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基本初等函数图像及性质小结


整理

为高等数学小结的——基本初等函数
1.函数的五个要素:自变量,因变量,定义域,值域,对应法则 2.函数的四种特性:有界限,单调性,奇偶性,周期性 一定要从这四个方面去研究函数。 3.每个函数的图像很重要 复习的时候

. 幂函数

(a 为实数)

定义域:随 a 的不同而不同,但无

论 a 取什么值,x^a 在 值域:随 a 的不同而不同 有界性: 单调性:若 a>0,函数在
内单调增加; 若 a<0,函数在

内总有定义。

内单调减少。

奇偶性:
事奇函数,那些是偶函数

要知道这些函数那些

周期性:

每种函数的图像

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整理

.

. 指数函数

定义域: 有界性:

值域:

单调性:若 a>1 函数单调增加;若 0<a<1 函数单调减少 奇偶性: 周期性:

注意:

图形过(0,1)点 暨 a^0=1

直线 y=0 为函数图形的水平渐近线

-2-

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今后

用的较多

这个函数的图形,性质要记清楚

1、

. 对数函数

1、 定义域:

值域:

有界性: 单调性:a>1 时,函数单调增加;0<a<1 时,函数单调减少 奇偶性: 周期性:
主要性质:与指数函数互为反函数,图形过(1,0)点, 直线 x=0 为函数图形的铅直渐近线 e=2.7182……,无理数 经常用到以 e 为底的对数

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. 三角函数

强调:图像

正弦函数 :
定义域: 有界性:[-1,1]
有界函数

值域:[-1,1]

单调性:(-T/2,T/2)单调递增 奇偶性:奇函数 周期性:以

为周期的周期函数;

余弦函数:
定义域: 值域:[-1,1]

有界性:[-1,1]
单调性: 奇偶性:偶函数

有界函数

-4-

整理

周期性:

正切函数:

定义域: 有界性: 单调性: 奇偶性:奇函数 周期性:

值域:

-5-

整理

余切函数:
定义域: 有界性: 单调性: 奇偶性:奇函数 周期性:



值域:



. 反三角函数

反正弦函数 :
定义域: [-1,1] 有界性: 值域:

-6-

整理

单调性:单调增加 奇偶性:奇函数 周期性:

反余弦函数 :
定义域: [-1,1] 有界性: 单调性: 单调减少 奇偶性: 周期性:

---定义域

值域:

值域:

-7-

整理

反正切函数:
定义域: 有界性: 单调性:单调增加 奇偶性:奇函数 周期性:

---定义域

值域:

反余切函数
定义域: 有界性:

---定义域

值域:

-8-

整理

单调性:单调减少; 奇偶性: 周期性:

以上是五种基本初等函数,关于它们的常用运算公式都应掌握。

(1)指数式与对数式的性质

-9-

整理

由此可知

,今后常用关系式



如:

(2)常用三角公式

积化和差 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积 sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

函数周期性:
R) 的函数的周期为 T=2π/ω?0, x?形如 y=Asin(ωx+φ) 或 y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A 周期函数性质:
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(1)若 T(≠0)是 f(X)的周期,则-T 也是 f(X)的周期。 (2)若 T(≠0)是 f(X)的周期,则 nT(n 为任意非零整数)也是 f(X)的周期。 (3)若 T1 与 T2 都是 f(X)的周期,则 T1± T2 也是 f(X)的周期。 (4)若 f(X)有最小正周期 T*,那么 f(X)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。 (5)T*是 f(X)的最小正周期,且 T1、T2 分别是 f(X)的两个周期,则 (Q 是有理数集) (6)若 T1、T2 是 f(X)的两个周期,且 是无理数,则 f(X)不存在最小正周期。 (7)周期函数 f(X)的定义域 M 必定是双方无界的集合。

其他周期函数(非三角函数)
Dirchlet 函数 D(X)= {1 X 为有理数时 {0 X 为无理数时 复指数函数:y=e^(jwt),其中 j 为虚数单位,w 为任意实数,t 为自变量。

重要推论 1,若有 f(x)的 2 个对称轴 x=a,x=b.则 T=2|a-b|
2,若有 f(X)的 2 个对称中心(a,0)(b,0)则 T=2|a-b| 3,若有 f(x)的 1 个对称轴 x=a,和 1 个对称中心(b,0),则 T=4|a-b|

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