中,至少有两个 9 相邻的排 列的个数 5.已知 A, B, C 是椭圆 .

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 上的三点,点 F (3, 0) ,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则 | FA | 25 16 ??? ? ??? ? . ? | FB | ? | FC |? 4 ? ab , ab ? 2 a ? 4b 2 ,则 M 的最大值是 6.设 a , b 为正实数,记 M ? ? . 4 ? 4 ? 2 2 , ab ? ? a ? 4b a 2 ? 4b 2
7.已知 a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? 2011且 a ? b ,则 abc ? .

8.若直线系 C : x cos t ? ( y ? 1)sin t ? 2 中的三条直线围成正三角形区域 D,则区域 D 的面 积为 . 二.解答题 9. (本题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,如果 a1 ? 公式 an .

1 , an ? ?5Sn Sn ?1 , (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 2

10. (本题满分 20 分) x2 y 2 设 M 是椭圆 C : ? ? 1 上的一点,P、Q、T 分别为点 M 关于 y 轴、原点、 x 轴的 48 16 对称点,N 为椭圆 C 上异于 M 的点,且 MN ? MQ ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭 圆 C 运动时,求动点 E 的轨迹方程.

11. (本题满分 20 分) 三次函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图像如图所示,直线 BD // AC ,且直线 BD 与函数 f ( x) 的图像切于点 B,交于点 D,直线 AC 与函数 f ( x) 的图像切于点 C,交于点 A,设 xA , xB , xC , xD 分别为点 A, B, C , D 的横坐标. 求证: ( xA ? xB ) : ( xB ? xC ) : ( xC ? xD ) ? 1: 2 :1 .

二试部分
一、 (本题满分 40 分) 在四边形 ABCD 中, M、 N 分别为边 AB、 CD 上的点, 若 ?BAN ? ?CDM ,BN // MD , CM // NA ,求证: AD // BC .

二、 (本题满分 40 分) 设整数 n ? 2 ,若 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an , a1a2 a3 ...an ? x ,求证: a1a2 a3 ...an?1 ? x
1? 1 n



三、 (本题满分 50 分) n(n ? 5) 个球队进行足球比赛,任意两个队比赛一场,每天安排一场比赛,一个队相邻

两场比赛之间的间隔天数称为该对这两场比赛的“间隔数” ,例如某对前两场比赛安排在 第一天和第三天,则间隔数为 1. (1)对 n ? 5 ,设计一个赛程,使各队所有的间隔数均不小于 1; n ? 3? (2)证明:间隔数的最小值不超过 ? . ? ? 2 ? ?

四、 (本题满分 50 分) 设整数 a, b, c 满足 1 ? a ? b ? c ,且 a | b ? c ? 1 , b | c ? a ? 1 , c | a ? b ? 1 ,求出所有的 三元数组 (a, b, c) .


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