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高中全程复习方略配套课件:11.8条件概率与独立事件、二项分布、正态分布


第八节

条件概率与独立事件、二项 分布、(*)正态分布

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三年16考

高考指数:★★★

1.了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念;
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单 的实际问题. 3.借助直观直方图认识正态分

布曲线的特点及曲线所表示的意 义.

1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考的 重点; 2.利用数形结合、合理分类、准确判断概型来解决二项分布问 题是高考的热点;

3.题型以选择题和填空题为主,在解答题中常和分布列的有关
知识结合在一起考查.

1.条件概率

条件概率的定义
已知B发生的条件下,A发生的概率, 称为B发生时A发生的条件概率,记为

条件概率的性质

P(A | B) ________
当P(B)>0时,我们有P(A|B) P ? A∩B ? = (其中,A∩B也可以记成 P ? B? AB) 类似地,当P(A)>0时,A发生时B 发生的条件概率为P(B|A)= P ? AB ? P?A?

(1)0 ? P ? B | A ? ? 1; (2)若B、C 是两个互斥事件, 则 P ? B | A? ? P ?C | A ? P ? B ? C | A ? ? ________________.

相互独立 注意:条件概率不一定等于非条件概率.若A,B____________, 则P(B|A)=P(B).

【即时应用】
(1)设A、B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为 3 ,在
10

事件A发生的条件下,事件B发生的概率为 1 ,则事件A发生的概
2

率为______. (2)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在 这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为 ______.

(3)掷两枚均匀的骰子,已知它们的点数不同,则至少有一枚是 6点的概率为______. 【解析】(1)由题意知, P ? AB ?= 3 ,P ? B | A ?= 1 ,
3 P ? AB? 10 3 ? P ? A ?= = = . P?B | A? 1 5 2
10 2

(2)设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件AB(发芽,又成 活为幼苗),出芽后的幼苗成活率为:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.

根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.9=0.72,即
这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. (3)设事件A为至少有一枚是6点,事件B为两枚骰子的点数不同. 则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,则 P ? A | B ? ? 答案:(1) 3
5

n ? AB ? n ? B?

?

10 1 ? . 30 3

(2)0.72

(3) 1
3

2.事件的相互独立性 (1)定义: P(A)P(B) 设A、B为两个事件,若P(AB)= __________,则称事件A与事件B 相互独立.

(2)性质:
①若事件A与B相互独立,那么A与___,___与B, 与___也相互独 A B A B

立.
②如果A1,A2,?,An相互独立,则有 P(A1A2?An)=________________. P(A1)P(A2)?P(An)

【即时应用】 (1)思考:“相互独立”与“事件互斥”有何不同? 提示:两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独 立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响,两 事件相互独立不一定互斥.

(2)甲射击命中目标的概率为 3 ,乙射击命中目标的概率为
4 2 当两人同时射击同一目标时,该目标被击中的概率为 , 3

______. 【解析】P= 3 ? 1+ 1 ? 2+ 3 ? 2 =11 .
4 3 4 3 4 3 12

答案:11
12

(3)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次
1 品率分别为 1 、1 、 ,且各道工序互不影响,则加工出来的零 70 69 68

件的次品率为______. 【解析】依题意得,加工出来的零件的正品率是(1- 1 )×
1 1 67 ) ? (1 - )= ,因此加工出来的零件的次品率是 69 68 70 67 3 1 - = . 70 70 答案: 3 70 (1 - 70

3.二项分布
进行n次试验,如果满足以下条件:

(1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”
和“失败”. (2)每次试验“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为 1-p.

(3)各次试验是相互独立的.

用X表示这n次试验中成功的次数,则
P(X=k)= ___________(k=0,1,2,?,n). Ck p k ?1 ? p ? n
n ?k

若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n,p的二项
分布,记为X~B(n,p).

【即时应用】
(1)思考:二项分布的计算公式与二项式定理的公式有何联系? 提示:如果把p看成a,1-p看成b,则 Ck pk ?1 ? p ?n ?k 就是二项 n 式定理中的通项.

(2)已知随机变量X服从二项分布X~B(6, 1 ),则P(X=2)等于
3

______.
2 【解析】P(X=2)= C6 ( 1 ) 2 (1-1 ) 4= 80 .

3

3

243

答案: 80
243

(3)一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为 4 ,那么播下3粒
5

种子恰有2粒发芽的概率是______.

【解析】由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式得:
1 48 2 4 C3 ( ) 2 ( )= . 5 5 125 答案: 48 125

4.正态分布密度函数满足的性质
x=μ (1)函数图像关于直线________对称. (2)σ (σ >0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”. (3)P(μ -σ <X<μ +σ )=68.3%, P(μ -2σ <X<μ +2σ )=95.4%, P(μ -3σ <X<μ +3σ )=99.7%.

