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必修一高一数学压轴题全国汇编1


22. (本小题满分 12 分)已知 x 满足不等式 2(log 1 x)2 ? 7log 1 x ? 3 ? 0 ,
2 2

求 f ( x) ? log 2

x x ? log 2 的最大值与最小值及相应 x 值. 4 2

1 1 22.解:由 2(log 1 x)2 ? 7log 1 x ? 3 ?

0 ,∴ ?3 ? log 1 x ? ? , ∴ ? log 2 x ? 3 , 2 2 2 2 2

而 f ( x) ? log 2

x x ? log 2 ? (log 2 x ? 2)(log 2 x ? 1) 4 2

3 1 ? (log2 x)2 ? 3log2 x ? 2 ? (log 2 x ? ) 2 ? , 2 4

当 log 2 x ?

3 3 1 时 f ( x) min ? ? 此时 x= 2 2 = 2 2 , 2 4

当 log2 x ? 3 时 f ( x ) max ?

9 1 ? ? 2 ,此时 x ? 8 . 4 4
?2 x ? a

21. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

2x ? 1

是奇函数

(1)求 a 值; (2)判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; 21..解: (1)由题设,需 f (0) ?
?1? a 2
1? ? 0,? a ? 1,? f ( x) ? 1? 2x 2
x

经验证, f ( x ) 为奇函数,? a ? 1 ---------(2 分) (2)减函数--------------(3 分)

??y ? 0 ? 该函数在定义域 R 上是减函数--------------(7 分) (3)由 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) , ? f ( x) 是奇函数
, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ,由(2) f ( x) 是减函数 2 2 ? 原问题转化为 t ? 2t ? k ? 2t , 2 即 3t ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立------(10 分)

x , x ? R, x ? x , ?x ? x ?x ? 0 , ? ? 由(1) ?y ? f ( x ) ? f ( x ) ? ? x ? x ,? 0 ? 2 x ? 2 x ,? 2 x ? 2 x ? 0, (1 ? 2 x )(1 ? 2 x ) ? 0
证明:任取
1 2 1 2 2 1
2 1 1? 2 1? 2 x2
x2
1

1? 2 x1

2(2 x1 ? 2 x2 )

1? 2 x1
2

(1? 2 x1 )(1? 2 x2 )
1

1

2

2

1

2

?? ? 4 ? 12k ? 0, 得 k ? ? 即为所求--- ---(14 分)

1 3

20、 (本小题满分 10 分)
已知定义在区间 (?1,1) 上的函数 f ( x ) ? (1) 求实数 a , b 的值; (2) 用定义证明:函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上是增函数;
1

ax ? b 1 2 为奇函数,且 f ( ) ? . 2 1? x 2 5

(3) 解关于 t 的不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 .

a ?b ax ? b 1 2 2 20、解:(1)由 f ( x ) ? 为奇函数,且 f ( ) ? ? 2 1? x 2 1 ? ( 1 )2 5 2 a ? ?b x 1 1 2 2 则 f (? ) ? ? ? f ( ) ? ? ,解得: a ? 1, b ? 0 。? f ( x) ? 1 ? x2 2 1 ? (? 1 ) 2 2 5 2
(2)证明:在区间 (?1,1) 上任取 x1 , x2 ,令 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 x x (1 ? x22 ) ? x2 (1 ? x12 ) ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? ? 2 2? 1 (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) 1 ? x12 1 ? x2 (1 ? x12 )(1 ? x22 )

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 , 1 ? x1 x2 ? 0 , (1 ? x12 ) ? 0 , (1 ? x22 ) ? 0
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
故函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上是增函数. (3) ? f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 ?

f (t ) ? ? f (t ? 1) ? f (1 ? t )

?t ? 1 ? t 1 ? ? 函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 ? ? ?1 ? t ? 1 ?0?t ? 2 ? ?1 ? 1 ? t ? 1 ?
故关于 t 的不等式的解集为 (0, ) . 21.(14 分)定义在 R ? 上的函数 f(x)对任意实数 a,b ? R? ,均有 f(ab)=f(a)+f(b)成立,且 当 x>1 时,f(x)<0, (1) 求 f(1) (2) 求 证 : f(x) 为 减 函 数 。 (3) 当 f(4)= -2 时 , 解 不 等 式

