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【高考解码】2015届高三数学二轮复习(新课标) - 微课7 概率计算与随机变量分布列问题的解题策略(理)


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微课 7 概率计算与随机变量分布列问题的解题策略(理) [策略诠释] 1.主要类型:(1)概率计算时,根据限制条件,进行分类讨论求解.(2)含有“至少?‘至多”等问题 的求解,一般要分类讨论.(3)根据随机变量的不同取值,进行分类讨

论求其概率值. 2.解题思路:一般结合限制条件或随机变量的可能取值,分类讨论求解. 3.注意事项:(1)准确确定分类对象及分类标准,要不重不漏.(2)随机变量的各种取值情况要考虑全 面,其对应的概率计算要准确. 【典例】 (12 分)(2014· 汕头模拟)某市日前提出,要提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有 大的提速,努力实现“幸福全市”的共建共享.现随机抽取 50 位市民,对他们的幸福指数进行统计分析, 得到如下分布表: 幸福级别 幸福指数(分) 人数(个) 非常幸福 90 19 幸福 60 21 不知道 30 7 不幸福 0 3

(1)求这 50 位市民幸福指数的数学期望(即平均值). (2)以这 50 人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任选 3 人, 记 ξ 表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民的人数.求 ξ 的分布列. (3)从这 50 位市民中,先随机选一个人,记他的幸福指数为 m,然后再随机选另一个人,记他的幸福 指数为 n,求 n<m+60 的概率 P. [审题] (1)切入点:根据计算公式代入数值,求解. 关注点:幸福指数(分)的平均值. (2)切入点:确定 ξ 的可能值及其对应的概率值. 关注点:准确求出 ξ 各取值对应的概率. (3)切入点:计算基本事件总数,待求事件包含基本事件数,用古典概型计算. 关注点:m,n 的取值不定,需对 m,n 的取值分类讨论. [审题] (1)记 E(X)表示这 50 位市民幸福指数的数学期望,则 1 E(X)= (90×19+60×21+30×7+0×3)=63.6(分)2 分 50 (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3

?4?0?1?3= 1 3 分 P(ξ=0)=C0 3 5 ? ? ?5? 125 ?4?1?1?2= 12 4 分 P(ξ=1)=C1 3 5 ? ? ?5? 125 ?4?2?1?1= 48 5 分 P(ξ=2)=C2 3 5 ? ? ?5? 125
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?4?3?1?0= 64 6 分 P(ξ=3)=C3 3 5 ? ? ?5? 125
所以 ξ 的分布列为 ξ P 7分
2 (3)基本事件的总数为 A50 =2 4508 分

0 1 125

1 12 125

2 48 125

3 64 125

满足条件 n<m+60 的有如下各种情况:
1 ①满足 m=0 时,n=0,30 的事件数为:A1 3A9, 1 1 ②满足 m=30 时,n=0,30,60 的事件数为:A7 A309 分 1 ③满足 m=60 时,n=0,30,60,90 的事件数为:A1 21A49 1 ④满足 m=90 时,n=0,30,60,90 的事件数为:A1 19A4910 分 1 1 1 1 1 1 1 A1 3A9+A7A30+A21A49+A19A49 所以 P= 2 A50



3×9+7×30+21×49+19×49 2 197 = 12 分 2 450 50×49

[变题] (2014· 辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图 所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概 率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E(X)及方差 D(X). 【解】 (1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示 事件“在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”,因 此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108. (2)X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为
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P(X=0)=C0 (1-0.6)3=0.064, 3· P(X=1)=C1 0.6(1-0.6)2=0.288, 3· P(X=2)=C2 0.62(1-0.6)=0.432, 3· P(X=3)=C3 0.63=0.216. 3· 分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 微课 7 概率计算与随机变量分布列问题的解题策略(文) [策略诠释] 1.主要类型:(1)将待求事件的概率转化为古典概型,进而转化为计数问题求解.(2)将待求事件的概 率转化为几何概型,进而转化为区域(长度、面积等)的计算问题求解.(3)将待求事件转化为对立事件的概 率、互斥事件的和事件的概率计算问题. 2.解题思想:读懂题意,将待求事件的概率问题转化为古典概型、几何概型或对立事件的概率、互 斥事件的和事件的概率计算. 3.注意事项:(1)认真审题,准确理解题意,将待求事件的概率转化为相应的概率类型求解. (2)计算基本事件要不重不漏,计算区域大小要准确. 【典例】 (12 分)(2014· 湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平,现随机 抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下: (a,b),(a, b ),(a,b),( a ,b),( a , b ),(a,b),(a,b),(a, b ),( a ,b),(a, b ),( a , b ),(a,b),(a, b ),( a ,b),(a,b) 其中 a, a 分别表示甲组研发成功和失败;b, b 分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否则记 0 分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩 的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率. [审题] (1)切入点:根据已知条件分别列出甲、乙两个小组的研发成绩,利用平均数、方差公式求解. 关注点:平均数、公差公式的正确使用及比较. (2)切入点:从已知信息中提炼出不会有一组研发成功的结果. 关注点:频率视为概率. [解题] 【解】 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1. 10 2 其平均数为 x 甲= = ; 15 3
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2 方差为 s甲 =

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1 2 2 2 [(1- )2×10+(0- )2×5]= .2 分 15 3 3 9

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乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1. 9 3 其平均数为 x 乙= = ; 15 5
2 方差为 s乙 =

1 3 3 6 [(1- )2×9+(0- )2×6]= .4 分 15 5 5 25

2 因为 x 甲> x 乙,s2 甲<s乙,所以甲组的研发水平优于乙组.6 分

(2)记 E={恰有一组研发成功}. 在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是 (a, b ),( a ,b),(a, b ),( a ,b),(a, b ),(a, b ),( a ,b), 共 7 个.8 分 7 故事件 E 发生的频率为 .10 分 15 7 将频率视为概率,即得所求概率为 P(E)= .12 分 15 [变题] (2014· 东北三校联考)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统 计如下: API 空气质 量 天数 [0,50] 优 4 (50,100] 良 13 (100,150] 轻微污染 18 (150,200] 轻度污染 30 (200,250] 中度污染 9 (250,300] 中度重污 染 11 >300 重度 污染 15

(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 w)的关系式为: 0,0≤w≤100 ? ? S=?4w-400,100<w≤300, ? ?2 000,w>300 试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率. (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染.完成下面 2×2 列联表,并判 断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?

非重度污染 供暖季 非供暖季 合计
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重度污染

合计

100
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0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706

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0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

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附: P(K2≥k0) k0 K2= 0.001 10.828

n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

【解】 (1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A. 由 200<S≤600,得 150<w≤250,频数为 39, 39 P(A)= . 100 (2)根据题中数据得到如下列联表: 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 22 63 85 重度污染 8 7 15 合计 30 70 100

100×?63×8-22×7?2 K2 的观测值 k= ≈4.575>3.841, 85×15×30×70 所以有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.

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