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2014年人教A版选修2-2教案 1.1.2导数的概念


§1.1.2 导数的概念
教学目标: 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点:导数的概念. 教学过程: 一.创设情景 (一)平均变化率 (二)探究:计算运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49

h

⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49

65 ) ? h(0) 49 所以 v ? ? 0( s / m) , o 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然运 49 h(
动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 二.新课讲授 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一 时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速度是多 少?考察 t ? 2 附近的情况:

t

思考:当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论:当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋近于 2 时, 平均速度 v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 . 从物理的角度看,时间 ?t 间隔无限变小时,平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度, 因此,运动员在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s 为了表述方便,我们用 lim
?t ? 0

h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t

表示“当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ” 小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近 似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ? x ? 0 ?x ?x
'

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y |x? x0 ,即

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim 三.典例分析 2 例 1. (1)求函数 y=3x 在 x=1 处的导数. 2 分析:先求Δ f=Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=6Δ x+(Δ x) 再求
?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

?f ?f ? 6 ? ?x 再求 lim ?6 ?x ?0 ?x ?x

解:法一(略) 法二: y? |x ?1 ? lim
2

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

(2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x 解: ?x ?x f ?(?1) ? lim ?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

例 2. (课本例 1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和 加热,如果第 xh 时,原油的温度(单位: C )为 f (x) ? x 2 ? 7x ?15(0 ? x ? 8) ,计算第

2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:在第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ' (2) 和 f ' (6) 根据导数定义,

f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ? ?x ? 3 ?x
所以 f ?(2) ? lim

?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?0 ?x ?x ?0

同理可得: f ?(6) ? 5 在第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5,说明在 2 h 附近,原油温度大 约以 3 C / h 的速率下降,在第 6 h 附近,原油温度大约以 5 C / h 的速率上升. 注:一般地, f ' ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 四.课堂练习
2 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.

2.求曲线 y=f(x)=x3 在 x ? 1 时的导数. 3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五.回顾总结 1.瞬时速度、瞬时变化率的概念 2.导数的概念

六.布置作业


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