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甘肃省兰州一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题含答案


兰州一中 2013 届高三第三次模拟考试数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题 为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60

分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 集合 A ? {x ? N|x ? 6}, B ? {x ? R|x 2 ? 3x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {3,4,5} B. {4,5,6} C. {x | 3 ? x ? 6} ) C. ) D. {x | 3 ? x ? 6}

2.已知 i 是虚数单位,则 A. ? i

1 ? 2i 等于( 2?i 4 B. ? i 5
B.2

4 3 ? i 5 5

D. i )

3.公差不为零的等差数列第 2,3, 6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1 C.3 D.4

4.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,设 A 表示事件“取到的 2 个数之和为偶数”,B 表示 事件“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( A. ) D. ) D. ? )

1 10

B.

1 4

C.

2 5

1 2

uuu r uuu r uuu 1 uur r uur 5.在 VABC 中,已知 AD ? 2DB ,且 CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? ( 3

A.

2 3

B.

1 3

C.

?

1 3

2 3

6.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 2 C.
50

?1

B. D.

251 ? 1
2 26 (4 ? 1) 3

2 25 (4 ? 1) 3

1

7. 某几何体的三视图如下,则几何体的表面积为( A. 28+6 5



B. 30+6 5 C. 56+12 5 D. 60+12 5 8.函数 f(x)=ln (x-

1 )的图象是( x

)

2

9. 已知函数 f(x)=sin?x+cos?x(?>0),如果存在实数 x1 ,使得对任意的实数 x,都有
f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2013) 成立,则?的最小值为(

) D.

A.

1 4026

B.

?
4026

C.

1 2013

?
2013

10.已知 A,B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC, AD=2AB=6, 则该球的表面积为( A.16 ? 11. 过双曲线 B.24 ? ) C.48 ? D. 32 3

?

a2 x2 y 2 x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) , 作圆: 2 ? y 2 ? 的切线, 4 a2 b

??? 1 ??? ??? ? ? ? 切点为E, 延长FE 交双曲线右支于点P, OE ? (OF ? OP) , 若 则双曲线的离心率为( 2
A.
10 2

)

B.

10 5

C.

10

D.

2

12. 已知函数 y ?

x3 mx2 ? (m ? n) x ? 1 的两个极值点分别为 x1,2, x1?(0, 1),2?(1, +?), x 且 x ? 3 2

记 分 别 以 m , n 为 横 、 纵 坐 标 的 点 P(m,n) 表 示 的 平 面 区 域 为 D , 若 函 数
y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为(

)

A. (1,3]

B. (1,3)

C. (3, ??)

D. [3, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须
3

做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 13.某市有 A、B、C 三所学校共有高三文科学生 1500 人,且 A、B、C 三所学校的高三文 科学生人数成等差数列,在三月进行全市联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三文 科学生中抽取容量为 120 的样本,进行成绩分析,则应从 B 校学生中抽取_____人. 14.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,直线 l
???? ??? ? 与抛物线的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若 AF ? FB ,

??? ??? ? ? BA ? BC ? 36 ,则抛物线的方程为

.

15. 设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n , an ? lg xn , 1) 令 则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为 16.观察下列算式: 13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11 43 =13 +15 +17 +19 , …… 若某数 n3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 n= . .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c, 且 2(a2+b2-c2)= 3ab. (Ⅰ)求 sin 2 A ? B ;
2

(Ⅱ)若 c=2,求△ABC 面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分)
4

在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和 “阅读与表达”两个科目的考试, 成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成 绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=1,AA1= 2 ,D 为 AA1 中点,BD 与 AB1 交于点 O,CO 丄侧面 ABB1A1. (Ⅰ )证明:BC 丄 AB1; (Ⅱ)若 OC=OA,求二面角 C 1 -BD-C 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)

5

如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,线段 4 3

AB 的中点为 G,AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D、E 两点.

1 (Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ? ,求直线 AB 的斜率; 4
(Ⅱ)记△GFD 的面积为 S1,△OED(O 为原点)的面积为 S2. 试问:是否存在直线 AB,使得 S1=S2?说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(Ⅰ)函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ?

k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1
2 n ?3

(Ⅲ)试证明: (1 ? 1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ?? ? (1 ? n( n ? 1)) ? e

.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, 已知 PA 与⊙O 相切, 为切点, A 过点 P 的割线交圆于 B、 两点, CD∥AP, C 弦 AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF· EC. (Ⅰ)求证:CE· = EF· EB EP; (Ⅱ)若 CE:BE = 3:2,DE = 3, EF = 2,求 PA 的长.

6

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).若以坐标原点 O 4 ? y ? ?1 ? t 5 ?
为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为

? ? ? 2 sin(? ? ) .
4
(Ⅰ) 求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3| , x∈R. (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m
2013 年兰州一中高考三模参考答案 数学理科

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.

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