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3.2立体几何中的向量方法(平行、垂直、夹角、距离)


3.2 立体几何中的向量方法
----直线的方向向量与平面的法向量

一、点、直线、平面的位置的向量表示





P
空间中任意一点P的

O 基点



位置可用向量 OP 表示

直线<

br />l

? a




A

? AP ???a(? ? R) 点A和 a 不仅可以确
定直线l的位置,还可 以具体表示出l上的任 意一点P。

P

平面

? a O ? ? b



P

? ? OP ? xa ? yb ( x、y ? R)

? ? 点O和 a、b 不仅可以确定平面 ?

的位置,还可以具体表示出 ? 内的任 意一点P。

? ? 法向量:若 a ? ? ,则 a 叫做平面 ?
的法向量。

平面

? a



?

A

? 过点A,以 a为法向量
的平面是完全确定的

二、线线、线面、面面间的位置关系与向 量运算的关系

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , ? , 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v
探究1:平行关系

? ? ? ? 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ?b ? ? ? ? 线面平行 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ? ? ? ? 面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? ? v

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? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , , ? 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v
探究2:垂直关系

? ? ? ? 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ? u ? ? ? ? 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0

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点击

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , ? , 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v
探究3:夹角 (0 ? ? ? )

? ? 2 |a?b | ? 线线夹角 l, m的夹角为 ,cos? ? ? ? | a || b | 点击 ? ? |a?u| ? 线面夹角 l , ?的夹角为 , sin? ? ? ? | a || u | ? ? 点击 | u?v | 面面夹角 ? , ?的夹角为 , cos? ? ? ? ? | u || v | 点击

?

三、简单应用
设直线l,m的方向向量分别 练习1: ? ? 为 a, ,根据下列条件判断 b l,m的位置关系:

? ? (1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) ? ? (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) ? ? (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

设平面 ? 练习2: ? ??, 的法向量分别 为 u, ,根据下列条件判 v 断? , 的位置关系: ?

? ? (1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) ? ? (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) ? ? (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

四、课堂小结
1、点、直线、平面的位置的向量表示

2、线线、线面、面面间的位置关系的 向量表示

五、思考
1,已知点A(3,0,0), B(0,4,0), C (0,0,5), 求平面ABC的一个单位法向量。
2, 若两个平面? , ? 的法向量分别是 u ? (1,0,1), v ? (?1,?1,0), 求这两个平面 所成的锐二面角的度数 的大小。 .

l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? u
?
?
? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

? v

l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u?v ? 0

l

l

? a

?

? b

m

? ? a b ?

m

? ? |a?b | l, m的夹角为 , ? ? ? ? ? cos | a || b |

? ? a u
?

l

? a
?

l

?

?

? ? ? |a?u| l , ?的夹角为 , ? cos( ? ? ) ? ? ? 2 | a || u |

? u

? u ? v
?

?

?

? ? | u?v | ? , ?的夹角为 , cos? ? ? ? ? | u || v |

? u

?

? v

?

?

? ? | u?v | ? , ?的夹角为 , ? ? ? ? ? cos | u || v |

3.2 立体几何中的向量方法(2)
----空间角与距离的计算举例

一、复习 二、讲授新课
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为 向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (回到图形 (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题)

2、例题
例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为 端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个 顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 解:如图1,设 AB ? AA1 ? AD ? 1,?BAD ??BAA1 ? ?DAA1 ? 60? 化为向量问题 依据向量的加法法则, AC1 ? AB ? AD ? AA1 进行向量运算
AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 2
2 2 2
2

D1

C1
B1

A1 D A 图1
B

C

? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos60? ? cos60? ? cos60?) ?6 | AC1 |? 6 所以

回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。

思考:
(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系? 分析:
BD1 ? BA ? BC ? BB1
A1 B1 D D1

其中?ABC ? ?ABB1 ? 120? , B1 BC ? 60? ?

C1

(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,

并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
, 那么有这个四棱柱的对角线的长可以 ? 确定棱长吗? 于
A

C
B

AB ? 分析: 设 AC1 ? a , ? AD ? AA1 ? x , BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? ?

则由AC1 ? AB ? AD ? AA1
AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )
2 2 2 2

1 a 即 a ? 3 x ? 2(3 x cos? ) 3 ? 6 cos? ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2 2 2

? x?

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提 示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离) 分析:面面距离 ?点面距离 ? 向量的模 ? 回归图形
过 解: A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
2

D1 A1 B1 H A C B

C1

D

由 ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1 ? H 在 AC上.
AC ? ( AB ? BC )2 ? 1 ? 1 ? 2 cos 60? ? 3 ? AC ? 3

AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? BC ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ? cos60? ? cos60? ? 1.
? cos?A1 AC ? AA1 ? AC | AA1 | ? | AC | ? 1 3

?

