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数列高考复习教案(一)


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等差数列 1 相关公式:
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(1) 定义: an?1 ? an ? d (n ? 1, d为常数) (2)通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (3)前 n 项和公式: S n ?
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n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
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(4)通项公式推广: an ? am ? (n ? m)d 2.等差数列 {an } 的一些性质

(1)对于任意正整数 n,都有 an?1 ? an ? a2 ? a1

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(2) {an } 的通项公式 an ? (a2 ? a1 )n ? (2a1 ? a2 )

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(3)对于任意的整数 p, q, r , s ,如果 p ? q ? r ? s ,那么 a p ? aq ? ar ? as (4)对于任意的正整数 p, q, r ,如果 p ? r ? 2q ,则 a p ? ar ? 2aq (5)对于任意的正整数 n>1,有 2an ? an?1 ? an?1
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(6)对于任意的非零实数 b,数列 {ban } 是等差数列,则 {an } 是等差数列 (7)已知 {bn } 是等差数列,则 {an ? bn } 也是等差数列
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(8) {a2n },{a2n?1},{a3n },{a3n?1},{a3n?2 } 等都是等差数列

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(9)S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 仍成等差数列, S3m ? 3(S2m ? Sm ) 则 即 (10)若 S m ? S n (m ? n) ,则 S n?n ? 0
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(11)若 S p ? q, S q ? p ,则 S p?q ? ?( p ? q) (12) S n ? an2 ? bn,反之也成立 五、等比数列 1 相关公式:
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(1)定义:

a n ?1 ? q(n ? 1, q ? 0) an

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中小学个性化课外辅导专家 (2)通项公式: an ? a1q n?1
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?na1 ? (3)前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?
(4)通项公式推广: an ? am q n?m 2.等比数列 {an } 的一些性质 (1)对于任意的正整数 n,均有
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q ?1 q ?1
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a n ?1 a 2 ? an a1

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(2)对于任意的正整数 p, q, r , s ,如果 p ? q ? r ? s ,则 a p aq ? ar as (3)对于任意的正整数 p, q, r ,如果 2q ? p ? r ,则 a p ar ? aq (4)对于任意的正整数 n>1,有 an ? an?1an?1
2
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2
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(5)对于任意的非零实数 b, {ban } 也是等比数列

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(6)已知 {bn } 是等比数列,则 {an bn } 也是等比数列 (7)如果 an ? 0 ,则 {loga an } 是等差数列
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(8)数列 {loga an } 是等差数列,则 {an } 是等比数列

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(9) {a2n },{a2n?1},{a3n },{a3n?1},{a3n?2 } 等都是等比数列 (10) S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,

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①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 仍成等比数列 六、数列前 n 项和 (1)重要公式:
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1 ? 2 ? 3 ? ?n ?

n(n ? 1) ; 2
n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? n 2 ?

1 13 ? 23 ? ? n3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? n) 2 ? [ n( n ? 1)]2 2

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中小学个性化课外辅导专家 (2)等差数列中, S m?n ? S m ? S n ? mnd
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(3)等比数列中, S m?n ? S n ? q n S m ? S m ? q m S n (4)裂项求和:

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1 1 1 ? ? ; n ? n!? (n ? 1)!?n! ) ( n(n ? 1) n n ? 1

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(09 泰州)已知各项均为整数的数列 ?an ? 满足: a9 ? ?1 , a13 ? 4 ,且前 12 项依次成等差数列,从第 11 项起依次成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若存在正整数 m、p 使得: am ? am?1 ? ?? am? p ? amam?1 ?am? p ,请找出所有的有序数对 (m, p) ,并证明 你的结论.

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中小学个性化课外辅导专家 10 年南京二模

(2011 扬州泰州南通市二模)已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? n2 (n ? N* ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)对任意给定的 k ? N* ,是否存在 p,r ? N* ( k ? p ? r )使 1 , 1 ,1 成等差数列?若存 ak a p ar 在,用 k 分别表示 p 和 r (只要写出一组) ;若不存在,请说明理由; (3)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其边长为 an1 , an2 , an3 .

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中小学个性化课外辅导专家 (09 年盐城一模)20. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? 中,令 Sn ?

?
i ?1

n

(Ⅰ)若 ?an ? 是首项为 25,公差为 2 的正项等差数列,求 S100 ; (Ⅱ)若 Sn ?

1 . ai ? ai ?1

2 2 (Ⅲ)给定正整数 k ,正实数 M ,对于满足 a1 ? ak ?1 ? M 的所有等差数列 ?an ? ,

np ( p 为正常数)对正整数 n 恒成立,求证正项数列 ?an ? 为等差数列; a1 ? an?1

求 T ? ak ?1 ? ak ?2 ???? ? a2k ?1 的最大值

(12 年苏州)本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? An2 ? Bn ? 1 ( A ? 0 ) .

3 9 , a2 ? ,求证数列 ?an ? n? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2 4 B ?1 (2)已知数列 ?an ? 是等差数列,求 的值. A
(1)若 a1 ?

