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2010中国数学奥林匹克


21 0 0年第 3 期 

l  9

21 00中 国 数 学 奥 林 匹 克 
中圈分类号 : 4 47   G 2 .9 文献标识码 :   A 文章编号 : 0 5—6 1 ( 00 0 0 1 4 10 4 6 2 1 ) 3— 0 9—0 

第 一 天 
1 如图 1两 圆 , , 交

于点 A B, 点  . , 、  、 过
日 的 一 条 直 

f  1 , a 一与 n互 质 , a 一 +1    l  

口 I, n 2    凡
质数 .  

口与 不 质   n互 . 一    
( 朱华伟 供题)  

证明: 数列 { 一C } 口 1 中有 无 穷 多 项 是    , 3 设 复数 o、、 . 6c满足 : 任意模 不超过 1 对   的复 数 z都有 Iz +6 C ≤1 求 lc 的最  ,   : z+ I .   I a 6
大值 .   ( 李伟 固 供题 )  

线 分 别 交 圆 
厂l J 、r ’  于 点 
C、 过 点 曰 D,  

的 另 一 条 直  线 分 别 交 圆  厂。  、


第 二 天 
4 已知 m、 给定 的大 于 1的整 数 , . 凡是 且 

于 点 

,, 直线 C   F
图1  

口 <口 <… <n 都是 整数 . 明 : 在 整数 集    :   证 存 的一 个子集  , 元素个 数  其
I ≤ 1+   TI   ,  

分 别 交 圆  厂。 厂2于 点  、
P、 . p 设  、v ,  
, 、   _ 、  

分 别是弧 船 、  的 中点 . C Q 若 D=E 求 证 : F,  

且对 每 个 i∈ } , , , , 有 £∈ T及  l 2 … m} 均

c、  、r  、 J四点共 圆. ) 、  
且 对所有 的 n>后 有  ,

( 熊



供题)  

∈[一  ]使 得 £ =f     , , z +.   ( 岗松 冷 供题 )   5 我们 对放置 于点 4 , , ,  n ) .   :… A ( ≥3 
:l 0。一 8  
:  L NM .  

2 设 整数 >3 数列 {  满 足 a 2 , . 1 , 口}  = k 

=1 0   E J+1 0   F J 8 。一 K 8 。一 K 
:  

£ A  + 1 0。一 8  

^  

EKF.  

故  、、   四点 共 圆 , J 、 r 即点  在 △ A C B 

所以, 点  在垂足 圆上.  

的九点圆上( 其余的在不同位置关系也类似 
可证 ) .  

同理 , 其余四圆也过点  由此证 得八 圆共 点 .  
参考文献 :  
[ ] F? 1 克莱因. 高观点下 的初 等数学( 几何 [ . 二) M] 上 
海 : 旦 大学 出版 社 ,0 8  复 20.

同理 , K在另 一个九点 圆上. 点  
从而 , 四个三 角形 的九点 圆共点 于 K 

下证 : 点  在 D对 △ A C的垂足 圆上. B  
设 £   、 为 D在三边 上 的垂足. 、 . 7 v 则 
L M =3 0   L J一 MK   K 6 。一 K   J
=  

[ ] 粱绍鸿. 等数学复习及研 究( 2  初 平面几何 ) M] 哈尔  [ .
滨 工 业 大学 出 版社 , 09  20 .

[ ] 戴维 ? 3  韦尔斯. 奇妙而有趣 的几何 [ . M] 上海教育 出  
版 社 , 0 6  20 . ’  

埘 l+ MG   J   J
A删 +1 0。一 8   删 G  

=  

[ ] 戴维斯 ? 尔. 4 盖 蚁迹寻踪及其他数学 探索[ . M] 上海 
教 育 出 版社 , 0 1 20.  

=  

L4 + 1 0。 一   8  

DCM  

2  0

中 等 数 学 

及 点 O处 的卡 片进 行操 作 . 谓 一 次操 作 是  所
指 进行 下面 的一种操 作 :  

最小 质 因子 . 则 

( ) 某个 点  处 的卡 片数 目不少 于 3  1若 , 则 可从 中取 出 3张 , 点 A 、 及 O处 各  在    川
放 一张 ( 。   A = 1 ; A= 川 A ) 

(   ) I, 1 :P? -     t  
由题设 知 

P?  

<; p  
t ? p  P?  

