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2013揭阳二模数学(文)试题及答案


广东省揭阳市 2013 届高中毕业班第二次高考模拟考试试题 数学(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? 1 ? 2 x 的定义域为 A. [0, ??) B. (??, 0] C. (0, ??) D. (??, 0)

2.若 1 ? 2a

i ? (1 ? bi )i ,其中 a、b∈ R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | =

A.

1 ?i 2

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

3.已知点 A (?1,5) 和向量 a =(2,3),若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)

?

??? ?

?

4.设函数 f ( x) ? cos(2? ? x) ? 3 cos( A.

?
2

? x) ,则函数的最小正周期为
C. 2? D. 4?

? 2

B. ?

5.以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 4 3
B. x ?
2

A.

y2 ? x2 ? 1 3

y2 ?1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

6.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ,则 m 的值为 A.37 B.36 C.20 D.19

7.设定义在[-1,7]上的函数 y ? f ( x) 的图象如图(1)示, 则关于函数 y ?

1 的单调区间表述正确的是 f ( x)

图(1)

A.在[-1,1]上单调递减

B.在 (0,1] 单调递减,在 [1,3) 上单调递增;

C.在[5,7]上单调递减 D.在[3, 5]上单调递增 8. 一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(2)示,则该几何体的体积为
正视图 侧视图

A.7

B.

22 3

C.

47 6

D.

23 3
( 2

图 )

1

俯视图 9.若直线 ax ? by ? 1 ? 0 平分圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长,则 ab 的取值范围是
2 2

A. (??, ]

1 4

B. ( ??, ]

1 8

C. (0, ]

1 4

D. (0, ]

1 8

10.已知点 P ( x, y ) 满足 ? A. 1

?0 ? x ? 1, 则点 Q ( x ? y, y ) 构成的图形的面积为 ?0 ? x ? y ? 2.
B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(9-13 题) 11.若点 (a, ?1) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,则 tan
3

4? 的值为 a



12.已知函数 f ( x) ? 4 | a | x ? 2a ? 1 .若命题:“ ?x0 ? (0,1) ,使 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题,则 实数 a 的取值范围为 .

13 . 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M , 对于两个集合 A,B,定义集合 ?1, x ? M .

A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} . 已知 A = {2, 4, 6,8,10} ,B ? {1, 2, 4,8,12} ,则用列举法写
出集合 A?B 的结果为 . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. 坐标系与参数方程选做题) ( 在极坐标系中, 为极点, O 直线过圆 C: ? 2 2 cos(? ? ? 的圆心 C,且与直线 OC 垂直,则直线的极坐标方程为 15.(几何证明选讲选做题) 如图(3)示, C , D 是半圆周上的两 个三等分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E , BD 与 CE 相交于点 F ,则 BF 的长为 . .
D C

?
4

)

F A o 图3 E B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

2

17. (本小题满分 12 分) 某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试, 规定:成绩大于或等于 90 分的有参赛资格,90 分以下(不包括 90 分)的则被淘汰.现有 100 人参 加测试,测试成绩的频率分布直方图如图(4). (1)求获得参赛资格的人数; (2)根据频率分布直方图,估算这 100 名学生测试 的平均成绩; (3)现在成绩 [110,130) 、 [130,150] (单位:分) 的同学中采用分层抽样机抽取 5 人,按成绩从低到 高编号为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 从这 5 人中任选 2 人, 求至少有 1 人的成绩在 [130,150] 的概率.
频率/组距
0.0170

0.0140

0.0065 0.0050 0.0045 0.0030 0

30

50

70

90

110

130

150

(分数)

18.(本小题满分 14 分)

2, ? 数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, 3, ),且 a1,a2,a3 成公
比不为的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式.

