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第三编 导数及其应用3.1


第三编 导数及其应用
§3.1变化率与导数、导数的计算 基础知识
要点梳理
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

自主学习

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 , 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为

若Δ x=x2-x1,Δ y=f(x2)-f(x1

),则平均变化率可 ?y 表示为 ?x .

2.函数y=f(x)在x=x0处的导数

(1)定义
当x1趋于x0,即Δ x趋于0时,如果平均变化率趋于 一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0 点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f′(x0)表示,记



f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f′(x0)= x ?x = ?lim0 x1 ? x0 x? ?x 1 0

lim

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲
线y=f(x)上点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率.相应 地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) .

3.函数f(x)的导函数

如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都

f ( x ? ?x) ? f ( x) 有导数,导数值记为f′(x):f′(x)=?lim0 , x? ?x 则f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函
数,通常也简称为导数. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xα (α ∈R) 导函数 f′(x)= 0 f′(x)= α xα -1

f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0,且a≠1)

f′(x)= cos x f′(x)= -sin x x f′(x)= a ln a(a>0)

f(x)=logax (a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x

f(x)=ex

f′(x)= ex 1 f′(x)= x ln a (a>0,且a≠1) 1 f′(x)= x

5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; (g(x)≠0).

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) (3) ? f ( x ) ? ′= ?g ( x)?2 ? g ( x) ? ? ? 6.复合函数的导数
x

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的 u x 导数间的关系为y ′ = y′·u′ ,即y对x的 y对u 导数等于

的导数与 u对x

的导数的乘积.

基础自测 1.在曲线y=x2+1的图像上取一点(1,2)及附近一点 ?y (1+Δ x,2+Δ y),则 为 ( C ) ?x 1 1 A.Δ x+ +2 B.Δ x-2 ?x ?x 1 C.Δ x+2 D.2+Δ x?x 解析 ∵Δ y=(1+Δ x)2+1-12-1=(Δ x)2+2Δ x,
?y =Δ x+2. ?x



2.已知f0(x)=sin x,若规定f(x)=f0′(x), f2(x)=

f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2010(x)等于
( C ) A.sin x C.-sin x 解析 B.cos x D.-cos x

f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,

f4(x)=sin x,f5(x)=cos x.
∴f2010(x)=f2(x)=-sin x.

3. 曲 线 y=x3-3x2+1 在 点 ( 1 , -1 ) 处 的 切 线 方 程 为

( B )
A.y=3x-4 C.y=-4x+3 B.y=-3x+2 D.y=4x-5

解析 由y′=3x2-6x在点(1,-1)的值为-3,故切 线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2.

4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>-f(x)

恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成
立的是 A.af(b)>bf(a) ( B ) B.af(a)>bf(b)

C.af(a)<bf(b)
解析

D.af(b)<bf(a)

令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)>0.

∴g(x)在R上为增函数,∵a>b, ∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b).

5.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处 π 切线倾斜角的取值范围是[0, ],则点P横坐标的 4 取值范围为 ( A ) A. ?? 1,? 1 ?
? ? 2? ?

B.[-1,0] D. ? 1 ,1?
?2 ? ? ?

C.[0,1] 解析

∵y=x2+2x+3,∴y′=2x+2.

∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 π [0, ], 4 ∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1. 1 ∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤ ? . 2

题型分类
题型一

深度剖析

利用导数的定义求函数的导数

【例1】求函数y= x 2 ? 1 在x0到x0+Δ x之间的平均变化 率. 思维启迪 紧扣定义 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 进行 ?x ?x 计算.
2 ? ?y ? ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1 解 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1 ? 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1

?

2 x0 ?x ? (?x) 2
2 ( x 0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1

?y 2 x0 ? ?x ? ? . 2 2 ?x ( x 0 ? ?x) ? 1 ? x0 ? 1

探究提高

求函数 f(x)平均变化率的步骤:

①求函数值的增量Δ f = f(x2)- f(x1); ②计算平均变化率 ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ?x x2 ? x1 解这类题目仅仅是简单套用公式,解答过程相对简 单,只要注意运算过程就可以了.

知能迁移1

利用导数定义,求函数 (导数定义法)

y? x

在x=1处

的导数.
解 方法一
?y ? 1 ? ?x ? 1, ?y 1 ? ?x ? 1 1 ? ? , ?x ?x 1 ? ?x ? 1 1 1 1 ? x?1 ? . ? ,? y lim 2 2 ?x ? 0 1 ? ?x ? 1

方法二

(导函数的函数值法)

?y ? x ? ?x ? x , ?y x ? ?x ? x 1 ? ? , ?x ?x x ? ?x ? x 1 1 ? lim ? . x ? ?x ? x 2 x ?x ?0 1 ? x?1 ? . ?y 2

题型二

导数的运算

【例2】求下列函数的导数.

