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浙江省慈溪中学2013届高三第一次月考考试数学文试题


天利图书

顾斌

浙江省慈溪中学 2013 届高三第一次月考考试
数学(文)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 S ? x x ? 1 ? 2, x ? R , T ? ? x A. ?x | 0 ? x ? 3,

x ? Z ? C. ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ?

?

?

?

? 5 ? 1, x ? Z ? ,则 S ? T 等于( ? x ?1 ?
B. ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? D. ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ? )



2.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R ,是虚数单位,则复数 a ? bi ? ( A. 1 ? 2i
2

B. ?1 ? 2i

C. ?1 ? 2i

D. 1 ? 2i )

3.不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的解集非空的一个必要而不充分条件是( A. a ? 1 B. a ? 0 C. 0 ? a ? 1 D. a ? 1

4.若 M 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 ( MB ? MC ) ? ( MB ? MC ? 2MA) ? 0 , 则 ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形

5.已知数列 {a n }中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? n , 利用如图所示的程序框图计算该数列的 第 10 项,则判断框中应填的语句是( ) A. n ? 10 B. n ? 9 C. n ? 9 D. n ? 10

6.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正(主)视图 是 直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这 3 ) 个几何体的体积是(单位 cm ) ( A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D. ?

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 7.若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ? x ? my ? 1 ? 0, ?
( )A. ?2 B. ?1

且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ?

C.1

D. 2

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8.将函数 y ? f ( x) 的图像沿着直线 y ? 3 x 的方向向右上方平移两个单位,得到

y ? sin 2 x ,则 f ( x) 的解析式为(
A. y ? sin(2 x ? 2) ? 3 C. y ? sin(2 x ? 2) ? 3
3

) B. y ? sin(2 x ? 1) ? 3 D. y ? sin(2 x ? 1) ? 3

9.若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? 是(
9 )A. ( , ??) 4

1 则 , 0) 内单调递增, a 的取值范围 2
3 ,1) 4

B.(1,

9 ) 4

C. [

D. [

1 ,1) 4

10. 已知椭圆C1:

y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线C2: x 2 ? ? 1 有公共的焦点,C2的 a2 b 4
) B. a 2 ? 13 C. b 2 ?

一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,C1恰好将线段AB三等分,则( A. a 2 ?

13 2

1 2

D. b 2 ? 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11.已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5

12.函数 y ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为



13.已知函数 f(x)=x|2-x|-m 有 3 个零点分别为 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值范 围是 。

14.若函数 f ( x) ?

ax ? 2 ? x ? 2a 2 a ?1

为奇函数,则实数 a =



15.若数列 {an } 的各项按如下规律排列:

2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n ?1 n ?1 n ?1 , , , , , , , , , ,? , ,? ,?, 则a 2012 ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n



16 . 若 {bn } 是 等 比 数 列 , m, n, p 是 互 不 相 等 的 正 整 数 , 则 有 正 确 的 结 论 :

? bp ? ? bm ? ? ? ?? ? ? ? ? bn ? ? bp ?
m

n

?b ? ? ? n ? ? 1 .类比上述性质,相应地,若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互 ? bm ?
. .

p

不相等的正整数,则有正确的结论:

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17.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D,且 f ( x ? l ) ≥ f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的“高调函数”.现给出下列命题:
①函数 f ( x) ? 2 为 R 上的“1 高调函数”;
x

②函数 f ( x) ? sin 2 x 为 R 上的“ π 高调函数”; ③如果定义域为 [?1, ? ?) 的函数 f ( x) ? x 2 为 [?1, ? ?) 上“ m 高调函数”,那么实数 m 的 取值范围是 [2, ? ?) ; 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题 14 分)向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n . (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面积

?? ?



3 ,求 a 的值. 2

19. (本题 14 分) 设数列 且

?an ? 是首项为 a? (a? ? ?) ,公差为 2 的等差数列,其前 n 项和为 S n ,

S1 , S 2 , S3

成等差数列。

?a ? (Ⅰ)求数列 n 的通项公式;

(Ⅱ)记

bn ?

an 2 n 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

20. (本题满分 14 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,点 M 在边 CD 上,点 F 在边 AB 上, 且 DF ? AM ,垂足为 E,若将 ?ADM 沿 AM 折起,使点 D 位于 D? 位置,连接 D ?B ,D ?C 得四棱锥 D? ? ABCM 。

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(1) 求证: AM ? D?F ; (2) ?D ?EF ? 若 求直线 AD? 与平面 ABCM 所成角的正弦值。

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? , 3

?
3

, 直线 D ?F 与平面 ABCM 所成角的大小为

21. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦 点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为

3 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 2 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

22. (本小题满分 16 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? x ? ax ? x ? 2
3 2

(I)如果函数 g (x) 的单调递减区间为 (? ,1) ,求函数 g (x) 的解析式; (II)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? g (x) 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程; (III)若不等式 2 f ( x) ? g ?( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 3

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浙江省慈溪中学 2013 届高三第一次月考考试 数学(文)答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 B 2 B 3 D 4 A 5 B 6 A 7 C 8 A 9 C 10 C

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. 15 . 17.

7 25

12.

? ?1,1?
16 .

13.

(4,3 ? 2)

14.