19.(本小题满分 14 分) C 如图(5),已知三棱柱 BCF-ADE 的侧面 CFED 与 ABFE 都是边长 为 1 的正方形,M 、N 两点分别在 AF 和 CE 上,且 AM=EN. N F (1)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE; D (2)求证: MN//平面 BCF; (3)若点 N 为 EC 的中点,点 P 为 EF 上的动点,试求 PA+PN 的最小值.
E 图 (5)

B M A

3

20. (本小题满分 14 分) 如图(6)已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为,焦点为 F,
2

y l t

圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点作倾斜角

? 为 的直线 t,交于点 A,交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2 . 3
(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2) 试探究抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线

B X
O F

M

A

图 (6)

m : y ? k ? x ? 1?? k ? 0 ? 对称?若存在,求出直线 m 的方程,若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? ln x .
2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ?

1 2 时,证明:方程 f ( x) ? f ( ) 在区间(2, ?? )上有唯一解; 8 3

(3)若存在均属于区间[1,3]的 ? , ? 且 ? ? ? ? 1 ,使 f (? ) = f ( ? ) , 证明:

ln 3 ? ln 2 ln 2 . ?a? 5 3

4

揭阳市 2013 年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(文科)参考答案及评分说明
一.选择题:BCDCB ABDBB

解析:2.由 1 ? 2ai ? (1 ? bi )i 得 ? a ?

1 5 ,选 C , , b ? 1 ?| a ? bi |? a 2 ? b 2 ? 2 2

3.设 B ( x, y ) ,由 AB ? 3a 得 ? 4.函数 f ( x) ? 2sin( x ?

??? ?

?

?x ?1 ? 6 ,所以选 D ?y ?5 ? 9

?
6

) ,故其最小正周期为 2? ,故选 C.

6.由 am ? a1 ? a2 ? ? ? a9 得 (m ? 1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选 A. 7. 函数 y ?

1 当 x=0,x=3,x=6 时无定义,故排除 A、C、D,选 B. f ( x)
1 1 23 ,故 ? 1? 1? 1 ? 3 2 3
v 2 v=u v=u-1

8.依题意可知该几何体的直观图如右上图示,其体积为. 23 ? 2 ? ? 选 D.

9.依题意知直线 ax ? by ? 1 ? 0 过圆 C 的圆心(-1,2),即 a ? 2b ? 1 ,由

1 1 ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ? ,故选 B. 8

?0 ? u ? v ? 1, 10.令 x ? y ? u , y ? v ,则点 Q (u , v) 满足 ? ,在 uov 平面内画 ?0 ? u ? 2.
出点 Q (u , v) 所构成的平面区域如图,易得其面积为 2.故选 B. 二.填空题:11.

o 1 -1 2 u=2

u

1 3 ;12. a ? 1 (或 a ? ( , ??) );13. {1,6,10,12}; 2 2

14. ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 (或 ? cos(? ? 解析:11.依题意得 a ? 3 ,则 tan

?
4

) ? 2 );15.

2 3 3

4? 4? = tan ? 3。 a 3

12.由“ ? x 0 ? (0,1) ,使得 f ( x 0 ) ? 0 ”是真命题,得 f (0) ? f (1) ? 0 ?

(1 ? 2a)(4 | a | ?2a ? 1) ? 0 ? ?a ? 0 ?

?(2a ? 1)(2a ? 1) ? 0

或 ?a ? 0 ?

?(6a ? 1)(2a ? 1) ? 0

?a?1.
2

13.要使 f A ( x) ? f B ( x) ? ?1 ,必有 x ? {x | x ? A 且 x ? B} ? {x | x ? B 且 x ? A} ={1,6, 10,12,16} ,所以 A?B ={1,6,10,12}

5

14.把 ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

) 化为直角坐标系的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,圆心 C 的坐标为

( 1 , 1 ) , 与 直 线 OC 垂 直 的 直 线 方 程 为 x ? y ? 2 ? 0, 化 为 极 坐 标 系 的 方 程 为

? ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或 ? cos(? ? ) ? 2 . 4
15.依题意知 ?DBA ? 30? ,则 AD=2,过点 D 作 DG ? AB 于 G,则 AG=BE=1,所以

BF ?