故 2 一, 一) f, ( 2 … … 1:   
r2 2 +i 一1   , 1≤ i p; <  

<; P  

( ) 点 O处的卡片数 目不少 于 n则 可  2若 , 以从 中取 出 ,张 , 点 A , , ,  各 放  l 在 。  : … A 处


张.‘  

小 i + 一,ip   2 2 2 :  zp .
则 0+— 一口 一  ( l   2 p


证明: 只要放 置于 这 n+1个 点处 的卡 片  总数不 少于 , + n+1则 总能通 过若 干次 操  l 3   , 作, 使每个点处 卡片数 目均不小 于 n+1 .  
( 瞿振 华 整数 , 满足 
I  

( 1 p一 ) 2 + 2 p 质数 ) 2 +2 2 一( Z p- )= ( .  

故 口   1 2 Z p一1 . “ 一= (+ )   由以上 讨 论 知有 无 穷 多个 Z , 口 ≥k 使   2 且 口 一一 + Z   1    2= P为 2 —1的最 小 质 因 
子.  

供题 )  

6 设 口 、2 口 、 lb 、3 . 1a 、3b 、2 b为互 不 相 同 的正 

3 令 ,    + + , ’ . ()=   c   
g z =  z ( )= 一 )=口+ I   _,   1+ 。   hz ( )=e g e z i ( i )=c 一 " f l    +bz 。 口. z '一 +     取适 当 的 实 数  、 使 得 C、  , 口,   b ≥0 对 
r , ≤1 有 

[ + 口  + —《 In1 + + — 6, ( 1? ( 1 ][ +    ( 1; n )+ n ) ( ) n )]  
对任何 正整 数 ,成 立 . 证 : 在 正 整 数 J  I 求 存 I } , 使得 b:k i ,,) (   a( =12 3 . 陈永 高   供题 )  

参 考 答 案 
第 一 天 
1 联 结 A 、 D、 E、F、 F  . CA A A D . 由  A DB= A B, A B= A F及    F   C   E
C = EF  D

{≥J (   I I (   I   r )引 mhr ) he e  
= I -  ̄ sn 20+r一 6 sn 0+I 口   2  i   r    i  m  I
. 

不妨设 I 口 ≥0, m   否则 可作变 换 ¨ 一0  ,

这 对 意   << )   样 任 的( 詈, 0 有
=AF 

△AD △A F C  E  

{ rcn0 rbn  ≥-'  + '  2i s2 s0 i
 ̄ r丁 >2 - 3  
 ̄ l c  bl c  

A DF = / AF D 
A BC =   A D= F   A DF =   A F  B

面 

而 

jA  是  C F的角平 分线 . B  

联结 C 肌 因为  是 弧胎 的中点 , M、 所  以 ,M 是  D F的角平 分线 . C C   同理 , 是  C B的角平 分线 . 刷 F  
于是 ,A C F B 、 M、N三线共点. 设交 点为 , .   在 圆 厂, 中 , 、   由圆幂定理 得 
C ?M = I I . ?B :NI I   Il A ? 4 I B  1 ?F
j NI I =C I . ?F I?M  

(任 r , (詈) 对 意≤0 o )  ∈ ,  




( l 。 n 手  )


3g  ,


1 ‘ 6  

e(号   ∈o )
6J  c= 的例 子 :  

从 而 , F  、 C、 、 Ⅳ四点共 圆.   2 假 设 口 = /Z i. .   2 ( ≥| 再设 P为 Z } ) 一1的 

2 1 第 3期  00年

2  1

心的圆周上. 称连续相邻的若干个点的集合 
=   一   一   .  

G={iA+, ,lJl ( ≤iz ) A ,jI… A+—} 1 、≤n 
对于 z e ( ≤1 , =r  r ) 有  I r l   e    )
=  

为一个 “ , 团” 这里 若有下标 > , n 则 
A j=aj


. 