(1)y=2x3+x-6;
x ? x5 ? sin x ; (2)y= x2 (3)y=(x+1)(x+2)(x+3);
x (4)y=-sin x (1-2cos2 ); 4 2 1 1 ? (5)y ? . 1? x 1? x

思维启迪

如式子能化简的,可先化简,再利用导

数公式和运算法则求导.



(1)y′=6x2+1.
1 x2

( 2) ? y ? ? y? ? ( x
?

? x ? sin x ?x 2 x
5

?

3 2

? x3 ?

sin x , 2 x

3 2 )? ? ( x 3 )?( x ? 2 sin ? 5 2

x)?

3 ?? x 2

? 3 x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ?2 cos x.

(3)方法一

y=(x2+3x+2)(x+3)

=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.

方法二
y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)

=3x2+12x+11.

x x 1 (4) ? y ? ? sin (? cos ) ? sin x, 2 2 2 1 1 1 ? ? ( sin x)? ? (sin x)? ? cos x. ?y 2 2 2 1 1 1? x ?1? x 2 (5) y ? ? ? ? , 1 ? x 1 ? x (1 ? x )(1 ? x ) 1 ? x 2 ? 2(1 ? x)? 2 ??( ?? ?y ) ? . 2 2 1? x (1 ? x) (1 ? x)

探究提高 求函数的导数要准确地把函数分割为基本 函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法 则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的 结构特征,紧扣求导法则,联系基本函数求导公式.

对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形,如
(3)小题;对于比较复杂的函数,如果直接套用求导 法则,会使求导过程繁琐冗长,且易出错,此时,可 将解析式进行合理变形,转化为较易求导的结构形 式,再求导数,如(2)、(4)、(5)都是如此.但

必须注意变形的等价性,避免不必要的运算失误.

知能迁移2

求下列函数的导数.

(1)y=5x2-4x+1;(2)y=(2x2-1)(3x+1);
x ? cos x (3)y= . x ? sin x 解 (1)y′=(5x2-4x+1)′

=(5x2)′-(4x)′+(1)′=10x-4.

(2)∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′ =(6x3)′+2(x2)′-(3x)′-(1)′ =18x2+4x-3.

( x ? cos x)?( x ? sin x) ? ( x ? cos x)( x ? sin x)? (3) y? ? ( x ? sin x) 2 (1 ? sin x)( x ? sin x) ? ( x ? cos x)(1 ? cos x) ? ( x ? sin x) 2 ? x cos x ? x sin x ? sin x ? cos x ? 1 ? . 2 ( x ? sin x)

【例3】求下列复合函数的导数.
(1)y=(2x-3)5; (2)y= 3 ? x ; (3)y=sin2(2x+ (4)y=ln(2x+5).
π ); 3

思维启迪

先正确地分析函数是由哪些基本函数经过

怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意 要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆. 解 (1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3 复合而成, ∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2 =10u4=10(2x-3)4. (2)设u=3-x,

则y= 3 ? x 由y=u 与u=3-x复合而成. 1 1 1 ?2 y? ? f ?(u ) ? u?( x) ? (u 2 )?(3 ? x)? ? u (?1) 2
1 ?? u 2
? 1 2

1 2

??

1 3? x ? . 2 3 ? x 2x ? 6

(3)设y=u2,u=sin

π v,v=2x+ , 3

? x (4)设y=ln u,u=2x+5,则 y? ? yu ? u? x 1 2 y? ? ? (2 x ? 5)? ? . 2x ? 5 2x ? 5 探究提高 由复合函数的定义可知,中间变量的选择
应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析 函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内, 一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基 本函数,逐步确定复合过程.

