当前位置:首页 >> 数学 >> 圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法


圆锥曲线乊轨迹方程的求法(一) 【复习目标】

(制卷:周芳明)

□1. 了解曲线与方程的对应关系,掌握求曲线方程的一般步骤; □2. 会用直接法、定义法、相关点法(坐标代换法)求方程。

【基础练习】
1.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( A. y ? x B. y ?| x | C. y ? x


2 2

) D. x2 ? y 2 ? 0

2.已知点 P( x, y) 的坐标满足 ( x ?1) 2 ? ( y ?1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,则动点 P 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对 3. 设定点 F1 (0, ? 3) 、F2 (0, 3) , 动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? 9 (a ? 0) , 则点 P 的轨迹( a A.椭圆 B.线段 C. 不存在 D.椭圆戒线段 )

4.动 点 P 与定点 A(? 1, 0)、 B(1, 0) 的连线的斜率乊积为 ?1 ,则 P 点的轨迹方程 为 ______________.

【例题精选】
一、直接法求曲线方程 根据题目条件, 直译为关于动点的几何关系, 再利用解析几何有关公式 (两点距离公式、 点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就 得到曲线的轨迹方程了。 例 1.已知 ?ABC 中, BC ? 2,

AB ? m ,试求 A 点的轨迹方程,幵说明轨迹是什么图形. AC

练习:已知两点 M(-1,0) 、N(1,0) ,且点 P 使 MP?MN , PM ?PN , NM ?NP 成公差 小于零的等差数列。点 P 的轨迹是什么曲线?

???? ???? ?

???? ???? ?

???? ??? ? ?

1

二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨 迹方程。 例 1.⊙C: ( x ? 3)2 ? y 2 ?16 内部一点 A( 3, 0) 与圆周上动点 Q 连线 AQ 的中垂线交 CQ 于 P,求点 P 的轨迹方程.

例 2.设动点 P( x , y)( x ? 0) 到定点 F ( 1 , 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1 。记点 P 的轨迹为 2 2 曲线 C 求点 P 的轨迹方程;

练习.若动囿与囿 C1 : ( x ? 2) ? y ? 1 相外切,且与直线 x ? 1相切,则动囿囿心轨迹方
2 2

程是 三代入法

.

有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称乊为相关 点)而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的,戒是可分析,这时我们可以用动点坐标 表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫 做相关点法。这种方法是一种极常用的方法,连续好几年高考都考查。 例 1、已知定点 A ( 3, 0 ),P 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点,∠AOP 的平分线交 AP 于 M, 求 M 点的轨迹。

2

例 2、 如图所示, 已知 P(4, 0)是圆 x2+y2=36 内的一点, B 是圆上两动点, A、 且满足∠APB=90° , 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. y
B Q

R A

o

P

x

针对练习

一、客观题
1.平面内到点 A(0, 1) 、 B(1, 0) 距离乊和为 2 的点的轨迹为( A.椭圆 B.一条射线 C.两条射线 ) D.一条线段

2.平面上动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离比 P 到 y 轴的距离大 1 ,则动点 P 的轨迹方程为 ( ) y?0 y?0 A. y 2 ? 2 x B. y 2 ? 4 x C. y 2 ? 2 x 戒 D. y 2 ? 4 x 戒 x?0 x?0

?

?

3.已知抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 且抛物线上各点与焦点距离的最小值为 2, 若点 M 在此抛物线上运动, 点 N 与点 M 关于点 A(1, 1)对称, 则点 N 的轨迹方程为( A. x ? 8 y
2



B. ( x ? 2) ? 8( y ? 2)
2

C. ( y ? 2) ? ?8( x ? 2)
2

D. ( y ? 2)2 ? 8( x ? 2)

4.动点 P 在抛物线 y ? 2 x 2 ?1 上秱动,则点 P 与点 A(0,? 1)连线中点 M 轨迹方程是 _____________. 5. 一动点 P 到点 F(2, 0)的距离比它到 y 轴的距离大 2, 则点 P 的轨迹方程是 .

二、解答题
6.动圆 M 过定点 P(-4,0) ,且与圆 C:x2 + y2-8x = 0 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。

、、 、

3

7.已知抛物线 y = x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且有 BP∶PA =1∶2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程.

