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涂色问题


涂色问题
一,区域涂色问题
1、 根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色, 相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种?

① ②





分析:先给①号区域涂色

有 5 种方法,再给②号涂色有 4 种方法,接着给③号涂色方法有 3 种,由于④号与①、②不相邻,因此④号有 4 种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法 有 5 × 4 × 3 × 4 = 240 2、 根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不 同的涂色方法种数。 例 2、 (2003 江苏卷) 四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域, 且相邻两个区域不能同色。 分析:依题意只能选用 4 种颜色,要分四类: (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A ; (4)③与⑤同色、② 与④同色,则有 A ; (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120
4 4 4 4 4 4 4 4

⑤ ⑥ ② ① ③ ④

例 3、(2003 年全国高考题)如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求 相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种? 分析:依题意至少要用 3 种颜色 1) 2) 3) 4) 当先用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色, 区域 3 与 5 必须同色,故有 A4 种; 当用四种颜色时,若区域 2 与 4 同色, 则区域 3 与 5 不同色,有 A4 种;若区域 3 与 5 同色,则区域 2 与 4 不同色,有 A4 种, 故 用 四 种 颜 色 时 共 有 2 A4 种 。 由 加 法 原 理 可 知 满 足 题 意 的 着 色 方 法 共 有
3 4 A4 +2 A4 =24+2 × 24=72 4 4 4 3

2 3 1 4 5

3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分 别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例 4,用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色, 相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 分析:可把问题分为三类: (1) 四格涂不同的颜色,方法种数为 A5 ;
4

2 3

1 4

(2) 有且仅两个区域相同的颜色,即只有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为
1 2 2C5 A4 ; 2

(3) 两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 A5 , 因此,所求的涂法种数为 A5 + 2C5 A4 + A5 = 260
2 1 2 2

二、 点的涂色问题
方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论,(2)根据相对顶点是否同色分类讨论, (3)将空间问题平面化,转化成区域涂色问题。 例 5、将一个四棱锥 S ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如 果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少? 解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 解法一 1 若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种 涂 A、B、C、D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C5 A4 = 60 种方法。
1 2

2 若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜色 中任选两种染 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换,故有 A4 种染法;再从余下的两种颜色中 任选一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有
1 2 1 1 C5 A4 C2C2 = 240 种方法。 2

3 若恰用五种颜色染色,有 A5 = 120 种染色法
5

综上所知,满足题意的染色方法数为

60+240+120=420 种。 解法二:设想染色按 S—A—B—C—D 的顺序进行,对 S、A、B 染色,有 5 × 4 × 3 = 60 种 解法二 染色方法。由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法数,故 分类讨论: C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一),D 应与 A(C)、S 不同色, 有 3 种选择; 与 A 不同色时, 有 2 种选择的颜色, 也有 2 种颜色可供选择, C C D 从而对 C、 D 染色有 1× 3 + 2 × 2 = 7 种染色方法。 由乘法原理,总的染色方法是 60 × 7 = 420

三、 线段涂色问题
对线段涂色问题,要注意对各条线段依次涂色,主要方法有: 1) 2) 根据共用了多少颜色分类讨论 根据相对线段是否同色分类讨论。 ,且使相

例 6、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形 ABCD 的四条边,每条边只涂一种颜色 邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 解法一: 解法一:(1)使用四颜色共有 A4 种
1 1 2 4

(2)使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同
2

色,故有 C4C2 A3 种,(3)使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有 A4 种 因此,
4 1 1 2 2 所求的染色方法数为 A4 + C4C2 A3 + A4 = 84 种

解法二: 涂色按 AB-BC-CD-DA 的顺序进行, AB、 涂色有 4 × 3 = 12 种涂色方法。 对 BC 解法二: 由于 CD 的颜色可能与 AB 同色或不同色,这影响到 DA 颜色的选取方法数,故分类讨论: 当 CD 与 AB 同色时,这时 CD 对颜色的选取方法唯一,则 DA 有 3 种颜色可供选择 CD 与 AB 不同色时,CD 有两种可供选择的颜色,DA 也有两种可供选择的颜色,从而对 CD、DA 涂色有 1× 3 + 2 × 2 = 7 种涂色方法。由乘法原理,总的涂色方法数为 12 × 7 = 84 种 例 7、用六种颜色给正四面体 A BCD 的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点 的棱涂不同的颜色,问有多少种不同的涂色方法? 解:(1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间的颜色不同, 故有 A6 种方法。(2)若恰用四种颜色涂色,则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色, 但组与组之间不同色,故有 C6 A6 种方法。(3)若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一 组对棱涂同一种颜色,故有 C3 A6 种方法。(4)若恰用六种颜色涂色,则有 A6 种不同的方 法。综上,满足题意的总的染色方法数为 A6 + C 3 A6 + C 3 A6 + A6 = 4080 种。
3 2 4 1 5 6
1 5 6 3 4 3

四、

面涂色问题

例 8、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的 6 个面涂色,每两个具有 公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种? 解:根据共用多少种不同的颜色分类讨论 (1)用了六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有 5 种选择,在上、 下底已涂好后,再确定其余 4 种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则其余 3 个面有 3! 种涂色方案,根据乘法原理 n1 = 5 × 3! = 30 (2)共用五种颜色,选定五种颜色有 C 6 = 6 种方法,必有两面同色(必为相对面),
5

确定为上、下底面,其颜色可有 5 种选择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数 取决于右侧面的颜色,有 3 种选择(前后面可通过翻转交换) n 2 = C 6 × 5 × 3 = 90
5

(3)共用四种颜色,仿上分析可得

2 n3 = C 64 C 4 = 90

(4)共用三种颜色, n 4 = C 6 = 20
3

例 9、四棱锥 P ABCD ,用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色, 有多少种涂法? 解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题, 如右图,区域 1、2、3、4 相当于四个侧面,区域 5 相当于底面; 根据共用颜色多少分类:

P

D C A B
1 4

(1) 最少要用 3 种颜色,即 1 与 3 同色、2 与 4 同色,此时有 A

3 4 种;

(2) 当用 4 种颜色时,1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色,此时有 C2 A4 ; 故满足题意总的涂色方法总方法交总数为 A4 + C2 A4 = 72
3 1 4


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