【即时应用】
(1)若随机变量X~N(2,100),若P(X<k)=P(X>k),则k=_______.

(2)正态分布N(2σ ,σ 2)在区间(σ ,3σ )内取值的概率为_____.
(3)已知随机变量X服从正态分布N(0,σ 2),且P(-2<X<0)= 0.4,则P(X>2)=______.

【解析】(1)正态曲线关于直线x=2对称,故k=2. (2)由P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683知,在区间(σ,3σ)内取值的

概率为0.683.
(3)∵P(-2<X<0)=0.4, ∴P(-2<X<2)=0.8, ∴P(X>2)=P(X<-2)=0.1. 答案:(1)2 (2)0.683 (3)0.1

条件概率 【方法点睛】 条件概率的求法 (1)利用定义计算:分别求P(A)和P(AB),由P(B|A)=
P ? AB ? P(A)

可求.

(2)利用缩小基本事件范围的观点计算:借助古典概型概率公
式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基
n ? AB ? n ?A?

本事件数,即n(AB),得P(B|A)=

.

【例1】(1)10件产品中有2件次品,不放回地抽取2次,每次抽1 件.已知第一次抽到的是正品,则第二次抽到次品的概率为 ______. (2)一张储蓄卡的密码共6位数字,每位数字都可从0~9中任选一 个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数 字,求如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的 概率.

【解题指南】(1)根据条件概率的定义计算或将问题等价于“从
9件产品(有2件次品),任取一件,求这件是次品的概率”,然 后计算;(2)“不超过2次”就按对包括两种情况:第一次就按 对;第一次没按对,第二次按对.

【规范解答】(1)方法一:从10件产品中不放回抽取2次,记

“第一次抽到正品”为事件A,“第二次抽到次品”为事件
2 B.“从10件产品中不放回抽取2次”共包含 A10 =90个基本事

件.事件A包含8×9=72个基本事件.所以P(A)= 72 = 4 ,事件
90 5

AB,即“从10件产品中依次抽2件,第一次抽到的是正品,第 二次抽到的是次品”包含8×2=16个基本事件. ∴P(AB)= 8 ? 2 = 8 ,
90 45

∴已知第一次抽到的是正品,第二次抽到次品的概率

P(B|A)=

P ? AB ? P?A?



8 4 2 ? = . 45 5 9

方法二:因为已知第一次抽到的是正品,所以相当于“从9件产 品(有2件次品),任取一件,求这件是次品的概率”.由古典概 型知其概率为 2 . 答案:2
9 9

(2)设第i次按对密码为事件Ai(i=1,2,?),则A=A1∪( A1A2 )
表示不超过2次就按对密码.用B表示最后一位是偶数的事件,则 P(A|B)=P(A1|B)+ P(A1A 2 | B)= 1+ 4 ?1 = 2 .
5 5? 4 5

【反思·感悟】1.此类问题解题时应注意着重分析事件间的关 系,辨析所求概率是哪一事件的概率,再运用相应的公式求解. 2.在使用条件概率公式P(B|A)=
P ? AB ? P(A)

求概率时,需要求P(AB),

在求P(AB)时,应注意AB的具体含义,若A? B,则P(AB) ? =P(B).

相互独立事件的概率
【方法点睛】 1.判断事件是否相互独立的方法 (1)利用定义: 事件A、B相互独立?P(AB)=P(A)·P(B). (2)利用性质:A与B相互独立,则A与 B ,A与B,A与 B 也都相互独立. (3)具体背景下:

①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.
②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.

2.常见词语的理解 在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一 个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发

生”等词语的意义.已知两个事件A、B则
(1)A、B中至少有一个发生的事件为A∪B;

(2)A、B都发生的事件为AB;
(3)A、B都不发生的事件为 A B ; (4)A、B恰有一个发生的事件为 AB ? AB; (5)A、B中至多有一个发生的事件为 AB ? AB ? A B.

【提醒】在应用相互独立事件的概率公式时,对含有“至多有
一个发生”、“至少有一个发生”的情况,可结合对立事件的

概率求解.

【例2】(2012·保定模拟)某项选拔共有三轮考核,每轮设有

一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘
汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别
3 2 且各轮问题能否正确回答互不影响. 为 4、、, 5 5 5

(1)求该选手被淘汰的概率; (2)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ ,求随机变量ξ 的分 布列.