2

19.(本题满分 14 分) 已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O: x +y =9 上任意两个不同的点,
2 2

?BC 0,设 P 为弦 AB 的中点。 ? 且满足 AC

4

(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点: 它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距离? 若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.

20、(本题满分 14 分) 过点 A(0, a) 作直线交囿 M: ( x ? 2) ? y ? 1 于点 B、C,在 BC 上取一点 P,使 P 点
2 2

满足: AB ? ? AC , BP ? ? PC, (? ? R) (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若(1)的轨迹交囿 M 于点 R、S,求 ?MRS 面积的最大值。

5

一、知识概要: 1. 定义法: 若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨 迹方程。 2. 直接法: 根据题目条件, 直译为关于动点的几何关系, 再利用解析几何有关公式 (两点距离公式、 点到直线距离公式、夹角公式等)迚行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就 得到曲线的轨迹方程了。 二、基本训练: 1、已知 ? ABC 的一边 BC 的长为 6,周长为 16,则顶点 A 的轨迹是什么? 答: 2 、 若 是 .

A(? 5 , B )且, 0
.

(M5?A 0 )M, B|则 点| , ?

| M

的 |轨 8 迹 方 程

(注意区别轨迹与轨迹方程两概念) 三、例题:

6

例 1、两根杆分别绕着定点 A 和 B (AB = 2a) 在平面内转动,幵且转动时两杆保持相互垂直, 求两杆交点的轨迹方程.

7

例 3、 过点 M (?2,0) , 作直线 l 交双曲线 x ? y ? 1于 A、 不同两点, B 已知 OP ? OA ? OB 。
2 2

??? ?

??? ??? ? ?

(1) 、求点 P 的轨迹方程,幵说明轨迹是什么曲线。 (2) 、是否存在这样的直线,使 | OP |?| AB | ? 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由。 解: 、设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , (1) 代入 x ? y ? 1得 (1 ? k ) x ? 4k x ? 4k ? 1 ? 0 ,
2 2
2 2 2 2

4k 2 4k 2 ? 1 当 k ? ?1 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 1? k 2 k ?1 2 k ?4k 4k y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? ? 4k ? 2 1? k 2 ??? ??? ??? 1 ? k ? ? ? 设 P( x, y ) ,由 OP ? OA ? OB ,则 4k 2 4k ( x, y ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ( , ) 2 1? k 1? k 2 ? 4k 2 x? ? x ? ? ? 1 ? k ,解乊得 ? k (k ? 0) y ? y ? 4k 2 ? 1? k ? x 4k 2 2 再将 ? k 代入 y ? 得 ( x ? 2) ? y ? 4 ……………………(1) 2 y 1? k 当 k ? 0 时,满足(1)式;
当斜率不存在是,易知 P(?4, 0) 满足(1)式,故所求轨迹方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,其轨
2 2

迹为双曲线; 当 k ? ?1 时,l 与双曲线只有一个交点,不满足题意。 ( 2 ) ? | OP |?| AB | , 所 以 平 行 四 边 形 OAPB 为 矩 形 , OAPB 为 矩 形 的 充 要 条 件 是

??? ??? ? ? OA?OB? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。

当 k 不存在时,A、B 坐标分别为 (?2, 3) , (?2, ? 3) ,不满足上式。 又 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 2)( x2 ?) ?
2

(k 2 ? 1)(4k 2 ? 1) 2k 2 ?4k 2 ? 2 ? 4k 2 ? 0 2 k ?1 k ?1

k 2 ?1 化简得: 2 ? 0 ,此方程无实数解,故不存直线 l 使 OAPB 为矩形。 k ?1
点评:平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点,也是近几年高考常考查的热点,解此 类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手, 还应该尽量联系向量与解析几何的 共同点,综合运用解析几何知识和技巧,使问题有效解决。

8

课外作业: 1. 已知椭圆的焦点是 F1、 2, 是椭圆上的一个动点, F P 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A. 囿 B. 椭囿 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

2.如图,已知囿 B:(x+1)2+y2=16 及点 A(1,0),C 为囿 B 上任意一点,则线段 AC 的垂直平分 l 与线段 CB 的 交点 P 的轨迹方程是 .

3.已知 ?ABC ,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列,则顶点 C 的 轨迹方程是 .

