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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试17 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 新人教A版


高效测试 17:两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题 π ?? π π? ? π 1.?cos -sin ??cos +sin ?等于( 12?? 12 12? ? 12 A.- 3 2 1 B.- 2 1 3 C. D. 2 2 )

π ?? π π? π π π 3 ? π 解析:?cos -sin ??cos +sin ?=cos2

-sin2 =cos = . 12 12 12 12 12 12 6 2 ? ?? ? 答案:D 1 ? π ? 2.已知 cos2α = (其中 α ∈?- ,0?),则 sinα 的值为( 2 ? 4 ? A. 1 1 3 B.- C. 2 2 2 D.- 3 2 )

1 1 解析:∵ =cos2α =1-2sin2α ,∴sin2α = , 2 4 1 ? π ? 又∵α ∈?- ,0?,∴sinα =- . 4 2 ? ? 答案:B 3.已知 sinα = 1 A.- 5 3 B.- 5 5 ,则 sin4α -cos4α 的值为( 5 1 3 C. D. 5 5 )

3 解析:原式=(sin2α +cos2α )( sin2α -cos2α )=sin2α -cos2α =2sin2α -1=- , 5 故选 B. 答案:B 4.sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos(110°-x)的值为 ( A. 2 B. 2 2 1 C. 2 D. 3 2

)

解析:原式=sin(65°-x)cos(x-20 °)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)] =sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°) =sin[(65°-x)+(x-20°)] =sin45°= 2 . 2 )

答案:B 5.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则 C 的大小为( π A. 6 5π B. 6 π 5 C. 或 π 6 6 π 2 D. 或 π 3 3

1 π 5 解析:两式平方相加可得 9+16+24sin(A+B)=37,sin(A+B)=sinC= ,所以 C= 或 2 6 6 5 π 3 π .如果 C= π ,则 0<A< ,从而 cosA> ,3cosA>1 与 4sinB+3cosA=1 矛盾(因为 6 6 2

1

π 4sinB>0 恒成立),故 C= . 6 答案:A x 2sin2 -1 2 ?π ? 6.若 f(x)=2tanx- ,则 f? ?的值为( x x ?12? sin cos 2 2 4 A.- 3 3 B.8 C.4 3 D.-4 3

)

x 1-2sin2 2 2cosx 2 4 解析:f(x)=2tanx+ =2tanx+ = = , 1 sinx sinxcosx sin2x sinx 2 4 ?π ? ∴f? ?= = 8. π ?12? sin 6 答案:B 二、填空题 ?π ? 3 7.若 sin? -x?= ,则 sin2x=__________. ?4 ? 5

?π ? 3 解析:∵sin? -x?= , ?4 ? 5
∴ 2 2 2 3 cosx- sinx= (cosx-s inx)= . 2 2 2 5

3 2 ∴cosx-sinx= . 5 18 7 ∴(cosx-sinx)2=1-sin2x= ,∴sin2x= . 25 25 7 答案: 25 π 3π 5π 7π 8.求值:cos4 +cos4 +cos4 +cos4 =__________. 8 8 8 8 π 3π ? π π? π π? ? ? ? 解 析 : 原 式 = 2 ?cos4 +cos4 ? = 2 ?cos4 +sin4 ? = 2 ?1-2sin2 cos2 ? = 8 8 ? 8 8? 8 8? ? ? ? π? 3 ? 1 2?1- sin2 ?= . 4? 2 ? 2 3 答案: 2 1+tanx 1 9.若 =2010,则 +tan2x 的值为__________. 1-tanx cos2x 1 1+sin2x 解析: +tan2x= cos2x cos2x ? sinx+cosx? 2 = cos2x-sin2x

2

cosx+sinx = cosx-sinx 1+tanx = 1-tanx =2010. 答案:2010 三、解答题 1 1 10.已知 tanα = ,tanβ = ,并且 α ,β 均为锐角,求 α +2β 的值. 7 3 1 1 解析:∵tanα = <1,tanβ = <1, 7 3 且 α 、β 均为锐角, π π ∴0<α < ,0<β < . 4 4 3 ∴0<α +2β < π . 4 2tanβ 3 又 tan2β = = , 1-tan2β 4 1 3 + 7 4 tanα +tan2β ∴tan(α +2β )= = =1. 1-tanα ·tan2β 1 3 1- × 7 4 π ∴α +2β = . 4 33 5 ? π? ?π ? 11.已知 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?且 sin(α +β )= ,cosβ =- .求 sinα . 2? 65 13 ? ?2 ? 5 ?π ? 解析:∵β ∈? ,π ?,cosβ =- , 2 13 ? ? 12 ∴sinβ = . 13 π π 又∵0<α < , <β <π ,[z&zs&tep.com] 2 2 π 3π 33 ∴ <α +β < ,又 sin(α +β )= , 2 2 65 π ∴ <α +β <π , 2 cos(α +β )=- 1-sin2? α +β ? =- 56 ?33? 1-? ?2=- , 65 ?65? 33 ? 5 ? · ?- ? - 65 ? 13?

∴ sinα = sin[(α + β ) - β ] = sin(α + β )cosβ - cos(α + β )sinβ =

?-56?·12=3. ? 65? 13 5 ? ?
1 sin? π -2α ? +4cos2α 12.已知 tan(π +α )=- ,tan(α +β )= . 3 10cos2α -sin2α

3

(1)求 tan(α +β )的值; (2)求 tanβ 的值. 1 1 解析:(1)∵tan(π +α )=- ,∴tanα =- , 3 3 sin? π -2α ? +4cos2α sin2α +4cos2α ∵ tan (α +β )= = 10cos2α -sin2α 10cos2α -sin2α 2sinα cosα +4cos2α = 10cos2α -2sinα cosα 2cosα ? sinα +2cosα ? = 2cosα ? 5cosα -sinα ? sinα +2cosα = 5cosα -sinα tanα +2 = , 5-tanα 1 - +2 3 5 ∴tan(α +β )= = . 1 16 5+ 3 tan? α +β ? -tanα (2)∵tanβ =tan[(α +β )-α ]= , 1+tan? α +β ? tanα 5 1 + 16 3 31 ∴tanβ = = . 5 1 43 1- × 16 3

4


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