【解题指南】(1)选手被淘汰包括:第一轮被淘汰;第一轮通过 第二轮被淘汰;前两轮通过第三轮被淘汰.(2)先求出ξ的值, 再求出相应的概率,最后列出分布列.

【规范解答】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件

为Ai(i=1,2,3),
则 P ? A1 ? ? 4 ,P ? A 2 ? ? 3,P ? A3 ? ? 2 ,
5 5 5

∴该选手被淘汰的概率
P ? P A1 ? A1 A2 ? A1A2 A3 ? P(A1 ) ? P ? A1 ? P(A2 ) ? P ? A1 ? P ? A 2 ? P(A3 )
1 4 2 4 3 3 ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 101 ? . 125 ?

?

?

(2)ξ的可能值为1,2,3,P(ξ=1)= P(A1 ) ? 1 ,
5 P(ξ=2)= P(A1 A 2 ) ? P ? A1 ? P(A 2 ) ? 4 ? 2 ? 8 , 5 5 25 P(ξ=3)= P ? A1A 2 ? ? P ? A1 ? P ? A 2 ? ? 4 ? 3 ? 12 . 5 5 25

∴ξ的分布列为

ξ P

1
1 5

2
8 25

3
12 25

【反思·感悟】解决事件的概率问题的一般步骤:
(1)记“事件”或设“事件”.

(2)确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重
复试验,把所给问题归结为四类事件中的某一种. (3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个 发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式. (4)运用公式进行计算. (5)简明写出答案.

独立重复试验与二项分布 【方法点睛】 1.独立重复试验的特点 (1)每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生. (2)任何一次试验中事件发生的概率都是一样的. 2.二项分布满足的条件

(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.

【例3】(2012·南昌模拟)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规 则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获
2 奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是 . 3

(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布

列;
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率;

(3)已知教师乙在某场比赛中,6个球中恰好投进了4个球,求教
师乙在这场比赛中获奖的概率;教师乙在这场比赛中获奖的概 率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?

【解题指南】第(1)问直接利用二项分布求解,第(2)问转化成 互斥事件有一个发生的概率,第(3)问可以转化成有顺序的排列 问题,再利用古典概型求解.

【规范解答】(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
2 依条件可知X~B(6, ). 3 k P(X=k)= C6 ? ( 2 ) k ? ( 1 )6?k (k ? 0,1, 2,3, 4,5,6) 3 3

所以X的分布列为:

X P

0
1 729

1
12 729

2
60 729

3
160 729

4
240 729

5
192 729

6
64 729

(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,
则P(A)= C2 ? ( 1 ) 2 ? ( 2 ) 4 ? C1 ? 1 ? ( 2 )5 ? ( 2 )6 ? 32 . 4 4
3 3 3 3 3 81

所以教师甲在一场比赛中获奖的概率为 32 .
81

(3)设教师乙在这场比赛中获奖为事件B,
A2A4 2 则P(B)= 4 6 4 ? . A6 5

即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 2 . 显然 2 ? 32 ? 32 ,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师
5 80 81 5

甲在一场比赛中获奖的概率不相等.

【反思·感悟】1.在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的 概率为P(X=k)= Ck pk ?1 ? p ?n ?k ,k=0,1,2,?,n.在利用该公式时一 n 定要审清公式中的n,k各是多少.

2.独立重复试验是相互独立事件的特例.一般情况下,有“恰好”
字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,含有“至少”

或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单.

正态分布的概率计算 【方法点睛】 关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法 (1)熟记P(μ -σ <X<μ +σ ),P(μ -2σ <X<μ +2σ ),P(μ 3σ <X<μ +3σ )的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x=μ 对称,从而在关于x=μ 对称的区间

上概率相同.
②P(X<a)=1-P(X>a),P(X<μ -a)=P(X>μ +a).

【例4】(1)(2012·青岛模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,
σ 2),若P(X>4)=0.2,则P(2<X<3)=______;

(2)若X~N(1,22),则P(3<X<5)=______.
【解题指南】根据题意确定μ,σ的值,然后转化为已知概率 的三个区间上进行求解.

【规范解答】(1)由题意可知曲线关于直线x=3对称,故P(X>4) =P(X<2)=0.2,因此P(2<X<3)=0.5-P(X<2)=0.5-0.2 =0.3. (2)∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2. 又P(3<X<5)=P(-3<X<-1), ∴P(3<X<5)= 1 [P(-3<X<5)-P(-1<X<3)]
2

= 1 [P(1-4<X<1+4)-P(1-2<X<1+2)]
2 = 1[P(μ-2σ<X<μ+2σ)-P(μ-σ<X<μ+σ)] 2

= 1 ×(0.954-0.683)
2

=0.136. 答案:(1)0.3 (2)0.136

【反思·感悟】要求随机变量X在某一个区间内的概率,关键是 借助于正态分布曲线的性质,把所求问题转化为已知概率的三 个区间上求解.