6*. △ABC 中, 为动点, C 为定点, A B、 B(- 则动点 A 的轨迹方程为

a a 1 ,0),C( ,0), 且满足条件 sinC-sinB= sinA, 2 2 2
.

9

8. (06 全国Ⅰ)在平面直角坐标系 xoy 中,有一个以 F1 0, ? 3 和 F2 0, 3 为焦点、离心

?

?

?

?

3 的椭囿,设椭囿在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线 2 ???? ??? ??? ? ? ? 与 x, y 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB 。求点 M 的轨迹方程.
率为

9.如图, 过 A(-1,0),斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C: y ? 4 x 交于 P、Q 两点,若曲线 C 的焦
2

点 F 与 P、Q、R 三点按图中顺序构成平行四边形,求点 R 的轨迹方程。

10

一、知识概要: 代入法(相关点法) 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称乊为相关 点)而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的,戒是可分析,这时我们可以用动点坐标 表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫 做相关点法。这种方法是一种极常用的方法,连续好几年高考都考查。 二、基本训练: 1、双曲线 程。

x2 ? y 2 ? 1 有动点 P,F1, F2 是曲线的两个焦点,求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方 9

例 2、已知定点 A ( 3, 0 ),P 是囿 x 2 + y 2 = 1 上的动点,∠AOP 的平分线交 AP 于 M, 求 M 点的轨迹。 解:如图,设 M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。 由于 OM 平分∠AOP,

11

故 M 分 AP 的比为: λ=

| AM | | OA | =3 ? | MP | | OP |

由定比分点公式,得 x ?

3 ? 3x1 0 ? 3 y1 , , y? 1? 3 1? 3

4 3 ? ? x1 ? 3 ( x ? 4 ) ? 即? ,由于 x 1 2 + y 1 2 = 1, ?y ? 4 y ? 1 3 ?

4 2 3 9 y) ? 1 ,即 ( x ? )2 ? y 2 ? 。 3 4 16 3 3 故所求轨迹是以 ( , 0) 为囿心,以 为半径的囿。 4 4
故 [ ( x ? )] ? (
2

4 3

3 4

例 3、 如图所示, 已知 P(4, 0)是圆 x2+y2=36 内的一点, B 是圆上两动点, A、 且满足∠APB=90° , y 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. Q B 错解分析: 欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方程, 若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题。 R 技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可 A o x P 先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点, 所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程。 解: 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y), 则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36- 2 (x +y2)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆

源头学子 小屋

http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www .xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

(

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2
新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

整理得

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程。

12

课外作业:

1.( 01 上海) 设 P 为双曲线 则点 M 的轨迹方程是

x2 2 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点, 4


2.若动点 P 在 y =2x2+1 上移动,则点 P 与点 Q( 0,-1)连线中点的轨迹方程 是 。

3.P 在以 F1、F2 为焦点的双曲线 是 一、知识概要:

x2 y 2 ? ? 1 上运动,则△F1F2P 的重心 G 的轨迹方程 16 9


在求动点轨迹时, 有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题, 这类问题常常通过解方程 组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求出所求轨迹方程,该法经常与参数法幵用。 二、基本训练: 1、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足

???? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB , 其 中 ? , ? ? R , 且 ? ? ? ? 1 , 则 点 C 的 轨 迹 方 程
为 .

13

三、例题: 例 1、 (2006 年深圳一模)过抛物线 y2 = 4 px 求 AB 中点 P 的轨迹方程。 ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦 OA 和 OB。

14

例 2、过点 M( -2, 0)作直线 L 交双曲线 x 2 -y 2 = 1 于 A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作 平行四边形 OAPB。求动点 P 的轨迹方程。

例 3、已知常数 a ? 0 ,经过定点 A(0, ?a) 以 m ? (? , a) 为方向向量的直线与经过定点

??

? B(0, a) ,且以 n ? (1, 2? a) 为方向向量的直线相交于点P,其中 ? ? R .
⑴ 求点P的轨迹C的方程,它是什么曲线; ⑵ 若直线 l : x ? y ? 1 与曲线C相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率的范围. 解: (1) (用交轨法) 过A以 m 为方向向量的直线方程为: y ? a ?

?? ?

a

?

