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三角函数的值域与最值


三角函数的值域与最值
【考点导读】 1. 掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题; 2. 求三角函数值域与最值的常用方法: (1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有 界性或单调性求解; (2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像 法求解; (3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解; (4)换元法. 【基础练习】 1.

函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[0, 2. 函数 f ( x) ? cos x ? 3. 函数 y ? tan( 4. 当 0 ? x ?

?
2

] 上的最小值为




?
2

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

? x) (?

?

4

?x?

?

4

且 x ? 0) 的值域是___________________.

?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值为 sin 2 x



【范例解析】 例 1. (1)已知 sin x ? sin y ?

1 2 ,求 sin y ? cos x 的最大值与最小值. 3

(2)求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值.

例 2. 求函数 y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 的最小值. sin x

例 3. 已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

【反馈演练】 1.函数 y ? 2 sin(

?
3

? x) ? cos(

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于_________.

cos2 x 2.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是______ _______. 4 cos x sin x ? sin 2 x
3.函数 y ?

?

sin x 的最大值为_______,最小值为________. cos x ? 2
.

4.函数 y ? cos x ? tan x 的值域为

5. 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? 于_________.

? ? ?? , 上的最小值是 ?2 , 则 ? 的最小值等 ? 3 4? ?

,x ? R . 6.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

? π 3π ?


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