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2012年上海市高中数学竞赛


2012 年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1 B1C1 D1 E1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一 个正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积 和是 .
B2 E2 B1 A2 F2 A1
<

br />F1

2.已知正整数 a1 , a2 ,? , a10 满足: 小可能值是 .

aj

3 ? ,1 ? i ? j ? 10 ,则 a10 的最 ai 2

C2 C1

D2

E1

D1

3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?

17 4 , cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , cot ? cot ? 6 5 17 . ? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ? ,则 tan ?? ? ? ? ? ? ? 5
A D

4.已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2 lg ? x ? 1? 仅有一个实数解,则实数 k 的取值 范围是 .

F

5 . 如 图 , ?AEF 是 边 长 为 x 的 正 方 形 ABCD 的 内 接 三 角 形 , 已 知

?AEF ? 90? , AE ? a, EF ? b, a ? b ,则 x ?
6.方程 2m ? 3n ? 3n ?1 ? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n ? ?

B

E

C

.

.

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的, 依次从中摸出 5 个小球, 相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 . (用数字作答) 8 . 数 列 ?an ? 定 义 如 下 : a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?

2 ? n ? 1? n?2
.

an ?1 ?

n an , n ? 1, 2,? . 若 n?2

am ? 2 ?

2011 ,则正整数 m 的最小值为 2012

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二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? x , BC ? 1 ,对角线 AC 与 BD 的 夹角 ?BOC ? 45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) . 求 h( x) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A D C

O B

10. (本题满分 14 分)给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x) ?

(a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小值. 1 ? sin x

11. (本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ?

4 ; 3

(2) x ? y ? z ? 2 .

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12. (本题满分 16 分)给定整数 n(? 3) ,记 f (n) 为集合 1, 2,? , 2n ? 1 的满足如下两个条件 的子集 A 的元素个数的最小值: (a) 1 ? A, 2n ? 1 ? A ; (b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 .

?

?

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2012 年上海市高中数学竞赛答案 1、

9 3 4

2、92 4、 ? ??, 0 ? ? ?4?

3、11

5、

a2 a 2 ? ( a ? b) 2
2 5 OB 2 ? OC 2 ?

6、 ? 3, 0 ? ,

? 2, 2 ?

7、

8、4025

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

1 1 ( AB 2 ? BC 2 ) ? ( x 2 ? 1) . 2 2
???????(2 分)



在△OBC 中,由余弦定理

BC 2 ? OB 2 ? OC 2 ? 2OB ? OC cos ?BOC ,
所以 由①,②得

OB 2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? 1 ,
OB ? OC ? x2 ?1 . 2 2
???????(5 分) 所以

② ③

1 S ABCD ? 4 S ?OBC ? 4 ? OB ? OC sin ?BOC 2
? 2OB ? OC ?

x2 ?1 , 2 x2 ?1 , 2
???????(10 分)



AB ? h( x) ?

所以

h( x ) ?

x2 ?1 . 2x

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由③可得, x 2 ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 . 因为 OB 2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ,结合②,③可得

1 2 x2 ?1 ( x ? 1) ? 2 ? , 2 2 2
解得(结合 x ? 1 ) 综上所述, h( x) ? 10.解 f ( x) ? 当1 ? a ?

1 ? x ? 2 ?1 .
x2 ?1 ,1 ? x ? 2 ? 1 . 2x
???????(14 分)

(a ? sin x)(4 ? sin x) 3( a ? 1) ? 1 ? sin x ? ?a?2. 1 ? sin x 1 ? sin x

7 时, 0 ? 3( a ? 1) ? 2 ,此时 3 3(a ? 1) f ( x) ? 1 ? sin x ? ? a ? 2 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 , 1 ? sin x

且当 sin x ? 3( a ? 1) ? 1 ? ? ?1,1? 时不等式等号成立,故 f min ( x) ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 . ???????(6 分) 当a ?

?

?

7 3(a ? 1) 时, 3( a ? 1) ? 2 ,此时“耐克”函数 y ? t ? 在 0, 3( a ? 1) ? 内是递 ? 3 t f min ( x) ? f (1) ? 2 ?

?

减,故此时

3(a ? 1) 5(a ? 1) . ?a?2? 2 2 7 ? ?2 3(a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? 3 ; 综上所述, f min ( x) ? ? ???????(14 分) ? 5(a ? 1) 7 ? , a? . ? 2 3 ?
11.证 (1)记 t ?

xy ? yz ? zx ,由平均不等式 3
xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx)

?

3 2

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? . 3 ? ?
???????(4 分)

3

于是 所以

4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9t 3 ? 3t 2 ,

? 3t ? 2 ? ? 3t 2 ? 3t ? 2 ? ? 0 ,
2 ,从而 3

而 3t 2 ? 3t ? 2 ? 0 ,所以 3t ? 2 ? 0 ,即 t ?

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xy ? yz ? zx ?
(2)又因为

4 . 3

???????(10 分)

( x ? y ? z ) 2 ? 3( xy ? yz ? zx) ,
所以 故

( x ? y ? z )2 ? 4 ,
x? y? z ? 2.
???????(16 分)

12.解 (1)设集合 A ? 1, 2,? , 23 ? 1 ,且 A 满足( a ) ( b ) , .则 1 ? A, 7 ? A .由于 ,故 ?1, m, 7? ? m ? 2,3,? , 6 ? 不满足(b) A ? 3 . 又 ?1, 2,3, 7? , ?1, 2, 4, 7? , ?1, 2,5, 7? , ?1, 2, 6, 7? , ?1,3, 4, 7? , ?1,3,5, 7? , ?1,3, 6, 7? ,

?

?

?1, 4,5, 7? , ?1, 4, 6, 7? , ?1,5, 6, 7? 都不满足

(b) ,故 A ? 4 .

而集合 ?1, 2, 4, 6, 7? 满足(a)(b) , ,所以 f (3) ? 5 . ???????(6 分) (2)首先证明

f (n ? 1) ? f (n) ? 2, n ? 3, 4,? .
事实上,若 A ? 1, 2,? , 2n ? 1 ,满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) . 令 B ? A ? 2n ?1 ? 2, 2n ?1 ? 1 ,由于 2 又2
n ?1



?

?

?

?

n ?1

? 2 ? 2n ? 1 ,故 B ? f (n) ? 2 .

? 2 ? 2(2n ? 1), 2n ?1 ? 1 ? 1 ? (2n ?1 ? 2) ,所以,集合 B ? ?1, 2,? , 2n ?1 ? 1? ,且 B

满足(a)(b) , .从而

f (n ? 1) ? B ? f (n) ? 2 .
其次证明:

???????(10 分)

f (2n) ? f (n) ? n ? 1, n ? 3, 4,? .
事实上,设 A ? 1, 2,? , 2n ? 1 满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f (n) .令



?

?

B ? A ? ?2(2n ? 1), 22 (2n ? 1),? , 2 n (2 n ? 1), 2 2 n ? 1? ,
由于

2(2n ? 1) ? 22 (2n ? 1) ?? ? 2n (2n ? 1) ? 2 2 n ? 1 ,

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所以 B ? 1, 2,? , 22 n ? 1 ,且 B ? f (n) ? n ? 1 .而

?

?

2k ?1 (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1), k ? 0,1,? , n ? 1 , 22 n ? 1 ? 2n (2n ? 1) ? (2n ? 1) ,
从而 B 满足(a)(b) , ,于是

f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 . ???????(14 分)
由①,②得 反复利用②,③可得

f (2n ? 1) ? f (n) ? n ? 3 .



f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 .
???????(16 分)

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