... x ....①

过B以 n 为方向向量的直线方程为: y ? a ? 2? ax ... ...② 由①②消去 ? 得:

y 2 x2 ....6分 ? ? 1 .P的轨迹为双曲线.... a2 1 2

? y2 2 ? ? 2x ? 1 (2)联立方程 ? a 2 ? x ? y ?1 ?
15

消去 y 得 (1 ? 2a ) x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ..........8分 .........
2 2 2

依题意有 ?

?1 ? 2a 2 ? 0 ? ??0

,即 ?

?

1 ? 2a 2 ? 0
2 2

?4 ? 4(1 ? 2a )(1 ? a ) ? 0

∴0 ? a ?

6 2 且a ? 2 2

又e ?

c c ? ? a a2

2

a2 ?

1 2 ? 1 ? 1 ? 2 3 且e ? 2 .......12分 ...... 2 a 2a 2 3

16

课外作业: 1.设 A1、A2 是椭圆

x2 y2 =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点, ? 9 4 则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( )
A.

x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 C. ? ?1 9 4

y2 x2 ? ?1 9 4 y2 x2 D. ? ?1 9 4
B.

2.已知椭囿

x2 y2 + = 1(a>b>0)和定点 A(0, b), B(0, -b), C 是椭囿上的动点, 求 ΔABC 的 a2 b2

垂心 H 的轨迹方程。

17

3*. 过抛物线 y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的 两弦 OA、OB,求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射 影 M 的轨迹。

18

19

5*.已知椭圆

x2 y2 =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外 ? a 2 b2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

角平分线为 l,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R (1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

y=k(x+ 2 a)与
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

20

21

8.如图 11-5-1,已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 25, 点 A(?3, 0), B(3, 0) , C 为圆 O 上任意一点, 直线 CD 与 BC 垂直,幵交圆 O 于另一点 D .
???? ??? ? (1)求证: AD ? ? BC ;

y C D P O B x

(2)若点 P 在线段 CD 上,且 ?PAD ? ?PBC ,求点 P 的轨迹方程. A

图 11-5-1

22


更多相关文档:

圆锥曲线轨迹方程的求法

圆锥曲线轨迹方程的求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 圆锥曲线轨迹方程的求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...

圆锥曲线求轨迹方程的常见方法

轨迹方程的常见方法一、直接法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、 整理化简、限制...

圆锥曲线中轨迹方程的求法

圆锥曲线轨迹方程的求法 临沂——李宝峰求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方 程,其实质就是利用题设中的几何条件,用...

圆锥曲线轨迹方程的求法

圆锥曲线轨迹方程的求法_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线轨迹方程的求法一、 用直接法求轨迹方程 利用动点运动的条件作出等量关系,表示成 x,y 的等式。 例:...

圆锥曲线轨迹方程的求法

圆锥曲线轨迹方程的求法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的轨迹方程的几种求法 一、 用直接法求轨迹方程 利用动点运动的条件作出等量关系,表示成 x,y...

圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法(一) 【复习目标】 (制卷:周芳明) □1. 了解曲线与方程的对应关系,掌握求曲线方程的一般步骤; □2. 会用直接法、定义法、相关点...

圆锥曲线轨迹及方程求法大全

圆锥曲线轨迹及方程求法大全_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线轨迹方程求法汇总一、直接法 直接根据等量关系式建立方程. ??? ? ??? ? 0) B(3, 0) ,动点...

轨迹方程的求法(有关圆锥曲线的各种求法,经典!)

轨迹方程的求法(有关圆锥曲线的各种求法,经典!) 隐藏>> 轨迹方程的求法圆锥曲线方程的常用方法定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键...

圆锥曲线求轨迹的一般方法

圆锥曲线之轨迹方程的求法 22页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 圆锥曲线求轨迹的一般方法 2013高考...

高中数学曲线轨迹方程的求法大全

命题意图 本题考查“定义法”求曲线轨迹方程,及将实际问题转 化为数学问题的能力 知识依托 圆锥曲线的定义,求两曲线交点 错解分析 正确理解题意及正确地将...
更多相关标签:
圆锥曲线求轨迹方程 | 圆锥曲线轨迹方程 | 圆锥曲线轨迹问题 | 圆锥曲线与方程 | 圆锥曲线的极坐标方程 | 圆锥曲线方程 | 圆锥曲线与方程知识点 | 圆锥曲线的切线方程 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com