?

6 A1 H ? AA1 sin?A1 AC ? 3

6 3 6 ∴ 所求的距离是 3 。 sin?A1 AC ?

练习:
如图2,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E

分别是边OA,BC的中点,连结DE,计算DE的长。
D

O

C A E

B
图2

例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
BD CD AB 解:如图, AC ? a , ? b , ? c , ? d . 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB ? AC ? CD ? DB
?
C D B

进行向量运算
d ? AB ? ( AC ? CD ? DB )2
2 2 2 2 2

?

A 图3

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 AC ? DB ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2CA ? DB 于是,得 2CA ? DB ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2

? 设向量 CA 与 DB 的夹角为 ? , 就是库底与水坝所成的二面角。

因此

2abcos? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 .

所以

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 cos? ? . 2ab

回到图形问题
a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab

例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考: (1)本题中如果夹角 ? 可以测出,而AB未知,
?
C D A 图3 B

其他条件不变,可以计算出AB的长吗?
分析:由 AB ? ( AC ? CD ? DB )2
2

?

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

2

2

2

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2abcos?

∴ 可算出 AB 的长。

(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条

D1
A1 B1 D A B C

C1

对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的
夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦 值吗? 分析:如图,设以顶点 A 为端点的对角线

长为 d ,三条棱长分别为 a , ,, b c 各棱间夹角为 ? 。
则 d ? A1C ? ( AB ? AC ? CC1 ) 2
2 2

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2(ab ? bc ? ac) cos?
? d 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 cos? ? 2(ab ? bc ? ac)

(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ,并且以某一顶
点为端点的各棱间的夹角都等于? ,那么可以确定这个四棱柱相邻 D1 两个夹角的余弦值吗? 分析: 二面角 ? 平面角 ?向量的夹角 ? 回归图形 解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E, 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
则 A1 E ? CF ? a sin? , ? BF ? a cos? AE
A1 B1 C B F C1

D E

? cos? ? cos ? EA1 , ?? cos ? A1 E , ? FC CF
? A1 E ? CF | A1 E || CF |

?

( A1 A ? AE ) ? (CB ? BF ) a 2 sin2 ?

a 2 cos? ? a 2 cos? cos( ? ? ) ? a 2 cos? cos( ? ? ) ? a 2 cos2 ? ? ? ? a 2 sin2 ? cos? ? ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 1 ? cos?

练习:
(1)如图4,60°的二面角的棱上有A、B两 点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面

?

C A B

内,且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,
求CD的长。

?

D 图4

(2)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三 角形,∠A1AB=45°,∠A1AC=60°,求二面角B-A

A1-C的平面角的余弦值。
A1 B1 C1

A

C

B

图5

如图6,在棱长为 a 的正方体 OABC ? O' A' B' C ' 中, 分别是棱 E、F 上的动点,且 AB、BC 。 ? BF AE
O’

C’
A’

B’

(1)求证:A' F ? C ' E ; (2)当三棱锥 B'? BEF 的体积取最大值时,求二
面角 B'? EF ? B 的正切值。
O

C F
图6

E A

B

小结:
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 面面距离 ?点面距离 ?向量的模 ?回归图形 二面角 ? 平面角 ?向量的夹角 ?回归图形

作业:
课本P121 第 2、4 题

3.2 立体几何中的向量方法(3)

----利用向量解决平行与垂直问题

xxz

一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为 向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (回到图形 (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题)

2、平行与垂直关系的向量表示

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , ? , 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v
? ? ? ? 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ?b ? ? ? ? 线面平行 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ? ? ? ? 面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? ? v
(1)平行关系
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? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , , ? 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v
? ? ? ? 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ? u ? ? ? ? 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
(2)垂直关系
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二、新课
(一)用向量处理平行问题

(二)用向量处理垂直问题

(一)用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E

B

C

N 且FM ? AN .求证:MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D ? BE ? AB, FM ?? AN ,??? ???? , ??? ? FB ? AC ? ? ? ?存在实数?, 使FM ? ? FB, AN ? ? AC. ???? ???? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? MN ? MF ? FA ? AN ? ? BF ? EB ? ? AC ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ??? ???? ??? ? ? ? ? ( BE ? BA ? AB ? AD) ? EB ? ? ( BE ? AD) ? EB ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ( BE ? BC ) ? BE ? (? ? 1) BE ? ? BC.

