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余弦函数图像




余弦函数 y ? cos x 的图像与性质
授课班级:高一13林夕班

授课教师:计文军

教学目标
知识与技能:理解并掌握余弦函数的图 像及其应用,并能熟练应用性质进行解 题; 过程与方法:通过类比正弦函数图像及 其性质的学习,通过画图像,观察、发 现、总结余弦函数的性质,通过整体代 换的意识、换元的方法将性质应用到实 际问题的求解中,加以巩固; 情感态度与价值观:培养学生类比学习 的意识以及数形结合的数学思想意识

巩固复习 对于正弦函数 y ? sin x 的图像及 y 其性质 1
-4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

1、我们画正弦函数 y ? sin x 的图像时所采 用的方法称为“五点法”,其关键的五点是 ? 3? ? 0, 0? , ? ,1? , ?? , 0 ? , ? , ?1? , ? 2? , 0 ? ? ? ? ? . ?2 ? ? 2 ? 2、正弦函数 y ? sin x的定义域为 R 值域为 ??1,1? . ;

巩固复习
最小正周期为 T ? 2? .函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 2? 的最小正周期为 T ? ? . 4、正弦函数 y ? sin x的奇偶性为 奇函数 ; 理由是:图像关于原点对称,且 f (? x) ? sin(? x) ? ? sin x ? ? f ( x)

3、正弦函数 y ? sin x的周期为T ? 2k? (k ? 0) ;

5、正弦函数 y ? sin x的单调递增区间为

?

3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? ? 2 k? , ? 2 k? 单调减区间为 ? 2 ?2 ? 2 2

?

?

?

巩固复习
6、正弦函数 y ? sin x的最大值为 ymax ? 1 ; 此时
2 ? 此时 x ? ? ? 2k?. 2 x?

?

? 2k? . 最小值为 ymin ? ?1 ,

7、正弦函数 y ? sin x的对称轴为 x ? 对称中心是: ? k? ,0 ?.

?
2

? k? ;

复习检测:
1、求下列函数的周期
(1)函数 (2)函数
?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的最小正周期为 3? ? ?? ? 1 y ? 2sin ? ? x ? ?的最小正周期为 3? ? 2

. . .

(3)函数 y ? sin 2x 的最小正周期为

2、求下列函数的单调区间 ?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 的单调递增区间为 (1)函数 3 ;单调递减区间为
?? ? (2)函数 y ? 2sin ? ?2 x ? 4 ? 的单调递增区间为 ? ?
? ?

. .

;单调递减区间为

复习检测:

3、求下列函数的最值及对应的x的值 ?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 的最大值为 (1)函数 , 3? ? 此时x= ;最小值为 , 此时x= . ?? ? y ? 2 ? 3sin ? 3x ? ? 的最大值为 (2)函数 , 6? ? 此时x= ;最小值为 , 此时x= . 4、求下列函数的对称轴和对称中心 ?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 的对称轴为 (1)函数 , 3

对称中心为

?

?

.

自主学习、独立思考:

根据画正弦函数 y ? sin x图像的“五点法”,请同 学们画出余弦函数 y ? cos x 的图像并思考其图 像与正弦函数 y ? sin x图像有什么关系?以及余 弦函数 y ? cos x的一系列性质.

小组讨论、合作交流:
对于余弦函数 y ? cos x的图像及其性质

1、我们画余弦函数 y ? cos x 的图像时所采 用的方法称为“五点法”,其关键的五点是 ? 3? ? 0,1? , ? ,0 ? , ?? , ?1? , ? ,0 ? , ? 2? ,1? ? ? ? ? . ?2 ? ? 2 ? 2、余弦函数 y ? cos x的定义域为 R 值域为 ??1,1? . ;

小组讨论、合作交流:
最小正周期为 T ? 2? .函数 y ? Acos ?? x ? ? ? 2? 的最小正周期为 T ? ? .
4、余弦函数 y ? cos x的奇偶性为 偶函数 ; 理由是:图像关于Y轴对称,且 f (? x) ? cos(? x) ? cos x ? f ( x)

3、余弦函数 y ? cos x的周期为T ? 2k? (k ? 0) ;

5、余弦函数 y ? cos x的单调递增区间为 ?? ? 2k? ,2? ? 2k? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? 单调减区间为 k ?Z k ?Z

小组讨论、合作交流:
6、余弦函数 y ? cos x的最大值为 ymax ? 1 ; 此时 此时
x ? 2 k?

. 最小值为 ymin ? ?1 ,
x ? k?

x ? ? ? 2 k? .

7、余弦函数 y ? cos x的对称轴为 ?? ? 对称中心是: ? k? , 0 ? . ? ?2 ?



大胆展示、体味成功:
应用一:周期性的应用——求给定余弦 形式函数的周期
1、求下列函数的周期
2 (1) y ? cos x 3
?? ? (2) y ? 2cos ? 4 x ? ? ? 1 3? ?

?x ? ? y ? cos ? ? ?(4)y ? ?2cos ? ? x ? ? ? (3) ? ? ?2 4? ? 3 4?

(5)y ? cos3x

?? ? (6)y ? cos ? ?2 x ? 6 ? ? ?

大胆展示、体味成功:
应用二:单调性的应用——比较余弦值 的大小

2、比较下列余弦值的大小 2? 3? cos (1) 7 与 cos 5
cos (2) 760 与
? 47 ? cos (3) ? ? 10 ? ? ? ?
0

cos ? ?7700 ?



? 44 ? cos ? ? ? ? ? 9 ?

? 53 ? cos ? ? ? ? 与 cos ? ? 59 ? ? (4) ? ? ? 7 ? ? 8 ?

大胆展示、体味成功:
应用三:单调性的应用——求给定 余弦形式函数的单调区间
3、求下列函数的单调区间
?? ? y ? cos ? 3x ? ? 3? ?

(1)

?? ? y (2) ? 2cos ? ?2 x ? 4 ? ? ?

大胆展示、体味成功:
应用四:最值的应用——求给定余弦形 式函数的最值及其对应的X的取值 4、求下列函数的最值及相应的X的值
?? ? (1)y ? 2 cos ? 3x ? ? ? 1 3? ?
?? ? y ? a cos ? x ? ? ? b( a (2) 4? ?

? 0)

大胆展示、体味成功:
应用五:对称性应用——求给定余弦形 式函数的对称轴及对称中心 5、求下列函数的对称轴和对称中心
?? ?1 (1)y ? 3cos ? 2 x ? 3 ? ? ?

高考链接:
?? ? 1、(2008年高考)已知函数 y ? cos ? 2 x ? 4 ? ? ?

? 3? ? ? 求其在区间 ? ? , ? ? 8 4?

的最值.

2、(2010年高考)已知函数
y ? 1 ? 2cos x ? 2sin x
2

求其最值

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