 

[r o2 — 西 cs — )   ( ̄ s 0 2 0 0 3 + c   
(2i 2 2/ s  ) ] ,s  0— , i 9 z  n X, n

如 果对 团 G中 每 点 处 的 卡 片 都 做 一 次 

J    ‘

操作( ) , 1 后 G中每点处 的卡片数仍然不 少  于 忍 , 称 团 G为“ 团” +1则 好 .  
乏 l口 , ,  口 >n+ , =12 … , ) 口 ,2 … 口 ( ‘ i 1  ,, ,  1



壶2+rl ( 吣 +—  分别为 点 A ,  … ,  的 卡 片 数 . 好 团  [ 1+ 一   r3) r 2 8  r 2 ) 4 2    A , A 处 则
需 满足 如下 的充要 条件 :  


≤ (41 + ) 壶2+ r 1 r2 8    
第 二 天 
4 令 口 =口口 b作 带余除 法  . , , = ,
b  =(n+ ) + ( 、 Z,≤r   . 一 2 1 g rgr∈ O ≤2 )  

个点 的团 G是好 团 

铮 Ⅱi n +4 ; ≥  

两 个点 的 团 C是好 团 
口ho + ≥ ,   l l+3;  

取 T={ n+(n+1 后 k 0 1 … , } 口+ 2 ) I= ,, q .  

Z3 ≤ ( ≤Z  一1 个点 的团 G是好 团  )
口卜 口 +  


】 n+3,   I > 且

则  I +1 + =q ≤1  

, 且集 合 

a≥ 2 i ≤ ≤i Z 2 ; j  + ( +1   + - )  . 全部 疗个点 的 团 G是好 团 
牟 ≥n+ ( ≤ ≤ )  f 21  .  

B={+ I ∈ Ts=一 一 1 …,   t st ,  , 忍+ ,  }


{, 口 n+1 … , , 口+( n+1 q+ n} 2 ) 2 .  

注意 到  口 2 +1q+ n a+(n+1q r 6 +( n ) 2 > l 2 )+ = .  

下面证 明 : 当点 D处 的卡片数 少 于  +1  

时, 或等价地 , 口 + 2 … +   n + n   当 l 口+ 口 1   2 +1 >
时 , 存在好 团. 必   假 设不存 在好 团.  

故每个 口均在 曰中. i  
从而 , 论成 立. 结   5 只需 考虑卡 片总数 等于 n +3 .   n+1的 

情况 .  
采取如 下策 略.  

于是 , 每个 口∈ { +1n+ , + }否  i n , 2凡 3 , 则会有 某个 点 A处 的卡片 数 口≥n+ , 得    。 4使
G={ i是一个好 团. A}   设 口 ,2… ,  1n , n中有  个 t+1,个 /+ l , , , 1  ,
2 z n+ . 面说 明 : ,个 3下 一定有 ≥彳 .  

如果有 某个 点 A处 的卡 片数 不 少 于 3    ,

则对点 A处的卡 片进行操作 ( ) 这样的一    1. 次操作 使得 点 0处 的卡 片数增加 1于 是 , , 经 
过有 限 次 操 作 ( ) , 不 能 再 进 行 操 作  1后 将
( )此 时 , 1. 每个 点 A处 的卡 片数不超 过 2, i 点  0处的卡 片 数不 少 于 t +n+1 然 后 对 点 0 / ,   .  

由于 t + 凡+1> ( 2 , z 1 / 2 ,   n n+ )故 > . 1  
若 =1 则 有 ≥1 否则所 有 n≥l+   , ,   r 2, t , 使得 G={  A , ,  是一 个好 团. A ,: … A }  

处 的卡片进 行 n+1次 操 作 ( ) 此 时 , 2 , 每个  点 A处 的卡片 数不少 于  +1   .   下面在 保 持 每 个 点 A处 的 卡 片 数 不 少   
于 聘+1的情 况 下 , 点 D处 的 卡 片数 增 加  使
到至少 n+1 .  

若 z 2有 n 3 > i , + 张卡片的 z 个点将 圆周  分成 段 圆弧 , 由于不 存 在好 团 , z 点没  这 个 有两点相邻 , 且每段 圆弧上都存在一个点 只  
有  +1张 卡片 . 故 ≥ 此 时 , A ,2 … , . 点  A ,  

A处的卡片总数为   
( n+1 y r+2   ,+ ) )+ (/ )+ (l 3   ,

设 想 A ,  … ,  次排 列 在 以 0为 圆  ,A , A 顺

≤ ( )+z ( + ): n /+ )  + , ) , 2 l (, 2  I

中 等 数 学 
< 2+2n + 1  
. 