【满分指导】相互独立事件概率主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队 队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘.已知 甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比 赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率;

(2)用ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求ξ 的分布列和数学期望 Eξ . 【解题指南】(1)红队至少两人获胜的概率等于红队只有两人获 胜的概率和红队有三人获胜的概率之和.(2)先列出ξ的所有值, 并求出每个ξ值所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求 出数学期望.

【规范解答】(1)记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜 B、丙胜C分别为事件D,E,F,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分 别为事件 D,, ??????????????????2分 EF , 根据各盘比赛结果相互独立可得 红队至少两名队员获胜的概率为 P ? P ? DEF? ? P ? DEF? ? P ? DEF? ?
P ? DEF ? ? P ? D ? P ? E ? P(F) ? P ? D ? P(E)P ? F ? ? P(D)P ? E ? P ? F ? ?

P(D)P(E)P(F)????????????????????4分

=0.6×0.5×(1-0.5)+0.6×(1-0.5)×0.5+(1-0.6)×0.5
×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.?????????????6分

(2)依题意可知ξ=0,1,2,3,

P(ξ=0)= P(DEF) ? P(D)P(E)P(F) ? ( 1-0.6)×(1-0.5)×(10.5)=0.1;????????????????????7分 P(ξ=1)= P(DEF) ? P(DEF) ? P(DEF) ? 0.6×(1-0.5)×(1-0.5)+ (1-0.6)×0.5×(1-0.5)+(1-0.6)×(1-0.5)×0.5=0.35; ??????????????????????????8分 P(ξ=2)= P(DEF) ? P(DEF) ? P(DEF) ?0.6×0.5×(1-0.5)+(10.6)×0.5×0.5+0.6×(1-0.5)×0.5=0.4;???????9分

P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.????????10分

故ξ的分布列为

ξ P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

故Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. ?????????????????????????12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示与备考建议: 在解答本题时有三点容易造成失分: 失 分 遗漏某一基本事件; 警 示 (2)ξ的取值考虑不全面,漏掉其中一种情况; (1)对“红队至少两名队员获胜”考虑不全面,造成

(3)计算不准确,造成失分.

解决相互独立事件的概率问题时,还有以下几点容易
造成失分,在备考时要高度关注:

备 (1)相互独立事件的概率与条件概率混淆; 考 建 (2)相互独立事件与独立重复试验分不清; 议 (3)对相互独立事件的各种情况分析不到位,漏掉或增
加某种情况.

1.(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲
队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两

队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(
(A) 1
2

)
4

(B) 3
5

(C) 2
3

(D) 3

【解析】选D.由题意知,若赛终乙队胜出,乙队获得冠军的概 率为 1 ? 1 ? 1 ,由对立事件概率公式得,甲队获得冠军的概率为
2 2 4 1 3 P ? 1? ? . 4 4

2.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件 A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶 数”,则P(B︱A)=( (A) 1
8

) (C) 2
5

(B) 1
4

(D)

1 2

【解析】选B.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,共有10个
基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2, 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).事件A发生共有4个基本 事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4).事件B发生共有1个基 本事件:(2,4).事件A,B同时发生也只有1个基本事件:(2,
n AB 4).根据条件概率公式得,P ? B | A ? ? ? ? ? 1 . n ?A? 4

3.(2012·威海模拟)随机变量ξ 服从正态分布N(1,σ 2),已知
P(ξ <0)=0.3,则P(ξ <2)等于( )

(A)0.7

(B)0.6

(C)0.5

(D)0.3

【解析】选A.根据图像的对称性知 P(ξ>2)=P(ξ<0)=0.3,∴P(ξ<2)=1-P(ξ>2)=0.7.

4.(2012·广州模拟)在正态分布N(0, 1 )中,数值落在(-∞,
9

-1]∪[1,+∞)内的概率为(

)

(A)0.097
(C)0.03
3

(B)0.046
(D)0.003

【解析】选D.∵μ=0,σ= 1 ,∴P(X≤-1或X≥1)=1-
P(-1<X<1)=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.997=0.003.

5.(2011·重庆高考)将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的

次数比反面出现的次数多的概率为______.
【解析】由题意知正面出现的次数多包含4次正面,5次正面和6 次正面三种情况,故其概率
1 1 1 1 11 4 1 P ? C 6 ( ) 4 ( ) 2 ? C5 ( ) 5 ( ) ? ( ) 6 ? . 6 2 2 2 2 2 32 答案:11 32


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