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2016上海思博职业技术学院自主招生数学模拟试题及答案


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2016 上海思博职业技术学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0}, 集合B ? {x || 2x ? 1 |? 3}, 则集合A ? B = A. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | 2 ? x ? 3} 2.一个容量为 20 的样本数据,分组后,组别与频数如下: 组别 频数 ( )

B. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | ?2 ? x ? 3}

(10,20]
2

(20,30]
3

(30,40]
4

(40,50]
5

(50,60]
4

(60,70]
2

则样本在 (20,50] 上的频率为 () A.12% D.70% 3.函数 f ( x) ? log3 ( x 2 ? 2x ? 8) 的单调减区间为 A. (??,1) D. (??,1] 4.已知直线 m,n 和平面 ? ,那么 m//n 的一个必要但非充分条件是 A. m // ? , n // ? B. m ? ? , n ? ? () B.(- ? ,-2) ( ) C.(4,+ ? ) B.40% C.60%

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C. m // ?且n ? ? 角 5.已知 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1), f
?1

D. m, n与? 成等

(2) ? 0, 则f ?1 ( x ? 1) 的图象是 ()

6.对于函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)作x ? h(t ) 的代换,则总不改变函数 f ( x) 的值 域的代换是 () A. h(t ) ? 3t D. h(t ) ? log2 t B. h(t ) ?| t | C. h(t ) ? cost

7.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
B.2 C.-4

( )

A.-2 D.4

8.若半径为 1 的球与 120°的二面角的两个半平面切于 M、N 两点,则两切点间的球面 距离是 ()

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A.

4? 3
D.

B. ?

C.

2? 3

? 3
()

9.设 a, b, c ? R ? , 且

1 9 ? ? 1, 则使 a ? b ? c 恒成立的 c 的取值范围是 a b
B. (0,10]

A. (0,8] D. (0,16]

C. (0,14]

?x ? 2 ? 0 2 ? , x? y的 10.已知点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? 4 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
取值范围是 () A.[-2,-1] D.[1,2] B.[-2,1] C.[-1,2] , 6

11.已知 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

4 , 且当 x ? [?3,?1] 时, x

n ? f ( x) ? m 恒成立,则 m ? n 的最小值是
()

A.1 D.

B.

2 3

C.

1 3

4 3

12.已知函数 f ( x) ? 2 ? log3 x(1 ? x ? 9),则函数y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的最大值为()

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A.6 D.33 B.13 C.22

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分。 13.在 (1 ? x) 6 ? (1 ? x) 5 的展开式中,含 x 3 的项的系数是。

14.设 g ( x) ? ?

?e x , x ? 0 1 则g[ g ( )] 。 2 ?ln x, x ? 0

15.等差数列 {an }的前n 项和为 S n , 且S 4 ? 20, S n?4 ? 60, S n ? 120 , 则n =。 16.把一个函数的图象按向量 a=(3,-2)平移,得到的图像的解析式为

y ? log2 ( x ? 3) ? 2, 则原来的函数的解析式为。

三、解答题:本小题共 6 小题,共计 70 分。 17.(本小题满分 10 分) 2 , 4 已知 a= (1,2 sin x), b= ( 3 cos2x, ,? cos x),设函数f ( x) ? a·b。 6

(1)若 x ? [?? ,0],求f ( x) 的最大值、最小值并求出对应的 x 值。

[?? ,0] 上的递减区间。 (2)求 f ( x)在区间

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18.(本小题满分 12 分) 同时抛掷 15 枚均匀的硬币一次, (1)试求至多有 1 枚正面向上的概率; (2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请 说明理由。

19.(本小题满分 12 分)

已知数列 {a n }满足 a1 ?