2 3 . 3

三.解答题: 16.解:(1)函数 f ( x) 要有意义,需满足: cos x ? 0 ,解得 x ? 分 即 f ( x) 的定义域为 {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z ,------2

?
2

? k? , k ? Z } -------------------------------------4 分

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 (2)∵ f ( x) ? cos x

?

?

1 ? 2(

2 2 sin 2 x ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 --------6 分 ? cos x cos x
? 2(cos x ? sin x ) ----------------------8 分

?

2 cos2 x ? 2sin x cos x cos x

4 4 ,得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 3 3 9 3 4 ∴ cos 2 ? ? ,∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? , sin ? ? ? ------------------------10 分 25 5 5 14 ∴ f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ? .---------------------------------------------------12 分 5
由 tan ? ? ?
17.解: (1)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为: 100×(0.0050+0.0045+0.0030)×20=25 人.----------------3 分 (2)设 100 名学生的平均成绩为 x ,则 x =[ 30+50 50+70 70+90 90+110 110+130 ×0.0065+ ×0.0140+ ×0.0170+ ×0.0050+ ×0.0045+ 2 2 2 2 2

130+150 ×0.0030]×20=78.4 分.------------------------------------6 分 2 (3) 成绩在 [110,130) 的人数为 100×0.0045×20=9 人,成绩在 [130,150) 的人数为 100×0.0030×20=6 人 , 所 以 应 从 成 绩 在 [130,150) 中 抽 取 6 9 ×5=2 人 , 从 成 绩 在 [110,130) 中 抽 取 ×5=3 人 , 故 15 15 6

A4 , A5 ? [130,150) ,----------------------------------8 分


A1 , A2 , A3 , A4 , A5 中任取两人,共有 ( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , A4 ), ( A1 , A5 ), ( A2 , A3 ),

( A2 , A4 ), ( A2 , A5 ), ( A3 , A4 ), ( A3 , A5 ), ( A4 , A5 ) 十种不同的情况,-----------10 分
其中含有

A4 , A5 的共有 7 种,所以至少有 1 人的成绩在 [130,150) 的概率为10.-----12 分
--------------------------------1 分

7

18.解:(1) a1 ? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c ,
2

∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) , --------------------------------3 分 解得 c ? 0 或 c ? 3 . --------------------------------4 分

当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 .-------------------------------6 分 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,?? an ? an ?1 ? (n ? 1)c ,-------------8 分

an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) n(n ? 1) c an ? a1 ? [1 ? 2 ? L ? (n ? 1)]c ? c . 2 2

-------------------------------10 分

3 3 n(n ? 1) ? (n 2 ? n ? 2)(n ? 2, ?) .------------------12 分 3, 2 2 3 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? (n 2 ? n ? 2)(n ? N ? ) .--------------------------------14 分 2
又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? 19.解:(1)∵四边形 CFED 与 ABFE 都是正方形 ∴ EF ? DE , EF ? AE , 又 DE ? EA ? E , ∴ EF ? 平面 ADE ,---------------2 分

又∵ EF / / AB ,∴ AB ? 平面 ADE ∵ AB ? 平面 ABCD,∴平面 ABCD ? 平面 ADE-------------------------4 分 (2)证法一:过点 M 作 MM 1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M 1 N1 ,------------5 分 ∵ MM 1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM 1 / / NN1 又∵
N C N1 D F M E A M1 B

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? AB FA CE EF

∴ MM 1 ? NN1 --------------------------------7 分

∴四边形 MNN1M 1 为平行四边形,---------------------------------------------8 分

? MN / / N1M 1 , 又MN ? 面BCF , N1M 1 ? 面BCF , ? MN / / 面BCF . ----------10 分
[法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则