1 2

f ( x ? 3) ? f (5) ? ?1
21, (1) 由条件得 f(1)=f(1)+f(1),所以 f(1)=0 (2) 法一:设 k 为一个大于 1 的常数,x∈R+,则 f(kx)=f(x)+f(k) 因为 k>1,所以 f(k)<0,且 kx>x 所以 kx>x,f(kx)<f(x)对 x∈R+恒成立,所以

f(x)为 R+上的单调减函数 法二:设 x1 , x2 ? ?0,???且x1 ? x2 令 x2 ? kx1 , 则k ? 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (kx2 ) ? f ( x1 ) ? f (k ) ? f ( x2 ) ? ? f (k )
有题知,f(k)<0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 )
2

所以 f(x)在(0,+ ? )上为减函数 法三:设 x1 , x2 ? ?0,???且x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ?

x2 x )??f( 2) x1 x1

?

x2 x ? 1? f ( 2 ) ? 0 x1 x1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 )

所以 f(x)在(0,+ ? )上为减函数

2 22、 (本小题满分 12 分)已知定义在[1,4]上的函数 f(x)=x -2bx+

b (b≥1), 4

(I)求 f(x)的最小值 g(b); (II)求 g(b)的最大值 M。 2 2 b 22. 解:f(x)=(x-b) -b + 的对称轴为直线 x=b( b≥1) , 4 31 2 b (I) ①当 1≤b≤4 时,g(b)=f(b)=-b + ; ②当 b>4 时,g(b)=f(4)=16- b , 4 4
? 2 b ??b ? 4 (1≤b≤4) ? 。 综上所述,f(x)的最小值 g(b)= ? 31 ?16 ? b (b>4) ? ? 4
b 1 2 1 3 =-(b- ) + , ∴当 b=1 时,M=g(1)=- ; 4 8 4 64 31 3 31 ②当 b>4 时,g(b)=16- b 是减函数,∴g(b)<16- ×4=-15<- , 4 4 4 3 综上所述,g(b)的最大值 M= - 。 4
(II) ①当 1≤b≤4 时,g(b)=-b +
2

22、 (12 分)设函数 f ( x) ? log a ( x ? 3a)(a ? 0, 且a ? 1) ,当点 P( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 图象上的 点时,点 Q( x ? 2a, ? y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点. (1)写出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若当 x ? [a ? 2, a ? 3] 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? 1 ,试确定 a 的取值范围; ( 3 ) 把 y ? g ( x) 的 图 象 向 左 平 移 a 个 单 位 得 到 y ? h( x) 的 图 象 , 函 数
0 ? ( F ( x) ? 2a1?h( x) ? a2?2h( x) ? a?h( x ) , a ? , 且a1 )在 [ 1 , 4] 的最大值为 5 ,求 a 的值. 4 4

22、解: (1)设点 Q 的坐标为 ( x ', y ') ,则 x ' ? x ? 2a, y ' ? ? y ,即 x ? x '? 2a, y ? ? y ' 。 ∵点 P( x, y ) 在函数 y ? loga ( x ? 3a) 图象上 ∴ ? y ' ? loga ( x '? 2a ? 3a) ,即 y ' ? log a
1 ∴ g ( x) ? log 1 a x?a x '? a

1 (2)由题意 x ? [a ? 2, a ? 3] ,则 x ? 3a ? (a ? 2) ? 3a ? ?2a ? 2 ? 0 , 1 ? ?0 . x ? a (a ? 2) ? a

3

又 a ? 0 ,且 a ? 1 ,∴ 0 ? a ? 1
| f ( x) ? g ( x) |?| log a ( x ? 3a) ? log a 1 |?| log ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) | a x?a

∵ f ( x) ? g ( x) ? 1

∴ ?1 剟loga ( x2 ? 4ax ? 3a2 ) 1

∵ 0 ? a ? 1 ∴ a ? 2 ? 2 a ,则 r ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 在 [a ? 2, a ? 3] 上为增函数, ∴函数 u( x) ? loga ( x2 ? 4ax ? 3a2 ) 在 [a ? 2, a ? 3] 上为减函数, 从而 [u( x)]max ? u(a ? 2) ? log a (4 ? 4a) 。 [u( x)]min ? u(a ? 3) ? log a (9 ? 6a)

又0 ? a ? 1, 则

?log (9 ? 64aa)) …1?1 log (4 ? ?
a a

? 0 ? a ? 9 ? 57 12

(3)由(1)知 g ( x) ? log a 象
F( ?
1? h

1 ,而把 y ? g ( x) 的图象向左平移 a 个单位得到 y ? h( x) 的图 x?a


?) x
? ( ?x ?