1

64 59
①②③

m( a ? a) ? p n

n ma? (

p

a? )

(p n ? a

m

)a? 0

三、解答题(共 72 分) 18.18.(共 14 分)解: (1)? m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x) ,

? f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2? ? 2 sin(2 x ? ) ? 3 ……4 分 ?T ? ? ? ………5 分 2 6 ? 2 ? ? 3? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ? k? ? ? x ? k? ? ? (k ? Z ) 2 6 2 6 3 ? 2 ? f (x) 的单调递减区间为 [k? ? , k? ? ? ] ,k∈Z………………………………7 分 6 3 ? ? 1 (2)由 f ( A) ? 4 得 f ( A) ? 2 sin(2 A ? ) ? 3 ? 4 ? sin(2 A ? ) ? …………8 分 6 6 2 ? ? 13? ? 5? ? 又? A 为 ?ABC 的内角,? ? 2 A ? ? ,? 2 A ? ? ? A ? …10 分 6 6 3 6 6 6 3 1 3 ,?c ? 2 ……………………………12 分 ? S ?ABC ? , b ? 1 ,? bc sin A ? 2 2 2 1 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? ? 3 ,?a ? 3 …………………14 分 2
19. (Ⅰ)∵ 由

S1 ? a1



S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? 2



S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 6
,即

,-------------2 分 ,

S1 , S 2 , S3

成等差数列得,

2 S2 ? S1 ? S3

2 2a1 ? 2 ? a1 ? 3a1 ? 6

解得

a1 ? 1

,故

an ? 2n ? 1

;-------------------------------------6 分

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bn ?

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(Ⅱ)

an 2n ? 1 1 ? n ? (2n ? 1)( ) n n 2 2 2 , ---------------------------------------7 分

1 1 1 1 Tn ? 1? ( )1 ? 3 ? ( )2 ? 5 ? ( )3 ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) n 2 2 2 2 , 法 1:
1 1 1 1 1 Tn ? 1? ( 2 ? ? ( 3 ? ?5 ( 4?) ? ) 3 ) ? 2 2 2 ① 2 得, 2 ?




1 n ? 2 ? 3 )n ?( n ? (?2 ( ) 2

1? 1 n 1) ( ) 2 ,

1 1 1 1 1 1 Tn ? ? 2 ? ( ) 2 ? 2 ? ( ) 3 ? ? ? 2 ? ( ) n ? (2 n ?1) ?( ) n?1 2 2 2 2 2 ① ? ②得, 2

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? (2n ? 1) ? ( 1 ) n ?1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 2? 2 1 2 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2 , -----------------------12 分
Tn ? 3 ? 4 2n ? 1 2n ? 3 ? n ? 3? n n 2 2 2 .------------------------------14 分 an 2n ? 1 1 1 ? n ? n ? n ?1 ? n n 2 2 2 2 ,



法 2:

bn ?
n



Fn ? ?

n k f ( x) ? ? (kx k ?1 ) k ?1 k ?1 2 k ?1 ,记 ,

n ?1 ? n ? n ? ? ? x k ? ? ? x ? x ? ? 1 ? (n ? 1 ? nx) x f ( x) ? ? ? x ? ? ? ? ? ? (1 ? x)n k ?1 ? k ?1 ? ? 1 ? x ? 则 , n k



?1? Fn ? 4 ? (n ? 2) ? ? ?2?

n ?1



---------------------------------------12



1 1 (1 ? n ) 2 ? 4 ? (n ? 2) ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 Tn ? Fn ? 2 1 2n?1 2n 2n 1? 2 --------------14 分
20(本题满分 14 分)

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21. (Ⅰ)由⊙Q 过 M、F、O 三点可知,Q 一定在线段 FO 的中垂线上,所以 y Q ?

p 4

p p 3 ? (? ) ? ? p ? 2 ? x 2 ? 4 y 4 2 2
( Ⅱ ) 设 存 在 点 M( x0 ,

x0 1 ' ), y ? x 4 2

2

切 线 MQ : y ?

2 x0 x0 ? ( x ? x0 ) , 令 4 2

y?

1 1 x0 , xQ ? ? 2 x0 2
2

所以 Q(
2

x0 1 1 ? , ),由 MQ ? OQ 可得 2 x0 2
2

2 ? x0 1 ? 1 ?x 1 ? ?x 1? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? 解方程得 x0 ? 2 2 ,存在 M 2 2 ,2 ? 2 x ? 4 ? 2 x0 ? ? 4 2 ? 0 ? ? ? ? ? ?

?

?



? 1 ? ? ? ,1? ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 由题意 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是 ? 3 ? g 22. 解:(1)

1 ? ,1 即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根分别是 3 .
2

1 2 将 x ? 1或 3 代入方程 3x ? 2ax ? 1 ? 0 得 a ? ?1. ?

? g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 .

…………5 分

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2

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? ? (2)由(Ⅰ)知: g ( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,? g (?1) ? 4 ,

?点 P(?1,1) 处的切线斜率 k ? g ?(?1) ? 4 ,

?函数 y= g ? x ? 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程为:
y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 5 ? 0 . ? (3) ? (0, ??) ? P ,? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2
即: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 对 x ? ?0,?? ? 上恒成立
2

…………10 分

a ? ln x ?
可得

3 1 x? 2 2 x 对 x ? ?0,?? ?上恒成立 3x 1 ? 2 2x , x ? 1, x ? ?
'



h?x ? ? ln x ?



h ' ?x ? ?

?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ? ? 2 ?? x 2 2x 2x 2

令 h ? x ? ? 0 ,得
'

1 3 (舍)
'

当 0 ? x ? 1 时, h ? x ? ? 0 ;当 x ? 1时, h ? x ? ? 0

?当 x ? 1时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? max =-2

?a ? ?2 .
…………16 分

?a 的取值范围是 ?? 2,?? ? .


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