10 , a n ?1 ? 9S n (n ? N *). 9

(1)求证:从 {an } 中除去a1后, a2 a3 ,?, an ,? 是等比数列; (2)求 lg a2 ? lg a4 ? lg a6 ? ? ? lg a2008 的值。

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20.(本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD,|AB|=1,|BC|=a,PA⊥平面 ABCD,|PA|=1。 (1)BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ⊥QD,并说明理由; (2)若 BC 边上存在唯一的点 Q 使得 PQ⊥QD, 指出点 Q 的位置,并求出此时 AD 与平面

PDQ 所成的角的正弦值;
(3)在(2)的条件下,求二面角

Q—PD—A 的正弦值。

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21.(本小题满分 12 分) 设点 P( x, y )( y ? 0) 为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点(其中 O 为坐标原 点),点 P 到定点 M(0,

1 1 )的距离比点 P 到 x 轴的距离大 。 2 2

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)若直线 l : y ? x ? 1 与点 P 的轨迹相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长; (3)设点 P 的轨迹是曲线 C,点 Q(1,y0)是曲线 C 上一点,求过点 Q 的曲线 C 的切 线方程。

22.(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c ? R,且三次方程 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 有三个实根 x1 , x2 , x3 . (1)类比一元二次方程根与系数的关系,写出此方程根与系数的关系;

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(2)若 a,b,c 均大于零,证明:x1、x2、x3 都大于零; (3)若 a ? Z , b ? Z且 | b |? 2, f ( x)在x ? ? , x ? ? 处取得极值,且 ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? 1, 试求此方程三个根两两不等时 c 的取值范围。

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分 1.A 10.C 2.C 11.A 3. B 12.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.D 9.D

2 , 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 ,分,共计 20 分。 6 13.-10 14.

1 2

15.12

16. y ? log2 ( x ? 6) ? 4

三、解答题:本小题共 6 小题,共计 70 分。 17.(本小题满分 10 分)

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解:(1) f ( x) ? 3 cos 2 x ? 2 sin x ? cos x ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos( 2 x ? 分 ∵?? ? x ? 0

?
6

). 2

∴?

13? ? ? ? 2 x ? ? ………………3 分 6 6 6

∴当 2 x ?

?
6

? 0时, 即x ? ?

?
12

时f max ( x) ? 2 …………4 分

当 2x ?

?
6

? ??时, 即x ? ?

7? 时f min ( x) ? ?2 ………………5 分 12

(2) 2k? ? 2 x ?

?
6

? 2k? ? ? (k ? z )

k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? (k ? z ) ………………7 分 12

k ? 0,?

?
12

?x?

5? 12

k ? 1,?

13? 7? ?x?? …………9 分 12 12

[?? ,0] 的递减区间是 [? ∴ f ( x)在区间

?
12

,0]和[?? ,?

7? ] ………………10 分 12

18.(本小题满分 12 分)

(1)解:(1)记“抛掷 1 枚硬币 1 次出现正面向上”为事件 A,P ( A) ?

1 , 2

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抛掷 15 枚硬币 1 次相当于作 15 次独立重复试验,根据 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式, 记至多有一枚正面向上的概率为 P1,

0 1 ( )15 ? C15 ( )15 ? 则 P1=P15(0)+P15(1)= C15

1 2

1 2

1 (7 分) 2048

(2)记正面向上为奇数枚的概率为 P2,则有 P2=P15(1)+P15(3)+…P15(15)
1 1 15 3 1 15 15 1 15 ? C15 ( ) ? C15 ( ) ? ? ? C15 ( ) 2 2 2

1 1 3 15 ? ( )15 (C15 ? C15 ? ? ? C15 ) 2 1 1 ? ( )15 ? 214 ? (11 分) 2 2
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚”的事件是对立 事件,记“出现正面向上为偶数枚”的事件的概率为 P3

? P3 ? 1 ?

1 1 ? 2 2

∴相等(14 分) 19.(本小题满分 12 分)

(1)由 ?

?a n ?1 ? 9 S n ( n ? 1) 得 ?a n ? 9 S n ?1 ( n ? 2)

an?1 ? an ? 9(S n ? S n?1 ) ? 9an (n ? 2) ………………3 分

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即 an?1 ? 10an (n ? 2), 又∵ a1 ?