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中小学个性化课外辅导专家 (2011 年无锡一模)20. (16 分)设数列 ?an ? 是一个无穷数列,记 Tn ? ⑴ ?an ? 是等差数列,证明:对于任意的 n ? N , Tn ? 0 ; 若
*

?2
i ?1

n?2

i ?1

ai ? 2a1 ? a3 ? 2n? 2 an?1 , n ? N * .

⑵ 对任意的 n ? N ,若 Tn ? 0 ,证明: ?an ? 是等差数列;
*

⑶ Tn ? 0 ,且 a1 ? 0 , a2 ? 1,数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 n ,由 ?bn ? 构成一个新数列 3 , b2 , b3 ,设这个新数 若
a

列的前 n 项和为 Sn ,若 Sn 可以写成 a , (a, b ? N , a ? 1, b ? 1) ,则称 Sn 为“好和”.问 S1 , S2 , S3 , ? ?中 ?
b

是否存在“好和”,若存在,求出所有“好和”;若不存在,说明理由.

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中小学个性化课外辅导专家 (09 苏北四市)已知数列 a, b, c 为各项都是正数的等差数列,公差为 d (d ? 0) ,在 a , b 之间和 b, c 之间共插入 m 个实数后,所得到的 m ? 3 个数所组成的数列 ?an ?是等比数列,其公比为 q . ? ? ? 若 a ? 1, m ? 1 ,求公差 d ; 若在 a , b 之间和 b, c 之间所插入数的个数均为奇数,求所插入的 m m 数的乘积(用 a, c, m 表示) 求证: q 是无理数。

(2011 年南通三模)19.(本题满分 16 分) 已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1(n≥3),记
2 2 bn?2 ? a12 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an (n≥3).

(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式; (2)设 cn ? 1 ?
1 1 ? 2 ,数列{ cn }的前 n 项和为 Sn,求证:n<Sn<n+1. 2 bn bn ?1

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中小学个性化课外辅导专家 (09 年南通一模)20. (本小题 16 分) 已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b,等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其中 a,b 都是大于 1 的正 整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 . (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 n ? N? ,总存在 m ? N? ,使得 am ? 3 ? bn 成立,求 b 的值; (3)令
Cn ? an ?1 ?bn

,问数列

{Cn }

中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三

项;若不存在,请说明理由

(10 年南通、泰州、扬州一模)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1,公比为 q,且 q>0,q≠1. (1)若 a1=qm,m∈Z,且 m≥-1,求证:数列 ?an ? 中任意不同的两项之积仍为数列 ?an ? 中的项; (2)若数列 ?an ? 中任意不同的两项之积仍为数列 ?an ? 中的项,求证:存在整数 m,且 m≥-1,使得 a1=qm.

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(2011 年南京市一模试卷)19. (本题满分 16 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?
已知表中的第一列数 a1 , a2 , a5 ,? 构成一个等差数列,记为 ?bn ? ,且 b2 ? 4, b5 ? 10 .表中每一行正中间一个 数 a1 , a3 , a7 ,?构成数列 ?cn ? ,其前 n 项和为 Sn . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2) 若上表中, 从第二行起,... 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列, 公比为同一个正数, a13 ? 1 . 且
? ①求 Sn ;②记 M ? n | (n ? 1)cn ? ? , n ? N ,若集合 M 的元素个数为 3,求实数 ? 的取值范围.

?

?

(2010 年南京市二模试卷)20. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 10 分, ) 设数列 ?an ? 的前 n 项积为 Tn,Tn ? 1 ? an ;数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn, Sn ? 1 ? bn (1) 设 cn ?

1 1 2 。○证明数列 ?cn ? 成等差数列;○求证数列 ?an ? 的通项公式; Tn
?

(2) 若 Tn (nbn ? n ? 2) ? kn对n ? N 恒成立,求实数 k 的取值范围

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(2013年南京盐城一模)若数列 ?an ? 是首项为 6 ? 12t , 公差为6的等差数列;数列 ?bn ? 的前 n 项和为

Sn ? 3n ? t .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 是等比数列, 试证明: 对于任意的 n(n ? N , n ? 1) , 均存在正整数 cn , 使得 bn?1 ? acn , 并求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)设数列 ?d n ? 满足 dn

? an ? bn , 且 ?d n ? 中不存在这样的项 dk , 使得“ dk ? dk ?1 与 dk ? dk ?1 ”同时成立(其中 k ? 2 ,

k ? N ? ), 试求实数 t 的取值范围.

(2012 梁丰一模)已知数列 {an } 与 {bn } 满足: bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1)n * , n ? N ,且 2

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(1)求 a3 , a4 , a5 的值; (2)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N * ,证明: ?cn ? 是等比数列; (3)设 Sk ? a2 ? a4 ???? ? a2 k , k ? N * ,证明:

?a
k ?1

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) . 6

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