? ? x 则y? ? yu ? uv ? v? ? 2u ? cos v ? 2 x π π 2π ? 4 sin( 2 x ? ) ? cos( 2 x ? ) ? 2 sin( 4 x ? ). 3 3 3

知能迁移3

求下列复合函数的导数. 1 (1)y= 3 ; (1 ? 3 x) (2)y=x x 2 ? 1 ; (3) y ? cos( 3x ? ? ) (0 ? ? ? π). 解 (1)y′=-3(1-3x)-4(1-3x)′=
2

9 4 . (1 ? 3 x)

1 2x 2x2 ?1 ( 2) y ? ? x ? 1 ? x ? ? ? . 2 2 2 x ?1 x ?1 (3) y? ? ? 3 sin( 3 x ? ? )(0 ? ? ? π)

题型三

导数的几何意义

【例4】 (12分)已知曲线方程为y=x2, (1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程; (2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程. 思维启迪 (1)A在曲线上,即求在A点的切线方程. (2)B不在曲线上,设出切点求切线方程.

解题示范
解 (1)∵A在曲线y=x2上, 2分 由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4, 因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 6分 4分 ∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条,且A为切点.

(2)方法一 y=kx+5-3k, y=x2

设过B(3,5)与曲线y=x2相切的直线 8分

方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 由

得x2-kx+3k-5=0,Δ =k2-4(3k-5)=0.
整理得:(k-2)(k-10)=0,∴k=2或k=10. 所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 方法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 8分 10分 由y=x2得y′=2x,∴ y ? | 0=2x0, x=x 5 ? y0 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 3 ? x0 2 又y0= x0 代入上式整理得:x0=1或x0=5, ∴切点坐标为(1,1),(5,25), 10分 12分

∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.

12分

探究提高

(1)解决此类问题一定要分清“在某点

处的切线”,还是“过某点的切线”的问法.

(2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点
坐标为P(x 0 ,y 0 ),然后求其切线斜率k=f′(x 0 ), 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某 点”为切点. (3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当 曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且 只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确.

已知曲线 y ? 1 x 3 ? 4. 3 3 (1)求曲线在x=2处的切线方程; 知能迁移4 (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解 (1)∵y′=x2, ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),

即4x-y-4=0.

(2)设曲线 y ? 1 x 3 ? 4 与过点P(2,4)的切线 3 3 3 相切于点 A( x0 , 1 x0 ? 4 ) , 3 3 则切线的斜率k=y′|x=x 0= x 2.
0

1 3 4 2 ∴切线方程为y- ( x0 ? ) ? x0 ( x ? x0 ), 3 3 2 3 即 y ? x0 ? x ? 2 x0 ? 4 . 3 3

2 3 4 2 ∵点P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0 ? x0 ? , 3 3 3 2 即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0,
3 2 2 ? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, 2 ? x0 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)( x0 ? 1) ? 0.

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与

(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0
处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0) 的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为

0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本 原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且 要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化 简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的

运算失误.

3.复合函数的求导方法

求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法
则,将问题转化为基本函数的导数解决. (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函 数复合而成的,适当选定中间变量; (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求

导,而其中特别要注意的是中间变量的关系;
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则, 求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的

函数;
(4)复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略, 不必再写出函数的复合过程.

失误与防范
1.利用导数定义求导数时,要注意到x与Δ x的区别,

这里的x是常量,Δ x是变量.
2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号, 防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时,要分清点P处的切线与过P点的切 线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这 和研究直线与二次曲线相切时有差别.

定时检测
一、选择题 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位 移为 s ? t 3 ? t 2 ? 2t ,那么速度为零的时刻是

1 3

3 2

( D )
B.1秒末 D.1秒末和2秒末

A.0秒 C.2秒末 解析
1 3 3 2 ∵s ? t ? t ? 2t , 3 2

∴v=s′(t)=t2-3t+2,

令v=0,得t1=1,t2=2.

2.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线

y=x-2的最小距离为( B )
A.1 解析 C. 2 D. 3 2 过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx B. 2
2 0

1 , 相切,设P(x0,x -ln x0),则k=y′|x=x0=2x0x0 1 ∴2x0=1,∴x0=1或x0= ? 1(舍去). x0 2 | 1 ?1 ? 2 | ∴P(1,1),∴ d ? ? 2. 1?1

3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的 方程为 A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 解析 B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 ( A )

y′=4x3=4,得x=1,即切点为(1,1),所以

过该点的切线方程为y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.

4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角
形的面积为
2 2 9 2 e2 A. e B.2e C.e D. 4 2 解析 ∵点(2,e2)在曲线上,

( D )

∴切线的斜率k=y′|x=2=ex|x=2=e2,
∴切线的方程为y-e2=e2(x-2). 即e2x-y-e2=0.