10 , a 2 ? 9S1 ? 9a1 ? 10 ? 0 , 9

? an ? 0
于是

an?1 a ? 10(n ? 2) 而 2 ? 9 ? 10 ………………5 分 an a1

∴从 {an } 中除去a1后a2 , a3 ,?, an ,?是等比数列…………6 分

(2)因为 lg a2 n? 2 ? lg a2 n ? lg

a2n?2 ? lg102 ? 2, lga 2 ? 1 a2n

所以 lg a2 , lg a4 ,?, lg a2n , 是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列…………9 分 20.(本小题满分 12 分) 解:(1)若 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥QD,因 PA⊥面 ABCD 知 AQ⊥QD。……2 分 矩形 ABCD 中,当 a<2 时,直线 BC 与以 AD 为直径的圆相离,故不存在点 Q 使 AQ⊥ QD,………………3 分 故仅当 a≥2 时才存在点 Q 使 PQ⊥QD;………………4 分 (2)当 a=2 时,以 AD 为直径的圆与 BC 相切于 Q,此时 Q 是唯一的点使∠AQD 为直角, 且 Q 为 BC 的中点。作 AH⊥PQ 于 H,可证∠ADH 为 AD 与平面 PDQ 所成的角,且在 Rt△AHD 中可求得 sin ?ADH

6 ………………8 分 6

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(3)作 AG⊥PD 于 G,可证∠AGH 为二面角 Q—PD—A 的平面角,且在 Rt△PAD 中可求得

sin ?AGH

30 ………………12 分 6

21.(本小题满分 12 分) (1)用直接法或定义法求得点 P 轨迹方程为 x 2 ? 2 y (4 分) (2)联立 y ? x ? 1与x 2 ? 2 y化简得x 2 ? 2x ? 2 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? ?2

| AB |? (1 ? 12 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 2 6 (9 分)

(3)曲线 C 即函数 y ?

x2 的图象, y ? ? x 2

1 y ? | x ?1 ? 1, 又Q (1, ) 2
故所求切线方程为 y ?

1 1 ? 1 ? ( x ? 1)即x ? y ? ? 0 (12 分) 2 2

22.(本小题满分 12 分) 解:(1)由已知得, x 3 ? ax2 ? bx ? c ? ( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 ), 比较两边系数, 得 a ? x1 ? x2 ? x3 , b ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 , c ? x1 x2 x3 …………2 分 (2)由 c>0,得 x1 , x 2 , x3 三数中或全为正数或一正二负。 若为一正二负,不妨设 x1 ? 0, x2 ? 0, x3 ? 0,由x1 ? x2 ? x3 ? a ? 0, 得

x1 ? ?( x2 ? x3 ),则x1 ( x2 ? x3 ) ? ?( x2 ? x3 ) 2

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又 b ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ? x1 ( x2 ? x3 ) ? x2 x3 ? ?( x2 ? x3 ) 2 ? x3 x3 =
2 2 ? x2 ? x2 x3 ? x3 ? 0, 这与 b>0 矛盾,所以 x1 , x2 , x3 全为正数,…………6 分

(3)令 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, 要f ( x) ? 0 有三个不等的实数根,则函数

f ( x) 有一个极大值和一个极小值,日极大值大于 0,极小值小于 0。
由已知,得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 有两个不等的实根 ? , ?

? ?1 ? ? ? 0 ? ? ? 1.

?3 ? 2a ? b ? 0? (1) ? ? ?b ? 0??? (2) ,由(1)(3)得b ? ?3. ?3 ? 2a ? b ? 0?? (3) ?
又 | b |? 2, b ? 0,

? b ? ?1代入(1)(3)得a ? 0 …………9 分
3 3 3 处取得极大值,在 x= ,? ? , 且f ( x)在x ? ? 3 3 3

? f ?( x) ? 3x 2 ? 1, 则? ? ? 3 处取得极小值。 3

? 3 ? f (? ) ? 0, ? 3 故 f ( x) ? 0 要有三个不等的实数根,则必须 ? 得 3 ? f ( ) ? 0. ? ? 3
? 2 3 2 3 ………………12 分 ?c? 9 9

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