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【竞赛及提前招生】2014年宁波各重点高中创新班招生数学试卷


宁波市 2014 年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷
数学试题
一、选择题(共 6 题,每题 4 分,共 24 分) 1、从 1,2,3,4,5 这五个数字任取两个数字,使其乘积为偶数的概率为() (A)

4 7 3 1 (B) (C) (D) 5 10 5 2

2、已知锐角△ABC 角平分线 AD 与高线 BE 交于点 M,△CDE 是等边三角形,则 S△DEM:S△ABM 的值为( ) (A) 2 : 2 (B) 1 : 2 (C) 1 : 3 (D) 1 : 4 3、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 在第二象限,点 B 在 x 轴负半轴上,△OAB 的面积是 9,P 是 AB 重点,若函数 y ? (A)-6 (B)-4(C)-3(D)-2

k (x<0)的图像经过点 A、P,则 k 的值为() x

4、对于任意的有理数 a ,方程 2x 2 ? (a ? 1) x ? (3a 2 ? 4a ? b) ? 0 的根总是有理数,则 b 的值为() (A)1 (B)-1(C)2(D)0 5、如图,△ABC 内接于⊙O,过 BC 的中点 D 作直线 l∥AC,l 与 AB 交于点 E,与⊙O 交于 点 G、F,与⊙O 在点 A 处的切线交于点 P,若 PE=3,ED=2,EF=3,则 PA 的长度为() (A) 2 (B) 5 (C) 6 (D) 7

P G E O B D F
第 5 题第 6 题

B

A

A

P

C

A1

P1

B1

6、 如图, 已知锐角∠A=∠B, AA1、 PP1、 BB1 均垂直于 A1B1, 垂足分别是 A1、 P1、 B1, 且 AA1=17, AP+PB=13,BB1=20,A1B1=12,则 PP1 的长度为() (A)13 (B)14(C)15(D)16 二、填空题(共 6 题,每题 4 分,共 24 分)
2 7、已知 a 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的根,则 2a ? 5a ? 2 ?
2

3 的值为. a ?1
2

8、 “*”表示一种运算,规定 x * y ?

1 1 1 ? 。若 1 * 3 ? ,则 2013*2014=. 12 xy ( x ? 1)( y ? A)

9、如图,Rt△ABC 的硬纸片,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,AD 为 BC 边上的高,从这张硬纸 片上剪下一个如图所示的内接正方形 EFGH,则正方形 EFGH 的边长为. 10、如图,在△ABC 中,AB=AC,CM 平分∠ACB,与 AB 交于点 M,AD⊥BC 于点 D,ME⊥BC 于点 E,MF⊥MC 与 BC 交于点 F,若 CF=10,则 DE=.

A H G
M

A

B
第 9 题

E D

F
第 10 题

C

B

F E

D

C

11 、 已 知 a , b 是 不 为 零 的 实 数 , 对 于 任 意 实 数 x, y , 都 有

(a 2 ? b 2 )(x 2 ? y 2 ) ? 8bx ? 8ay ? k 2 ? k ? 28 ? 0 ,其中 k 是实数,则 k 的最大值为.
12、一个平面把空间分为 2 个部分,两个平面最多把空间分成 4 个部分,三个平面最多把空 间分为个部分,四个平面最多把空间分成个部分. 三、解答题(共 4 题,每题 13 分,共 52 分) 13、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像与 x 轴有两个交点 A(-1,0),B(n,0) ,交 y 轴 于点 C(0,p) ,已知 p ? ?3a(n ? 2) . (1)求点 B 坐标 (2)若抛物线上存在点 M,使△ABM 为直角三角形,求 a 的取值范围. 14、某学生为了培养自己的自主学习能力,采用级别制的自我激励方法管理,级别标志是: 全天自主学习时间累计满 2 小时就算学习 1 天,学习满 5 天时,级别标志为 1 颗星星:又满 7 天时,再增加 1 颗星星,级别标志为 2 颗星星;??(得到第 n 颗星星要比得到第 n-1 颗 星星时多耗时 2 天).每够 4 颗星星就改用 1 个月亮,每够 4 个月亮就改用 1 个太阳(即 16 颗星星为 1 个太阳) 。 如果从 2011 年 9 月 1 日入初中第一天开始, 每天不间断学习至今天 (2014 年 2 月 13 日) ,级别标志是什么?

15、 如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 BA=AD=DC, AC≠BD, AC 与 BD 交于点 P, ∠ABC+∠BCD=120°, 求证:PB=PC。 (提示:在解答本题时可能用到一下结论:对交互补的四边形内接于圆,简称 四点共圆) 。

D A P B C

16、已知 a 是方程 x 3 ? 3x ? q ? 0 的一个实根( q 是实数). (1)当 q 是何值时,上述方程恰好有两个不相等的实数根? (2)证明:当上述方程仅有一个实数根时, q ? 2 .


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