与两坐标轴的交点坐标为(0,-e2),(1,0),
1 e2 2 ∴S△= ?1? e ? . 2 2

5. ( 2009· 全 国 Ⅰ 理 , 9 ) 已 知 直 线 y=x+1 与 曲 线 y=ln(x+a)相切,则a的值为 A.1 B.2 C.-1 ( B ) D.-2

解析

设 直 线 y=x+1 与 曲 线 y=ln(x+a) 的 切 点 为

1 , (x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),又y′= x?a 1 ∴ y? |x? x0 ? ? 1, 即x0+a=1.又y0=ln(x0+a), x0 ? a ∴y0=0,∴x0=-1,∴a=2.

6.(2009·安徽文,9)设函数 f ( x) ? sin ? x3 ? 3 cos ? x 2 3 2 5π ? tan ? , 其中 ? ? [0, ] ,则导数f′(1)的取值范围 12
是 A.[-2,2] B.[ 2, 3 ] D.[ 2 ,2] ( D)

C.[ 3,2]
解析

由已知f′(x)=sin ? 2+ 3 cos ?·x, ·x

? f ?(1) ? s in ? ?

π? ? 3 cos ? ? 2 s in? ? ? ?, 3? ? 5π ? ? 3? 又? ? [0, ]. ? ?? ? ? , 12 3 3 4 2 π ? s in( ? ) ? 1,? ? 2 3 2 ? f ?(1) ? 2.

?

二、填空题
7.如图所示,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A, B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6, 4), f (1 ? ?x ) ? f (1) 则f(f(0))= ; ? lim ?x ? 0 ?x .

(用数字作答)

解析

由A(0,4),B(2,0)可得线段AB所在直

线的方程为f(x)=-2x+4 (0≤x≤2).同理BC所在直线 的方程为f(x)=x-2 (2<x≤6). 所以f(x)=

-2x+4(0≤x≤2),
x-2(2<x≤6),

所以f(0)=4,f(4)=2.
f (1 ? ?x ) ? f (1) f′(1)=-2. ? lim ?x ? 0 ?x 答案 2 -2

8.(2009·福建理,14)若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂 直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 (-∞,0) . 解析 ∵f′(x)=5ax4+
1 ,x∈(0,+∞), x

∴由题知5ax4+

1 =0在(0,+∞)上有解. x

1 即a=- 5 在(0,+∞)上有解. 5x

∵x∈(0,+∞),∴ ? ∴a∈(-∞,0).

1 5x5

∈(-∞,0).

9.(2009·江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,点P 在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知

曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为
(-2,15) .
2 解析 设P(x0,y0)(x0<0),由题意知 y? | x ? x ? 3 x0 ? 10 0
2 =2,∴ x0 =4.∴x0=-2,∴y0=15.

∴P点的坐标为(-2,15).

三、解答题 10.求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程. 解 f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k.

(1)当切点是原点时k=f′(0)=2,
所以所求曲线的切线方程为y=2x. (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),
3 2 2 则有y0= x0 ? 3x0 ? 2 x0 , k ? f ?? x0 ? ? 3x0 ? 6 x0 ? 2, 2 又k= y0 ? x0 ? 3x0 ? 2, x0 由①②得 x0 ? 3 , k ? y0 ? ? 1 . 2 x0 4 ∴所求曲线的切线方程为 y ? ? 1 x. 4

① ②

11. 设 t≠0, 点 P ( t , 0 ) 是 函 数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在 点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c. 解 因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0), 所以f(t)=0,即t3+at=0.

因为t≠0,所以a=-t2.
g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab. 又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线, 所以f′(t)=g′(t). 而f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.

将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.
故a=-t2,b=t,c=-t3.

12.设有抛物线C:y=-x2+ (1)求k的值;

9 x-4,通过原点O作C的切 2 线y=kx,使切点P在第一象限.

(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交

点Q的坐标.
解 (1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1=kx1.①
2 1

①代入②得 x 2 ? (k ? 9 ) x ? 4 ? 0. 1 1 2 9 2 17 1 ∵P为切点,∴Δ = (k - ) ? 16 ? 0, 得k ? 或k ? . 2 2 2

9 y1 ? ? x ? x1 ? 4. 2



17 当k= 时,x1=-2,y1=-17. 2 1 当k= 时,x1=2,y1=1. 2

∵P在第一象限,∴所求的斜率k=

1 . 2

(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5. 将③代入抛物线方程得x2- 13 x+9=0. 2 9 设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,∴x2= ,y2=-4. 2 9 ∴Q点的坐标为( ,-4). 2



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