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新高三数学


正弦定理、余弦定理及其应用

类型一

正弦定理的应用
△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

已知 A-C=90° ,a+c= 2b,求 C.

1.正弦定理 (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦 的比相等,即 径. (2)正弦定理的其他形式: ①a=

2RsinA,b= a ②sinA= ,sinB= 2R sinC= 2.余弦定理 (1)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 a2= c=
2

.其中 R 是三角形外接圆的半 江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边 (2012· ,c= , ; ; π π ? ?π ? 分别为 a,b,c.已知 A= ,bsin? ?4+C?-csin?4+B?=a. 4 π (1) 求证:B-C= ;(2)若 a= 2,求△ ABC 的面积. 2

③a∶b∶c=______________________.

,b2= .

, ,即为勾股定理. , cosB .
2 2

若令 C=90° ,则 c2= (2) 余弦定理的变形: cosA = = ,cosC=

类型二

余弦定理的应用
在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对

若 C 为锐角,则 cosC>0,即 a +b ______c2;若 C 为钝 角,则 cosC<0,即 a2+b2______c2.故由 a2+b2 与 c2 值的大 小比较,可以判断 C 为锐角、钝角或直角. (3) 正 、 余 弦 定 理 的 一 个 重 要 作 用 是 实 现 边 角 ____________,余弦定理亦可以写成 sin2A=sin2B+sin2C- 2sinBsinCcosA , 类 似 地 , sin B = ____________ ; sin C = __________________.注意式中隐含条件 A+B+C=π. 3.三角形中的常用公式或变式 (1) 三 角 形 面 积 公 式 S△ = 分别为三角形外接圆、内切圆半径. (2)A+B+C=π,则 A=__________, A =__________,从而 sinA=____________, 2 cosA=____________,tanA=____________; A A sin =__________,cos =__________, 2 2 A tan =________.tanA+tanB+tanC=__________. 2 (3) 若 三 角 形 三 边 a , b , c 成 等 差 数 列 , 则 2b = A-C B ____________ ? 2sinB = ____________ ? 2sin = cos ? 2 2 A+C A-C A C 1 2cos =cos ?tan tan = . 2 2 2 2 3 = = ____________ = ____________ = ____________ .其中 R , r
2 2

cosB b 边,且 =- . cosC 2a+c (1)求 B 的大小;(2)若 b= 13,a+c=4,求△ ABC 的面积.

若△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( ) 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3

类型三

正、余弦定理的综合应用
全国新课标Ⅱ)△ ABC 的内角 A、B、C 的 (2013·

sinA cosB 2.在△ ABC 中,若 = ,则∠B 的值为( B a b A.30° B.45° C.60° D.90°

)

四川 ) 如图,正方形 3 . (2012· ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E, 使 AE = 1 , 连 接 EC , ED , 则 sin∠CED=( B ) 3 10 10 5 5 A. B. C. D. 10 10 10 15 4.在△ ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC.则 A 的 取值范围是( C ) π? ?π ? ? π? A.? ?0,6? B.?6,π? C.?0,3? c,若∠C=120° ,c= 2a,则( A π ? D.? ?3,π? )

对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1) 求 B;(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

山东)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的 (2013· 7 边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= . 9 (1) 求 a,c 的值;(2)求 sin(A-B)的值.

5.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b, A.a>b B.a<bC.a=b D.a 与 b 的大小关系不确定 解:据题意由余弦定理可得 a2+b2-2abcos120° =c2= ( 2a)2,化简整理得 a2=b2+ab,变形得 a2-b2=(a+b)(a- b)=ab>0,故有 a-b>0,即 a>b.故选 A. π 6.在△ ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC 4 =( )A. 10 10 B. 10 5 3 10 C. 10 D. 5 5

类型四

判断三角形的形状
在三角形 ABC 中,若 tanA∶tanB=a2∶b2,试判断

三角形 ABC 的形状.

7.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 2π (a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=__ 3 ._______. 8.在△ ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值 为___2 7_____. 9.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B, C 成等差数列.

上海 ) 在 △ ABC 中 , 若 sin2A + ( 2012· sin B<sin C,则△ ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形
2 2

(1)求 cosB 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的 值.

)

B.直角三角形 D.不能确定

? ?2B=A+C, π 解:(1)由题意知? 得 B= , 3 ?A+B+C=π, ?
1 从而 cosB= . 2 1 (2)∵b2=ac,cosB= , 2 3 ∴由正弦定理得 sin2B=sinAsinC=1-cos2B= . 4

1.在△ ABC 中,若 a=2bcosC,则△ ABC 的形状一定 是( C ) A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等腰直角三角形 D.等边三角形

10.如图,在△ ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC= 1,P 为△ ABC 内一点,∠BPC=90° .

1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解: (1) 由已知得, ∠PBC = 60° , ∴∠PBA = 30° ,在 1 1 △ PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得 PA 2 = 3 + - 2× 3× cos30° 4 2 7 7 = ,∴PA= . 4 2 (2)设∠PBA=α,∴∠PCB=α,PB=sinα,在△ PBA 中, 由正弦定理得, 3 sinα = ,化简得 3cosα = sin150° sin(30° -α)

入,得 c2+b2=52,③ ③+②× 2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10. 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根. 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4.

4sinα,∴tanα=

3 3 ,∴tan∠PBA= . 4 4

11.在△ ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,tanC=3 7. (1)求 cosC 的值; → → 5 (2)若CB· CA= ,且 a+b=9,求 c 的值. 2 解:(1)∵tanC=3 7, ∴ sinC =3 7且角 C 为锐角. cosC

1 又∵sin2C+cos2C=1,∴cosC= . 8 5 → → 5 (2)∵CB· CA= ,∴abcosC= ,∴ab=20. 2 2 又 ∵a+ b= 9 ,∴a2+ 2ab+ b2 = 81 ,∴a2 +b2 = 41.∴c2 =a2+b2-2abcosC=36,c=6. 设△ ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 π π A, B, C 所对边长, 并且 sin2A=sin( +B)sin( -B)+sin2B. (1) 3 3 求角 A 的值; → → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). 解: (1)∵sin2A=? 3 1 1 ?? 3 ?+sin2B ? 2 cosB+2sinB?? 2 cosB-2sinB?

3 1 3 = cos2B- sin2B+sin2B= , 4 4 4 3 π ∴sinA=± .又 A 为锐角,所以 A= . 2 3 → → (2)由AB· AC=12 可得 cbcosA=12.① π 由(1)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcosA,将 a=2 7及①代


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