?a 2
1? )
a

h( x ?
x

a

1 ?? ) x
x

a

x

l
2 g 2? a h


a

o
x ( x


2 )

g
2

?

h?

l

? a2

?

x ao

?

a

2

(

a

即 F ( x) ? ?a2 x2 ? (2a ? 1) x ,又 a ? 0, 且a ?1 , F ( x) 的对称轴为 x ? 2a ? 1 ,又在 [ 1 , 4] 的最大 4 2a 2 值为 5 , 4 ①令 2a ? 1 ? 1 ? a2 ? 4a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ? 6(舍去)或a ? 2 ? 6 ; 此时 F ( x) 在 [ 1 , 4] 上递减, 4 4 2a 2 F ( x) ∴ 的 最 大 值 为
F ( 1 ) ? 5 ? ? 1 a 2 ? 1 (2a ? 1) ? 5 ? a 2 ? 8a ? 16 ? 0 ? a ? 4 ? (2 ? 6, ??) ,此时无解; 4 4 16 4 4

②令 2a ? 1 ? 4 ? 8a2 ? 2a ? 1 ? 0 ? ? 1 ? a ? 1 ,又 a ? 0, 且a ? 1 ,∴ 0 ? a ? 1 ;此时 F ( x) 在 2 4 2 2a2
[ 1 , 4] 上递增, F ( x) 的最大值为 F (4) ? 5 ? ?16a2 ? 8a ? 4 ? 5 ? a ? 1 ? 4 2 , 0 ? a ? 1 , ∴ 又 4 2 4 4 4

∴无解; ③ 令
1 剟 2a ? 1 4 2a 2 ?2 ? 剟a 6 ? ? 2 0 4 ? ?a 2? 4a ? ?2 ? ? 8a ? 2a ? 1 …0 ?a 剠? 1 或a ? ? 4 ? 2 1 2



6

a ? 0, 且a ? 1



1 剟a 2

2 ? 6且a ? 1







F ( x)











F ( 2a ? 1) ? 5 ? ?a2 4 2a2

(2a ? 1)2 (2a ? 1)2 5 (2a ? 1)2 5 ? ? ? ? ? a2 ? 4a ? 1 ? 0 , 解 得 : 4 2 2 4 4 4a 2a 4a
2 ? 6且a ? 1 ,∴ a ? 2 ? 5 ;

a ? 2 ? 5 ,又 1 剟a 2

综上, a 的值为 2 ? 5 .

10、 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, f (2) ? 0 , 且 则不等式 f (log 2 x) ? 0

4

的解集为(



A. ( 1 , 4)
4

B. (??, 1 ) ? (4, ??)
4
1

C. (0, 1 ) ? (4, ??)
4

D. (??, 1 ) ? (0, 4)
4

11、设 a ? (0, 1 ) ,则 a a , log 1 a, a 2 之间的大小关系是 2 2


1 2


1 2

A. a a ? a ? log a
1 2

1 2

B. a ? log a ? a a
1 2

1 2

C. log a ? a a ? a
1 2

D. log a ? a ? a a
1 2

2 12 、 函 数 f ( x) ? a x ? b x (c a 0 ) 对 任 意 的 非 常 实 数 a, b, c, m, n, p , 关 于 x 的 方 程 ? ? ,

m[ f ( x)2] ? n f ( x? )

p 的解集不可能是 ( ? 0



A. {1, 2}

B. {1, 4}

C. {1, 2,3, 4}

D. {1, 4,16,64}

x x 21、 (12 分)设函数 f ( x) ? lg 1 ? 2 ? 4 a (a ? R) . 3

(1)当 a ? ?2 时,求 f ( x) 的定义域; (2)如果 x ? (??, ?1) 时, f ( x) 有意义,试确定 a 的取值范围; (3)如果 0 ? a ? 1 ,求证:当 x ? 0 时,有 2 f ( x) ? f (2 x) .
x x 21、 (1) a ? ?2 时, 解: 当 函数 f ( x) 有意义, 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? 1 ? 2x ? 2 ? 4x ? 0 , t ? 2 x 则 令 3

