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一个源于教材的解析几何试题的推广


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中学数学教学

2 0 1 4 年第 2 期

一个源于教材的解析几何试题的推广
福建省泉州第五中学   杨苍洲    ( 邮编 : 3 6 2 000 ) 福建省安溪第一中学   王志良    ( 邮编 : 3 6 2 400 )    1   试题再现
y C B B9 Bi Pi B2 B1 A x

OABC 中 , O 为坐标原

卷 ) 如 图, 在 正 方 形 点, 点 A 的坐标为( 10,

( 201 3 年 高 考 福 建

2. 2 B 组第 4 题 :

| =8 , |BC | =6 . H

ABCD 中 , |AB

如 图 ,矩 形

y D

G

L

O

R S

C M R' S' T' T Fx B

, , 点 C 的坐标为 ( 分别将线段 OA 和 AB 0) 0, 1 0)

O A1 A2

Ai

A9

E、 F、 G、 H 分别
为矩形四条边

A

E

…, 十等分 , 分点分别记为 A 1 , A2, A9 和B1, B2, …, 连结 OB i , 过 A i 做 x 轴的垂线与 OB i 交 B9, 于点 P i ( i ∈ N? , 1 ≤ i ≤ 9) . ( 求证 : 点P i( 都在同 Ⅰ) i ∈ N? , 1 ≤i ≤ 9) ( 过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的 Ⅱ)

请证明 ER 与GR T ′ 是线段 CF 的四等分点 . ′、 ES

的中点 , R、 S、 T 是线段 OF 的 四 等 分 点 , R ′、 S ′、

一条抛物线上 , 并求该抛物线 E 的方程 ;

y2 = 1 上. 9

x2 与 GS ′、 ET 与GT ′ 的交点 L 、 M、 N 都在椭圆 + 16

两点 M 、 若 ΔOCM 与 Δ OCN 的面 积 比 为 4 : N, 求直线 l 的方程 . 1, 本小题主要考查抛物 线 的 性 质 , 直线与抛物

样, 具有类似的性质 , 类比 推 广 到 双 曲 线 , 这样的 性质依然成立 , 于是可得下面三个命题 : 命题 1   在正方形 OABC 中 , O 为坐标原点 ,

从上题中 , 我 们 不 难 看 出, 椭圆与抛物线一

线的位置关系 等 基 础 知 识 ; 考 查 运 算 求 解 能 力, 推理论证能 力 ; 考 查 化 归 与 转 化 思 想, 数形结合 思想 , 函数与方程思想 . 在第 ( 可以求得 P i ( Ⅰ )步中 , i ∈ N? , 1 ≤i

, ( , …, 点A1, A( 2p , 0) C( 0, 2p ) A2, A n -1 p > 0)

…, 和B1, B2, B n -1 分别为线段 OA 和 AB 的 n 等 , 分点 ( 连结 OB i , 过 A i 做 x 轴的垂线与 n ∈ N? )

我们知道 , 圆锥曲线在某些性质方面常 x 2 = 1 0y . 常呈现出统 一 性 . 那 么, 在椭圆和双曲线中是否 和抛物线 一 样 具 有 本 题 中 ( Ⅰ )中 的 性 质 呢 ? 请 先看本题在 教 材 中 的 题 源 , 结 合 题 源, 我们将对 此性质作进一步的探究 . 2   题源探究

且抛物线 E 方程为 ≤ 9 )都在同一条 抛 物 线 上 ,

, 则点 OB i 交于 点 P i ( i ∈ N? , 1 ≤ i ≤ n - 1) 2p y 上.

都在抛物线 E : Pi( i ∈ N? , 1 ≤ i ≤ n - 1) x2= 证明   依题意 , 过Ai ( i ∈ N? , 1 ≤i ≤n -

1 )且 与 x 轴 垂 直 的 直 线 方 程 为 x = i ,因 为 , 所以直线 OB i 的 方 程 为 y = Bi( 2p , i) ì x =i ,

i 设 x, 2p

本题源于 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 人

教 A 版选修 2 - 1 第二章 《 圆锥曲线与方程 》 习题

所以 P i ( 都在 x 2 =2p y , i ∈ N? , 1 ≤ i ≤ n - 1)

1 2 , 由í 得: 即 P i 坐标为 ( x, y) y = x , i 2 p , y = x 2p ?