C

? NG / / CF -----------------------------------------------------------6 分

CN FM FG ? ? , NE MA GE

D

N

F M

B

G E A

7

又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / / 面BCF ,------------7 分
同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG ? NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF--------9 分 ∵MN ? 平面 MNG, ? MN // 面BCF .--------------------------------------------10 分] (3)如图将平面 EFCD 绕 EF 旋转到与 ABFE 在同一平面内,则当点 A、P、N 在同一直线上时,PA+PN 最小,------------------------------------11 分 在△AEN 中,∵ ?AEN ? 135? , AE ? 1, NE ?

C

F

B

2 2
D

N

P E A

由余弦定理得 AN 2 ? AE 2 ? EN 2 ? 2 AE ? EN cos135? ,------13 分 ∴ AN ?

10 2

即 ( PA ? PN ) min ?

10 .-----------------------14 分 2

20. 解:(1)∵

p 1 ? OA cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 , 2 2
2

∴所求抛物线的方程为 y ? 4 x

--------------------------------3 分

2 2 ∴设圆的半径为 r,则 r ? OB ? 1 ? ? 2 ,∴圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 .--------------6 分 2 cos 60

(2) 设 P? x3 , y 3 ?, Q? x 4 , y 4 ? 关于直线 m 对称,且 PQ 中点 D? x 0 , y 0 ? ----------------------7 分 ∵ P? x3 , y 3 ?, Q? x 4 , y 4 ? 在抛物线 C 上,∴
2 2 y3 ? 4 x3 , y4 ? 4 x4 -----------------------8 分

两式相减得: ? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ? --------------------------------9 分 ∴ y3 ? y4 ? 4 ?

x3 ? x4 4 ? ? ?4k ,∴ y0 ? ?2k -----------------------11 分 y3 ? y4 k PQ

∵D? x 0 , y 0 ? 在 m : y ? k ? x ? 1?? k ? 0 ? 上 ∴ x0 ? ?1 ? 0 ,点 D? x 0 , y 0 ? 在抛物线外--------------------------------13 分 ∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称. --------------------------14 分
2 21.解:(1)函数 f ( x) 的定义域 (0, ??) , f ?( x) ? 2ax ? 1 ? 2ax ? 1 -------------2 分 x x

2a ,令 f ?( x) ? 0 得: 0 ? x ? 2a ----------4 分 2a 2a 2a 2a ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , ??) -------------5 分 2a 2a 1 1 (2)证明:当 a ? 时, f ( x) ? x 2 ? ln x ,由(1)知 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) , 8 8 单调递增区间为 (2, ??) ,--------------------------------------------6 分

? a ? 0 令 f ?( x) ? 0 得: x ?

8

令 g ( x) ? f ( x) ? f ( ) ,则 g ( x) 在区间 (2, ??) 单调递增且

2 3

2 e4 1 2 g (2) ? f (2) ? f ( ) ? 0, g (e 2 ) ? ? 2 ? ? ln ? 0 ,-----------------8 分 3 8 18 3 2 ∴方程 f ( x) ? f ( ) 在区间(2, ?? )上有唯一解.----------------------9 分 3 (注:检验 g ( x) 的函数值异号的点选取并不唯一)
(3)证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及(1)的结论知 ? ?

从而 f ( x) 在 [? , ? ] 上的最大值为 f (? ) (或 f ( ? ) ),---------------------11 分 又由 ? ? ? ? 1, ? , ? ? [1,3], 知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3. --------------------------12 分

2a ? ? ,-------------10 分 2a

? f (1) ? f (? ) ? f (2) ?a ? 4a ? ln 2 ,即 ? -----------------------13 分 ? f (3) ? f ( ? ) ? f (2) ?9a ? ln 3 ? 4a ? ln 2 ln 3 ? ln 2 ln 2 从而 .--------------------------------------------14 分 ?a? 5 3
故?

9


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