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数学选修2-3 涂色问题


涂色问题解题通法 定理1 直线型结构) 定理1(直线型结构):用 m( m ≥ 2) 种颜色给如图所示的由 n( n ≥ 2) 个区域组成的直线型结 构图涂色,则总的不同涂法有 Ln = m ( m ? 1)
m n ?1

种.

证明: 证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。

定理2 星型结构) 定理2(星型结构):用 m( m ≥ 2) 种颜色给如图所示的由 n( n ≥ 2) 个区 域组成的星型结构图涂色,则总的不同涂法有 S n = m ( m ? 1)
m n ?1

种.

证明: 证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。

定理3(环形结构) 定理3(环形结构):用 m( m ≥ 2) 种颜色给如图所示的由 n( n ≥ 3) 个区 3(环形结构 域 组 成 的 环 形 结 构 图 涂 色 , 则 总 的 不 同 涂 法 有

Rnm = ( m ? 1) + ( m ? 1)( ?1) 种.
n n

头尾看作一个区域,涂法数为 Rn ?1 ),即 Rn + Rn ?1 = m ( m ? 1)
m m m

证明: 证明: Rn + Rn ?1 = Ln ( Ln 中头尾不同的涂法数为 Rn ,头尾相同时,
m m m m m n ?1



∴ Rn ? ( m ? 1) = ? ? Rn ?1 ? ( m ? 1)
m n

?

m

n ?1

? ,求通项即可 ?

或 Rn = ( m ? 2 ) Rn ?1 + ( m ? 1) Rn ? 2
m m m

定理4 全连通型结构) 定理4(全连通型结构):用 m( m ≥ n) 种颜色给由 n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个 结构 区域都连通,如图)涂色,则总的不同涂法有 Tn = Am 种.
m n

证明: 证明:任何两个区域都连通,所以颜色各不相同。

方法应用 例1.将三种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种 植一种作物,不同的种植方法有 种.(以数字作答)

答:结构抽象如右图,涂法数为: L5 ? L5 = 3 × ( 3 ? 1)
3 2

5?1

? C32 × 2 × ( 2 ? 1)

5 ?1

= 48 ? 6 = 42
种.(以

例 2.某城市在中心广场建造一个花圃, 花圃分为 6 个部分(如图).现要栽种 4 种不同颜色的 花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 数字作答)

5 5 3 答:结构抽象如右图,涂法数为: 4 × R5 = 4 × ?( 3 ? 1) + ( 3 ? 1)( ?1) ? = 120 (先涂中间)

?

?

例3.用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色, 要求在1,2,3,4四个区域中相邻(有公共边界) 的区域用不同的颜色, (Ⅰ)若 n = 6 ,为左图着色时共有多少种不同的方法? (Ⅱ)若为右图着色时,共有120种不同的方法,求 n 的值.

答:结构抽象如右图, (Ⅰ)涂法数为: T3 × ( 6 ? 2 ) = A6 × 4 = 480 ,(先涂三角形结构)
n 3 n 4

(Ⅱ)涂法数为: T4 = An = n ( n ? 1)( n ? 2 )( n ? 3) = 120 ,∴ n = 5

例4. 用 6 种不同的颜色为下图中的5个区域着色, 要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜 色,共有多少种不同的方法?

答:结构抽象如右图, 先涂 A1 , A2 , A4 的三角形,再涂 A3 ,最后涂 A5 ,共有 A6 × 4 × 5 多少种不同的方法
3

例5.用 6 种不同的颜色为下列两块广告牌着色,要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜 色,共有多少种不同的方法?
A3 A4

2

3 4 1

5

6

A2 A1

A5

A6
4

答:结构抽象如右图, m ( m ? 1)( m ? 2 ) (先涂 A1 ,再涂线型结构 A2 ? A3 ? A4 ? A5 ? A6 ). 例 6.(2008 重庆)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多), 要 在如题(16)图所示的 6 个点 A, B, C , A1 , B1 , C1 上各装一个灯泡,要求 同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安 装方法共有
3

C1 A1 B1

种(用数字作答).
A

C B

答: A4 × 3 × (2 × 2 ? 1) 引申: 引申:若有 n( n ≥ 3) 种颜色的灯泡,则不同的安装方法共有 若下、上层对应点灯泡颜色允许相同,则共 An × An 有种涂法;
3 3

种。

下、 上层有且只有一组对应点颜色相同, 则可以把同色的两点看成一点, 则几何体为四棱锥, 抽象图如下左,不同的涂法有 n × ?( n ? 1) + ( ?1)
4 4

?

( n ? 1) ? 种; ?

下、 上层有且只有两组对应点颜色相同, 则可以把同色的两点看成一点, 则几何体为四面体, 抽象图如下右,不同的涂法有 An 种; 下、上层三组对应点颜色都相同,则可以把同色的两点看成一点,则几何体退化为三角形, 不同的涂法有 An 种。
3 4

由容斥原理知,不同的涂法有 An × An ? C3 × n × ?( n ? 1) + ( ?1)
3 3 1 4

4

?

( n ? 1) ? + C32 × An4 ? An3 ?

简单的组合结构练习 1.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现 有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 2 3 1 4
4 4 答:结构抽象如右图,涂法数为: 4 × R4 = 4 × ?( 3 ? 1) + ( 3 ? 1)( ?1) ? = 72 (先涂中间)

种 (以数字作答)
新疆 王新敞
奎屯

5

?

?

2.

用种颜色去涂上图所示的各个结构图,共有多少种不同的涂法? 答:(1) ( m ? 1) × Am (先涂三角形 A1 A2 A3 );
3

(2) ( m ? 2) × Am (先涂三角形 A1 A2 A3 );
3

(3) ( m ? 1) × Am (先涂三角形 A1 A2 A3 );
3 3

(4) (m ? 2) × Am (先涂中间三角形 A1 A2 A3 );
3 3

(5) m ( m ? 1)( m ? 2 ) (先涂 A1 ,再涂线型结构 A2 ? A3 ? A4 ? A5 ).
3


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