不等式化为: 2t 2 ? t ? 1 ? 0 ? ? 1 ? t ? 1 ,转化为 ? 1 ? 2 x ? 1 ? x ? 0 ,∴此时函数 f ( x) 的定 2 2 义域为 (??,0) ( 2 ) 当
x ? ?1
x




x

f ( x)
x









则 在

1?

a ? ? a ? ? 1 ? x ? 20 2 4 ? 4 x ? (??, ?1) 上单调递增,∴ y ? ?6 ,则有 a …?6 ;
x x

? 2 a ?0? ? x ? 4 1 3
3

?

4x

1,

2

令 1 y ? ?( 1x ? 1x ) ( ) 4 2
1




x x


2x 2x

0?a? x?
x x 2

时 ,



0

(1 ? 2 ? 4 a) 2 f ( x) ? f (2 x) ? 2log 1 ? 2 ? 4 a ? lg 1 ? 2 ? 4 a ? lg , 3 3 3(1 ? 22 x ? 42 x a)

设 2 x ? t ,∵ x ? 0 ,∴ t ? 1 且 0 ? a ? 1 ,则
(1 ? 2x ? 4x ? )2 ? 3(1 ? 22 x ? 42 x ? ) ? t 4 (a2 ? 3a) ? 2at 3 ? t 2 (2a ? 2) ? 2(t ? 1) a a ? t 4 (a2 ? 3a2 ) ? 2at 3 ? t 2 (2a ? 2) ? 2(t ? 1) ? ?(at ? 1)2 t 2 ? (at 2 ? 1)2 ? (t ? 1)2 ? 0

∴ 2 f ( x) ? f (2 x) 22. (本题满分 14 分)已知幂函数 f ( x) ? x
(2?k )(1? k )

(k ? z) 满足 f (2) < f (3) 。

(1)求整数 k 的值,并写出相应的函数 f ( x ) 的解析式; (2)( 2 ) 对 于 ( 1 ) 中 的 函 数 f ( x ) , 试 判 断 是 否 存 在 正 数 m , 使 函 数

g ( x)? 1 m f ( x? ( 2 ? ,在区间 ?0,1? 上的最大值为 5。若存在,求出 m 的值;若不 ? ) m 1x )
5

存在,请说明理由。 22.解: (1)? f ? 2? ? f ?3? ,?? 2 ? k ??1 ? k ? ? 0 ? ?1 ? k ? 2,

? k ? Z ,? k ? 0 或 k ? 1 ;当 k ? 0 时, f ? x ? ? x2 ,当 k ? 1 时, f ? x ? ? x2 ;
? k ? 0 或 k ? 1 时, f ? x ? ? x2 .
(2)? g ? x ? ? 1 ? mf ? x ? ? ? 2m ?1? x ? ?mx2 ? ? 2m ?1? x ? 1 , ? m ? 0 ,

? g ? x ? 开口方向向下,对称轴 x ?

2m ? 1 1 ? 1? ?1 2m 2m

又? g ? 0? ? 1, g ? x ? 在区间[0,1]上的最大值为5,

1 1 ? ? ?1 ? 2m ? 0 ?m ? 2 ? ? ?? ?? ? g ?1 ? 1 ? ? 5 ?m ? 5 ? 2 6 ? ? 2m ? ? ? ? 2 ? ?

?m ?

5 ? 6 2

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a x?1 (a ? 0 且 a ? 1) (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象经过 P?3 , 4?点,求 a 的值; (Ⅱ)当 a 变化时,比较 f (lg

1 )与f ( ?2.1) 大小,并写出比较过程; 100

(Ⅲ)若 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值.
3-1 2 22. (Ⅰ) 函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3, 4) ∴ a ? 4 , a ? 4 . 又 a ? 0 , 即 所以 a ? 2 .

(Ⅱ)当 a ? 1 时, f (lg 因为, f (lg

1 ) ? f (?2.1) ; 100

当 0 ? a ? 1 时, f (lg

1 ) ? f (?2.1) 100

1 ) ? f (?2) ? a ?3 , f (?2.1) ? a ?3.1 100 x 当 a ? 1 时, y ? a 在 (??, ??) 上为增函数,
∵ ?3 ? ?3.1 ,∴ a
x
?3

? a ?3.1 .