当 s +1时 , =t 若 … ≠ +, l不妨设 …  <…. Y 则 

矛盾. 这样就 证 明 了当点 0处 的卡 片数 少 于 

1+1时 , A , , ,  总 存 在 好 团. 1 , 点 。   … A中 于  是 , 次对一 个好 团 中的每 个点 做 操 作 ( )  每 1,
直至点 0处 的卡 片数 不 少 于 1+1 而 点 A , 1 , , 。  

A , A 处的卡片数也不少于  + .   …,  1   6设 r . 为任意的正整数. 由于质数有无 
穷多个 , 故存 在质数 p使 得  , p>(   ; 8 ) b +b + ; . n +口 + ; (  ; b) 由 P为质 数及 式①得 
( , + ; 口 )=1 P口 口 + ; .  

( (  .(     焘). 筹) ++   (   ).(  孔  )(  .焘 + ++ ?  


又 0<  

<1( 1≤i ≤t+1 , 卜+ )令  

(  

+∞ , 0 , 盾. 有 ≥1 矛  
因此 ,… = … .   Y  

故  + ;   +… + :   
=   Y +… + :r , , ) y+  Y ( :1 2 … .   由归纳假 设知  :  i , , ,) y( =1 2 … t .   ② 

又 P与 P一1互 质 , 中国 剩余 定 理 知 , 由   存在 正整数 凡使 
n ( d p一1 )  兰r mo ( ),

由数学 归纳原 理 知 引 理对 一 切 正 整数 s  
均成立 .  
回到原 题.  

(: ; ; 口 +口 +口)+口 一 ; ( dJ .  : 口 -0 mo ) ( P

由式② 、 ③及费马小定理知 
( 凡+1 口  ; /一1 口  ) +, +(, ); 7

由于 o 、 2口 、 lb 、3 10 、3 b、2 b互不相 同 , 故 
02 1 0 b1 口3 l 口 6 口1 2≠ 口1 3, b ≠ 3 , b ≠ 3 2, 6 6   口l 3 0 6 az 1 0 6 . b ≠ 2 3, b ≠ , 3 2  

-na +   0) 口 一 ; O m d ) ④  (  口 + ; +   n- ( o P .


由题设 得 

( n+1 b +n; n一1 6毒0 ro P) ): 6 +( ); ( d . o  

再 由式②及费马小定理得 
n 6 +  + ; +b 一b-0 m dp . ⑤  (  b b)   ; ( o )

由式⑦及引理得  ab = 32 nb,3l a6 = z , ⑧  21 a6 = l 口6 = I ab 3 2 3
或  口 6 =口6 ,3l 130 6 =口6. ( 21 l2a b =a6 ,32 23  

由式④ 、 消去  得  ⑤ ( + ; 口 ) b b) a 口 + ; ( 一 ;  s(: b b) 。 口 ) ro ) ⑥  6 +  + ; ( 一 ; ( dP . o  

若结论⑧成立 , 则 
n2 l 03 2 01 3 6  6  6


。2  


口3  

口l  

a3 l 一 b  b  a 2 l

’  

这与 0 、 、 , 不 相 同矛 盾 .    。互  

由式① 、 ⑥得  ( + + ( b = + 6 ( a) o    )    -; (  +;  -;, ) )  
即 ( 21  ( 31 +( 32  a b) +2 0b ) 口b )


所 以, 结论⑨成立.  
于是 , : : .        

( l2 + ( l3 +( 23   口6 ) 2 口6 ) a b).

⑦ 

下 面先证 一个 引理 .  
弓 理  设 l 2 … , ,ly , , 0< I , ,   Y ,2 … y(    

设 车 ( 2 1≥)    : ( , :, 1 则  ) z .
b 粤   =,3.   oi1 ,   = ( 2) 由 6 6 粤(。0及 设 取, 1 2 +2 2 +2 题 ( l ) 。 = 0 ) = 
( 0 + ) (6 + 6) 2 l  2 I2 l 2 

l   ≤… ≤ , ≤ 2   0<, ≤) ≤ … ≤)) 实  , , 1 2 ,为 , 数 , 足 对任意 的正 整数 r总有  满 , +;   +… + =,+ +… + .   ,        
则  =   i , , ,) Y( =l 2 … 5 .  

引理的证 明

对 s 数学 归纳 法. 用  

知_为整数, _ . 等 . 即f 1  
所 以 ,  玩 i , , ) b : ( =1 2 3 .  

当s =1时 , r 1有 l ,. 取 = , =,  1
假设 当 s t 引理成 立 。 =时  

( 熊



提供 )  


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