例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M

E

B
N

C

且FM ? AN .求证:MN // 平面EBC ???? ??? ??? ? ? ? ? MN、 、 共面. BE BC

A

D

? M ? 平面EBC ,? MN // 平面EBC
评注: 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。

例2.在正方形ABCD - A B1C1D1中, 1 求证 : 平面A BD // 平面CB1D1 1
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D

证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D

C

B
D1

C1
B1

C (0, 0,1), D(0, 0,1) ???? ? ???? 则A1 D ? (?1, 0,1), B1C ? (?1, 0,1) ???? ???? ? ? A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C,

A1

Y

则A1 D // 平面CB1D1.同理右证:A1B // 平面CB1D1.

? 平面A1 BD // 平面CB1 D1.

例2.在正方形ABCD - A B1C1D1中, 1
Z
D

求证 : 平面A BD // 平面CB1D1 1

A
D1

C

B

评注: B 1 由于三种平行关系可以相互转化, 所以本题可用逻辑推理来证明。 X 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化, 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系, 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
1

C1

Y

A

(二)用向量处理垂直问题 例3 :
在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
证明:如图 ??? ???? ????? ? 取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 X 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2.

Z

E

F

Y

A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点.

Z

E

求证:A ' F ? 平面BDE. ????? A ' F ? (?1,1, ?2), ???? ???? F DB ? (2, 2,0), DE ? (0, 2,1) ????? ???? ? A ' F ? DB ? (?1,1, ?2) ? (2, 2,0) ? 0,X ????? ???? A ' F ? DE ? (?1,1, ?2) ? (0, 2,1) ? 0 ????? ???? ????? ???? ? A ' F ? DB, A ' F ? DE , 又DB ? DE ? D.? A ' F ? 平面BDE

Y

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
评注: 本题若用一般法证明, 容易证A’F垂直于BD, 而证A’F垂直于DE, 或证A’F垂直于EF则较难, 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
E
Z

Y

F
X

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC,

证明:设底面边长为1, 设a ? AA', b ? AB, c ? AC a ? b ? 0, a ? c ? 0, b ? c ? 1 / 2. A' C ? A' A ? AC ? c ? a
C

B A

向量法

AB' ? AB ? BB ' ? b ? a BC ' ? BA ? AC ? CC ' ? c ? a ? b

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中,

C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? ?AB ', 求证:BC ' ? AB ' ???? ???? ? ? ? ? ? 0 ? A ' C ? AB ' ? (c ? a ) ? (b ? a ) ? ? ? ? ? ? ?2 ? c?b ? c?a ? a ?b ? a ?2 ? ? 1 a ? c?b ? 2

C

B A

BC ' ? AB' ? (c ? a ? b) ? (b ? a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (c ? a ? 2a ? b) ? (b ? a ) ? (2a ? b) ? (b ? a ) ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ? 2a ? a ? b ? b ? 2a ? b ? 1 ? 1 ? 0

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, 底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB ' 设底面边长为 , 高为h, 2 坐标法 如图建立空间直角坐标 . 系
A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (0,?1,0).
C' A' B'

C

B A

A' ( 3 ,0, h), B' (0,1, h), C ' (0,?1, h). ???? ? ???? ? ???? ? AB ' ? (? 3,1, h), A ' C ? (? 3, ?1, ?h), BC ' ? (0, ?2, h) ???? ???? ? ? 0 ? AB ' ? A ' C ? 3 ? 1 ? h 2 , h 2 ? 2. ???? ???? ? ? 2 AB ' ? BC ' ? 0 ? 2 ? h ? 0.? BC ' ? AB '

三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 ? 向量法:利用向量的概念技巧运算解决问 题。 ? 坐标法:利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。

四 、 作 业
解:

1.

如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 90 ,
0

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . Z 求证CD ? 平面BDM
A

A1
D
C

如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),

C1
M Y

B1

2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 X ???? ????? 2 1 1 ???? 1 1 CD ? ( , , ), A1 B ? ( 2, ?1, ?1), ? (0, , ? ), DM 2 2 2 2 2

作业:1. 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 90 ,
0

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM
A Z

A1
D

B X

? A1B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, ? CD ? 平面BDM .

B1

??? ???? ? 则CD ? A1 B ? 0, ??? ???? ? ? CD ? DM ? 0. ? CD ? A1B, CD ? DM .