即 f (lg

1 ) ? f (?2.1) . 100 1 ) ? f (?2.1) . 100

当 0 ? a ? 1 时, y ? a 在 (??, ??) 上为减函数, ∵ ?3 ? ?3.1 ,∴ a
?3

? a ?3.1 . ? 100 .
2

即 f (lg

(Ⅲ)由 f (lg a) ? 100 知, a 所以, lg a
lg a ?1

lg a ?1

? 2 (或 lg a ?1 ? loga 100 ).
∴ lg a ? lg a ? 2 ? 0 ,

∴ (lg a ? 1) ? lg a ? 2 .

6

∴ lg a ? ?1 或 lg a ? 2 ,

所以, a ?

1 或 a ? 100 . 10

20. (本题 16 分)已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ?

(3)设 h( x) ? log9 a ? 3x ? 4 a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 3

?

?

1 x ? b 没有交点,求 b 的取值范围; 2

a 的取值范围.
20.(1)因为 y ? f ( x) 为偶函数, 所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于 ?x ? R 恒成立.
x 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9x ? 1) ? log9 9 ? 1 ? log9 (9x ? 1) ? ? x 恒成立, 9x

而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 . 2

-----------------4

(2)由题意知方程 log9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log9 (9x ? 1) ? x ? b 无解. 2 2 令 g ( x) ? log9 (9x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.
x 因为 g ( x) ? log9 9 ? 1 ? log9 ?1 ? 1 ? ? ? 9x ? 9x ?

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 9 x1 ? 9 x2 ,从而 11 ? 12 . 9x 9x 于是 log9 ?1 ? 1 ? ? 9x1

? ? log ?1 ? 1 ? 9? ? ? 9x2

? ,即 g ( x ) ? g ( x ) , ? 1 2 ?

所以 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数. 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ?1 ? 1x ? ? 0 . ? ? 9 ? 9 ? 所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?. ----------------------- 6

(3)由题意知方程 3x ? 1 ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根. 3 3x 令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根. 3 若 a=1,则 t ? ? 3 ,不合, 舍去; 4 若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.

7

由 ? ? 0 ? a ? 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ; 4 4 2 2 方程(*)的两根异号 ? ? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1 , ? ?) .
2

----------------------- 6 )

10. 若函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( C

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? C. f ( 1 2 2
A. f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? D. f ( 1 2 2
B. f (

18. (本小题满分 12 分) 二次函数 y ? f ( x) 的图象经过三点 A(?3,7), B(5,7), C(2, ?8) . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式(2)求函数 y ? f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值和最小值 18 (1) 解 A, B 两点纵坐标相同故可令 f ( x) ? 7 ? a( x ? 3)( x ? 5) 即

f ( x) ? a( x ? 3)( x ? 5) ? 7 将 C (2, ?8) 代入上式可得 a ? 1

? f ( x) ? ( x ? 3)( x ? 5) ? 7 ? x2 ? 2x ? 8 …………4 分
(2) 由 f ( x) ? x2 ? 2x ? 8 可知对称轴 x ? 1
1) 当 t ? 1 ? 1即 t ? 0 时 y ? f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上为减函数

? f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 8 f ( x)min ? f (t ?1) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? 8 ? t 2 ? 9 ………6
2) 当 t ? 1 时, y ? f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上为增函数

? f ( x)max ? f (t ?1) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? 8 ? t 2 ? 9
f ( x)min ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 8
3)当 1 ? t ? t ? 1 ? 1 ? 0 即 0 ? t ? …………8 分

1 时 2

f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 8
…………10 分

f ( x)min ? f (1) ? ?9
4)当 0 ? 1 ? t ? t ? 1 ? 1 即

1 ? t ?1时 2

f ( x)max ? f (t ?1) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? 8 ? t 2 ? 9
f ( x)min ? f (1) ? ?9
…………12 分

8


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高一数学必修一精典压轴题全国汇编

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必修一高一数学期中考压轴题全国汇编

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必修一高一数学期中考压轴题全国汇编1

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必修一高一数学压轴题

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