2 0 1 4 年第 2 期

中学数学教学

同一条抛物线上 , 且抛物线 E 方程为 x 2 = 2 p y . , , ( , 点 A( a, 0) C( 0, b) D( 0, a > 0, b > 0) -b ) …, …, A1, A2, A n -1 和 B 1 , B2, B n -1 分 别 为 线 段 都在椭圆 CB i 的交点 P i ( i ∈N , 1 ≤i ≤n -1)
?

命题 2   在矩 形 OABC 中 , O 为 坐 标 原 点,

→ , 则直线 CQ 与 D P 的交点 M 的轨 λBA ( λ ≠ 0) = 迹方程是 :

17

y2 x2 x ≠ 0) . = 1  ( 2 + a b2
证明   依 题 意
y C A' Q B M

则 直 线 DA i 、 OA 和 AB 的 n ( n ∈ N ? )等 分 点 ,



y2 x2 E : 2 + 2 = 1 上. a b

( , 当λ ≠ 0 1 -λ) b)

, P( λa , 0) Q( a,

, , ( , 作A A( a, 0) C( 0, b) D( 0, a > 0, b > 0) -b )

命题 3   在矩 形 OABC 中 , O 为 坐 标 原 点,

时, 直线 D P 的 方 程

O D

P

A

x

b 为 y = x -b , 直线 λ a

…, B2, B n -1 分 别 为 线 段 OA 和 BA ′ 的 n( n ∈ 则直线 DA i 与 CB i 的交点 P i ( N ? )等分点 , i ∈

…, 关于 B 的 对 称 点 A 点 A1, ′, A2, A n -1 和 B 1 ,

λb , 设 M 坐标为 ( CQ 的方程为 y =- x +b , x, y) a
ì 所以 í

y2 x2 都在椭圆 E : 2 - 2 = 1 上 . N? , 1 ≤ i ≤ n - 1) a b
题中 , 通过构造整数分点 , 连 接 直 线, 从而得到了 一群 “ 离散 ”的交 点 , 此 时, 交点恰在相应的圆锥 的交点时 , 此时交点的轨 迹 是 否 正 是 相 应 的 圆 锥 曲线呢 ? 通过探究 , 我们得 : 方 形 OABC 中 , O 命题 4  在 正
y C M B Q

y2 x2 消去λ 得 : 2 + 2 = 1 a b λb y =- x + b , ? a

b y = x -b , λ a

命题 2 、 在上述的三个命 3 的 证 明 此 处 从 略.

曲线上 . 那 么, 我们更改条件使得交点为“ 连 续”

y2 x2 M 的轨迹方程是 : 2 - 2 = 1 ( x ≠ 0) . a b

命题 6   在矩 形 OABC 中 , O 为 坐 标 原 点, → , , ( , A( a, 0) C( 0, b) D( 0, a > 0, b > 0) OP -b ) → → → 则直线 λOA , BQ =λBA , CQ 与 D P 的交点 =

( x ≠ 0) .

x , P A A( 2p , 0) C( 0, O → ( , 2p ) OP = p > 0) → → → 过 作 轴的垂线 , λ OA , AQ = λAB , P x l 则直线 l

为 坐 标 原 点,

b , 当λ ≠ 0 时 , 直线 D P 的方程为 y = x λ) b) λ a λb 直线 CQ 的方程为 y = x + b , 设 M 坐标为 b, a
( , 有 x, y)

, 证明   依 题 意 得 P ( λa , 0) Q( a ,( 1 +

与 OQ 的交点 M 的轨迹方程是 : x = 2p y .
2

的命题进行 , 此处从略 .

上述命题 的 证 明 , 较 为 简 单, 可以参照下面 命题 5  在 矩 形
y C M O D P B Q A x

b ì y = x -b , λ a y2 x2 消 去 λ 得: 2 - 2 = 1 ( x í a b λb , y = x +b ? a
( 收稿日期 : 201 3 - 1 2 - 25)

. ≠ 0)

OABC 中 , O 为坐标原
( D( 0 ,- b ) a > 0, b → → → , OP = λOA , BQ > 0) , , 点, A( a, 0) C( 0, b)


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