C

C1
M Y

作业:2.课本p.116第2题。

? Bye-bye!

l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? u
?
?
? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

? v

l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u?v ? 0

3.2 立体几何中的向量方法(4)

----坐标法中解方程组求向量的有关问题

xxz

一、复习
1、单位向量,平面的法向量

(1)单位向量--模为1的向量。 (2)平面的法向量--垂直于平面的向量。
2、坐标法

二、讲授新课 例1,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 棱长为1,求证:平面A1BC1的法向量为直线 DB1的方向向量.
分析:(1)建立空间坐标系; (2)用坐标表示向量 A1 B, BC1 (3)设平面A1BC1的方向向 量为n=(x,y,z),由下列关系列 方程组求x,y,z.
n ? A1 B ? 0, n ? BC1 ? 0

z

D1
A1

C1

B1
D
C

(4)证明向量n// DB1

A

y

B

思考:有更简单的方法吗? x

例三 如所示,A B C D 是一直角梯形,?A B C = 900 , 2 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与面SBA 2 S 所成二面角的余弦值.
B
A D

C

? 分析:二面角的范围: ?? ? ? n2 ?? A n1 ? B ? O
cos ? ?
?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|

? [0, ? ]
?
?? ? n2
?

?? n1
?

cos ? ?

?? ?? ? ? | cos ? n1 , n2 ?|

关键:观察二面角的范围

如所示, A B C D 是一直角梯形,?A B C = 900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值. 例三 2

z

解: 建立空直角坐系A - xyz如所示, 1 B 1, A (0, 0), C (- 1, 0), D (0, , 0), S (0, 0,1) 0, C ? ????2 1 易知面SBA的法向量 n1 ? AD ? (0, , 0) 2 A ??? ? ??? ? D y 1 1 x CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 ?? ??? ?? ??? ? ? ? ? ??2 ? 设平面SCD的法向量n2 ? ( x, y, z ), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y ? ?x ? 2 ? 0 ? ? ?y?z?0 ?2 ?

S

? ?x ? ? ?? ?z ? ? ?

y 2 y 2

?? ? 任取n2 ? (1, 2,1)

例3

如图,一块均匀的正三 角形面的钢板的

质量为500kg,在它的顶点处分别受 F1 , F2 , F3 , 力 每个力与同它相邻的三 角形的两边之间的角都 是60 ,且 F1 ? F2 ? F3 ? 200kg.这块钢板在这些
?

力的作用下将会怎样运 动?这三个力最小为多 少 时,才能提起这块钢板 ?
F1
O

F3
C

F2
B

A
500kg

解:如图,以点 为原点,平面 A ABC为xAy坐标

平面, 方向为y轴正方向, 为y轴的单位长度 AB AB 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0),C (? , ,0). 2 2 z
F1
O A
x 500kg

F3
C

F2
B

y

设力F1方向上的单位向量坐标 ( x, y, z ), 为
?

由于F1与 AB, AC的夹角均为 ,利用向量 60 1 的数量积运算,得 60 ? ? ( x, y, z ) ? (0,1,0), cos 2 1 3 1 ? cos60 ? ? ( x, y, z ) ? (? , ,0), 2 2 2
?
z

1 1 解得x ? ? ,y? . 12 2
A
x

F1
O

F3
C

F2
B

500kg

y

2 又因为x ? y ? z ? 1,因此z ? 3
2 2 2

1 1 2 所以F1 ? 200(? , , ) 12 2 3 类似地
1 1 2 F2 ? 200(? ,? , ) 12 2 3 1 2 F3 ? 200( ,0, ) 3 3
x z

F1
O A

F3
C

F2
B

500kg

y

它们的合力F+F2 ? F3 1 1 1 2 1 1 2 1 2 ? 200[(? , , ) ? (? ,? , ) ? ( ,0, )] 12 2 3 12 2 3 3 3 ? 200(0,0, 6 )
这说明,作用在钢板上 的合力方向向上, 大小为200 6kg, 作用点为O. 所以钢板仍静止不动。
x z

F1
O A

F3
C

F2
B

由于200 6 ? 500,

500kg

y

三、练习:
1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在A1B1上,Q在BC 上,且A1P=QB,M、N分别为AB1、PQ的中点。求证:

MN//平面ABCD。

证明:建立如图所 示的空间直角坐标 系o-xyz
A1

z D1 C1

B1 P 设正方形边长为2, 又设A1P=BQ=2x 则P(2,2x,2)、 N M Q(2-2x,2,0) o C D 故N(2-x, 1+x, 1), Q A 而M(2, 1, 1) B x 所以向量 MN ? (-x, x, 0),又平面AC的法 ? ? ? 向量为 n ? (0, 0, 1),∴ MN ?n ? 0 ∴MN ? n

y

又M不在平面AC 内,所以MN∥平面AC

2,课本P122第11题。

答案:3/8.

四、小结:
1,根据图形特点建立合适的空间直角坐 标系,用坐标表示点和向量,通过向量解 决问题。 2,个别点和向量的坐标先假设,再列方 程组来求出。

五、作业:
课本P111 第 6 题,P112第10




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